数学分析泰勒公式 4-1

第四章第四章 Taylor公式公式 200811264.1 4.1 函数的微分函数的微分 一、问题的提出一、问题的提出实例实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.再例如再例如,既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题:是否所有函数的改变量都对应有一个线性函是否所有函数的改变量都对应有一个线性函数数(改变量的主要部分改变量的主要部分)?它是什么它是什么?如何求如何求?二、微分的定义二、微分的定义(微分的实质微分的实质)由定义知由定义知:三、可微的条件三、可微的条件定理定理证证(1)必要性必要性(2)充分性充分性例例1 1解解四、微分的几何意义四、微分的几何意义MNT）几何意义几何意义:(:(如图如图)P 五、微分的求法五、微分的求法求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则例例2 2解解例例3 3解解六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性结论结论：微分形式的不变性微分形式的不变性例例5 5解解例例4 4解解七、高阶微分七、高阶微分 一阶微分：一阶微分：二阶微分：二阶微分：（有形式不变性）（有形式不变性）（没有形式不变性）（没有形式不变性）必须是自变量必须是自变量例例6八、近似计算八、近似计算1、计算函数增量的近似值、计算函数增量的近似值（以直代曲）（以直代曲）2、计算函数的近似值、计算函数的近似值例例7 7解解例例8 8解解常用近似公式常用近似公式证明证明例例9 9解解微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:九、小结九、小结导数与微分的区别导数与微分的区别:作业作业 (数学分析习题集数学分析习题集)习题习题4.1 函数的微分函数的微分1、1),4);2、偶数号题、偶数号题;3、3),4).