《比例线段和黄金分割》教案

比例线段和黄金分割教案在日常生产和生活中， 人们经常要接触到比与比例 在本单元中， 我们将系统地学习“线段的比”和“黄金分割”这两部分内容，它们既是本章内容中的一个重点，也是以后继续学习相关知识的基础一知识结构二学习要点1经历现实生活中两条线段的比，了解“比”与“比例尺”的概念；2通过对实例的研究，初步体验“两条线段的比”与“比例线段”的相互关系；3“黄金分割”是课程标准重点提出的内容学习“黄金分割”不仅实现了新课程对比例线段的基本要求，更体现了数学的文化价值和应用价值，“黄金分割”也是建筑、艺术等学科之间必然联系的纽带4熟练掌握下列性质：（1）如果 ac ，那么 adbc ；bd（2）如果 adbc （ a、 b、c、 d 都不等于0），那么 ac ；bd（3）如果 ac ，那么 abc d ；bdbd（4）如果 acm (bdn0) ，那么 acma bdnbdnb（5）如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且AC BC ，那么 AC512AB 0.618 AB 三边读边做1如果选用量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、 n，那么m n 就叫做比；由此可知，两条线段的长度比与所采用的没有关系2在地图或工程图纸上，长度与长度的比通常称为比例尺3四条线段a、b、c、d 中，如果a与b 的比等于c 与d的比，即，那么这四条线段a、b、 c、d叫做，简称4如果点C 是线段 AB 上的黄金分割点， 且AC BC，那么ACAB=；有一种矩形，当宽与长的比等于黄金比时，这个矩形叫做黄金矩形，请你设计一个黄金矩形，使这个黄金矩形的长等于 10cm，那么它的宽等于四解题指导例 1 如图13-1 ，是南京路上的沙滩排球场地，它的长26 米、宽18 米，用塑料布垫底、木板铺盖的保护下，堆积了厚约40 厘米的中沙约 300 吨露天赛场将为步行街每日上百万人次免费观看比赛提供机会，这不但为都市广场文化注入了新颖时尚的元素，也为沙滩排球的发展提供了绝佳的宣传机会求（1）沙滩排球场地的长与宽之比；（ 2 ）沙滩排球场地的宽与对角线长度之比解：（ 1 ）沙滩排球场地的长 26米、宽 18米，长2613 ；宽189（ 2）沙滩排球场地的长26 米、宽18 米，对角线长度 =长2宽2 =262132845 29 （米），宽18 对角线29答：沙滩排球场地的长与宽之比为13 ，沙滩排球场地的宽与对角线长度之比为18 929例 2 1 米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影子长0.8米，此时 电视发射塔在阳光下的影子长 100 米，求这个电视塔的高度分析：在同一时刻下，直立在地面上的物体高度与该物体在阳光下的影子长度之比都相等所以，根据物体高度与它在阳光下的影子长度之比相等，便可利用比例线段求得电视塔的高度解：根据题意，得标杆高度电视塔高度，即 1电视塔高度 ，标杆影子长度电视塔影子长度0.8100电视塔高度 = 1100125 米0.8答：电视塔的高度是125 （米）注意：“线段的比”与“比例线段”是两个不同的概念，解题时必须注意其细微的差别例 1 中“长与宽之比”和“宽与对角线之比”都是指两条线段的比；例2 是指两种物体高度与它们影子长度对应成比例例 3已知 5a=4b，求：（ 1） a b ； （ 2 ） ab ； （3 ） a b bbab分析：由 54b，容易想到 a4 ，再利用“如果 ac，那么a b cd”便可使问题顺利获解a=b5bdbd解：由 5 a=4b，得 a4 b5（1 ） a b4551 ；（ 2 ） ab 4559 ；b5b51（ 3 ）=ab51ab995注意： 1 “如果ac ，那么 adbc ”是一个十分重要的性质，反指“如果 adbc ，那么 ac ”亦成bdbd立所以解题时可以根据需要，相互转化2本例还可以“设元”求解（设 a=4 k，则 b= 5k），同学们不妨一试例 4 已知 acbbccak(abc0) ，求 k 的值ab解： a bbccak ，且 abc0，caba b b c c ak ，即 k 2 cab想一想：若将上例中“ a b c 0 ”这个条件去掉，会发生什么变化？注意：“如果acm(b dn 0)，那么 acma ”中的c 0这个条件bdnbdna bb常常被某些同学忽视如果去掉a b c 0 这个条件，就必须采用分类讨论进行解决当 a b c0 时，上例已作出解答；当a bc0 时，有 ab c ，此时 abc1 ；cc综上所述，如果去掉ab c0 这个条件， k=2或 -1 例 5如图 13-2 ，线段 AB 的长是为3 厘米，求作以 AB为 长 的 黄 金矩形分析：由于宽与长之比等于5 1 （或 0.618 ）的矩形叫做黄金矩形，2所以只要先求出矩形的宽即可解：根据题意得，矩形的宽 =3 0.618 1.9厘米以3厘米为长， 1.9厘米为宽作矩形 ABCD （如图 13-3 ），则矩形 ABCD 就是所示所求的黄金矩形注意： 1 由于黄金矩形的宽与长之比等于黄金比（0.618 ），所以只要设法求出线段AB的黄金分割点，便可使问题顺利获解2如果将题目中的“以 AB 为长”改为“以AB 为一边”，那么解题时又要从两方面进行考虑（即AB是黄金矩形的长；AB 是黄金矩形的宽）