高考数学一轮总复习 第十二章 概率与统计 12.3 二项分布与正态分布课件(理) 新人教B版.ppt

12.3 二项分布与正态分布,高考理数,1.条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率,用符号 P(B|A)来表示,其公式为P(B|A)= . (2)条件概率具有的性质: a.0P(B|A)1; b.如果B和C是两个互斥事件,则P(BC|A)= P(B|A)+P(C|A) . 2.相互独立事件 (1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A、B是 相互独立 事件. (2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B). (3)若A与B相互独立,则A与 , 与B, 与 也都相互独立. (4)若P(AB)=P(A)P(B),则 A与B相互独立 .,知识清单,3.独立重复试验及二项分布问题 (1)独立重复试验概率公式:关于Pn(k)= pk(1-p)n-k,它是n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的 概率. 说明:公式中n是重复试验次数,p是一次试验中某事件A发生的概率,k是在n次独立试验中事件A 恰好发生的次数,需要弄清公式中n,p,k的意义,才能正确运用公式. (2)二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰 好发生k次的概率是P(=k)= pkqn-k,其中k=0,1,n,q=1-p,于是得到随机变量的概率分布列如 下:,我们称这样的随机变量服从二项分布,记作B(n,p). 4.正态曲线及性质,(1)正态曲线的定义: 函数,(x)= ,x(-,+),其中实数和(0)为参数,我们称,(x)的图象(如图) 为正态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)正态曲线的性质: a.曲线位于x轴 上方 ,与x轴不相交;,b.曲线是单峰的,它关于直线 x= 对称; c.曲线在 x= 处达到峰值 ; d.曲线与x轴之间的面积为1; e.当一定时,曲线随着 的变化而沿x轴平移; f.当一定时,曲线的形状由确定, 越小 ,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中; 越大 , 曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散. 5.正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aXb)= ,(x)dx ,则称X的分布为正态分布,记作 XN(,2) . (2)正态分布的三个常用数据 a.P(-X+)= 0.682 6 ; b.P(-2X+2)= 0.954 4 ;,c.P(-3X+3)= 0.997 4 . 【知识拓展】 1.“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系 (1)“互斥”与“相互独立”描述的都是两个事件间的关系. (2)“互斥”强调不可能同时发生,“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的 概率没有影响. (3)“互斥”的两个事件可以独立,“独立”的两个事件也可以互斥. 2.条件概率 条件概率通常是指在事件A发生的条件下,事件B发生的概率.放在总体情况下看:先求P(A),P (AB),再求P(B|A)= .关键是求P(A)和P(AB). 3.正态曲线的对称性 正态曲线函数,(x)= .很显然,当=0时,(x)= 是偶函数,图象关于y轴对 称;当0时,图象对称轴为直线x=,所以正态曲线是一个轴对称图形,很多关于正态分布的概率 问题,都是根据其对称性求解的.,计算条件概率的步骤: 注:计算条件概率的方法:利用公式P(A|B)= ;对古典概型:P(A|B)= . 例1 (2016广西三市联考,13,5分)如图,EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形.将一颗 豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内”,则 (1)P(A)= ;(2)P(B|A)= .,突破方法,方法1 条件概率,解析 圆的面积是,正方形的面积是2,扇形的面积是 ,根据几何概型的概率计算公式得P(A)= ,P(AB)= = ,根据条件概率的公式得P(B|A)= = = . 答案 (1) (2) 1-1 (2016陕西西安质检,5,5分)周老师上数学课时,给班里同学出了两道选择题,她预估做对第 一道题的概率为0.80,做对两道题的概率为0.60,则预估做对第二道题的概率是 ( ) A.0.80 B.0.75 C.0.60 D.0.48 答案 B 解析 设事件Ai(i=1,2)表示“做对第i道题”,A1,A2相互独立, 由已知得P(A1)=0.8,P(A1A2)=0.6,P(A2|A1)= =0.75.故选B. 1-2 (2016吉林长春二模,13,5分)袋中有三个白球,两个黑球.现每次摸出一个球,不放回地摸取 两次,则在第一次摸到黑球的条件下,第二次摸到白球的概率为 .,答案 解析 记事件A为“第一次摸到黑球”,事件B为“第二次摸到白球”,则事件AB为“第一次摸 到黑球,第二次摸到白球”,依题意知P(A)= ,P(AB)= = ,在第一次摸到黑球的条件下,第 二次摸到白球的概率是P(B|A)= = .故答案为 .,1.相互独立事件概率的求法,2.求相互独立事件同时发生的概率的方法: 例2 (2014河北邢台一模,20,12分)甲、乙两人各进行一次射击,如果两人射中目标的概率都是 0.8,计算: (1)两人都射中目标的概率;,方法2 相互独立事件的概率,(2)其中恰有一人射中目标的概率; (3)至少有一人射中目标的概率. 解析 记“甲射击一次,射中目标”为事件A,“乙射击一次,射中目标”为事件B. “两人都射中目标”是事件AB;“恰有一人射中目标”是A 或 B;“至少有一人射中目标” 是AB或A 或 B. (1)显然,“两人各射击一次,都射中目标”就是事件AB,又由于事件A与B相互独立, P(AB)=P(A)P(B)=0.80.8=0.64. (2)“两人各射击一次,恰有一人射中目标”包括两种情况:一种是甲射中乙未射中(即A ),另一 种是甲未射中乙射中(即 B),根据题意,这两种情况在两人各射击一次时不可能同时发生,即事 件A 与 B是互斥的,所以所求概率为 P=P(A )+P( B) =P(A)P( )+P( )P(B) =0.8(1-0.8)+(1-0.8)0.8 =0.16+0.16=0.32.,(3)解法一:“两人各射击一次,至少有一人射中目标”的概率为P=P(AB)+P(A )+P( B)=0.64+ 0.32=0.96. 解法二:“两人都未射中目标”的概率是 P( )=P( )P( )=(1-0.8)(1-0.8)=0.04. 至少有一人射中目标的概率为1-P( )=1-0.04=0.96. 2-1 (2016贵州毕节三模,7,5分)如图,用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工 作且A1、A2至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、 0.8、0.8,则系统正常工作的概率为 ( ),A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576 答案 B 解析 A1、A2同时不能工作的概率为0.20.2=0.04,所以A1、A2至少有一个正常工作的概率为1- 0.04=0.96,所以系统正常工作的概率为0.90.96=0.864.故选B.,1.n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率求法: n次独立重复试验中事件A恰好发生k次可看作 个互斥事件的和,其中每一个事件都可看作k个 A事件与(n-k)个 事件同时发生,只是发生的次序不同,其发生的概率都是pk(1-p)n-k.因此,n次独立 重复试验中事件A恰好发生k次的概率为 pk(1-p)n-k. 2.写二项分布时,首先确定随机变量X的取值,然后用公式P(X=k)计算概率即可. 例3 (2016河南信阳质检,19,12分)为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分为基础设施 工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的 , , .现有3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设. (1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率; (2)记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求的分布列. 解析 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai,Bi, Ci,i=1,2,3.由题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立,C1,C2,C3相互独立,Ai,Bj,Ck(i, j,k=1,2,3,且i,j, k互不相同)相互独立,且P(Ai)= ,P(Bj)= ,P(Ck)= .,方法3 独立重复试验与二项分布,(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3!P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3) =6 = . (2)解法一:设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为,由已知,B ,且=3-,所以 P(=0)=P(=3)= = , P(=1)=P(=2)= = , P(=2)=P(=1)= = ,P(=3)=P(=0)= = . 故的分布列是,解法二:记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di,i=1,2,3. 由已知,D1,D2,D3相互独立,且P(Di)=P(AiCi)=P(Ai)+P(Ci)= + = ,所以B ,即P(=k)= ,k=0,1,2,3. 故的分布列是,3-1 (2015广东揭阳一中模拟,19,12分)某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“再来一瓶”或“谢 谢惠顾”字样,购买一瓶这种饮料,若其瓶盖内印有“再来一瓶”字样即为中奖,中奖概率为 . 甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料. (1)求甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率; (2)求中奖人数的分布列及数学期望E. 解析 (1)设“甲中奖”的事件为A,“乙中奖”的事件为B,“丙中奖”的事件为C,那么P(A)=P (B)=P(C)= , P(AB )=P(A)P(B)P( )= = ,即甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率为 . (2)的所有可能取值为0,1,2,3, P(=k)= (k=0,1,2,3),所以中奖人数的分布列为,E()=0 +1 +2 +3 = .,服从正态分布的随机变量X在某个区间内取值的概率求法: (1)利用P(-4)= ( ) A.0.158 8 B.0.158 7 C.0.158 6 D.0.158 5 解析 由正态曲线性质知,其图象关于直线x=3对称,P(X4)=0.5- P(2X4)=0.5- 0.682 6 =0.158 7.故选B. 答案 B 4-1 已知随机变量服从正态分布N(0,2).若P(2)=0.023,则P(-22)= ( ) A.0.477 B.0.628 C.0.954 D.0.977 答案 C 解析 =0, P(2)=0.023,P(-22)=1-20.023=0.954,故选C.,方法4 正态分布及其应用,