1.2命题及充要条件

1.2命题及充要条件 ; §1.2 命题及充要条件2023高考会这样考 1.考查四种命题的意义及相互关系；2.考查对充沛条件、必要条件、充要条件等概念的理解，主要以客观题的形式出现；3.在解答题中考查命题或充要条件复习备考要这样做 1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论；2.注意条件之间关系的方向性、充沛条件与必要条件方向正好相反；3.注意等价命题的应用 1 命题的定义能够判断真假，用文字或符号表述的语句叫做命题 2 四种命题及相互关系 原命题是真命题，那么它的逆否命题是真命题 3 充沛条件与必要条件(1)如果pq，那么p是q的充沛条件，q是p的必要条件； (2)如果pq，且qp，那么p是q的充要条件 难点正本 疑点清源 1 等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题； (2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3)当判断原命题的真假比拟困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假 2 汇合与充要条件设汇合Ax|x满足条件p，Bx|x满足条件q，那么有(1)假设AB，那么p是q的充沛条件，假设AB，那么p是q的充沛不必要条件； (2)假设BA，那么p是q的必要条件，假设BA，那么p是q的必要不充沛条件； (3)假设AB，那么p是q的充要条件；(4)假设AB，且BA，那么p是q的既不充沛也不必要条件 1 以下命题：“全等三角形的面积相等的逆命题； “假设ab0，那么a0的否命题；“正三角形的三个角均为60°的逆否命题 其中真命题的序号是_ 答案 解析 “全等三角形的面积相等的逆命题为“面积相等的三角形全等，显然该命题为假命题；“假设ab0，那么a0的否命题为“假设ab0，那么a0，而由ab0，可得a，b都不为零，故a0，所以该命题是真命题；因为原命题“正三角形的三个角均为60°是一个真命题，故其逆否命题也是一个真命题 112 “x>2是“x2答案 充沛不必要x211解析 x>22x>0>2x2xx211“x>2是“x2112D/x>2. x211“x>2是“x2ab3 已知a，bR，那么“ab是“ab的_条件2答案 必要不充沛abab解析 因为假设ab22abbab0，所以必要性成立，故“ab是“ab的必要不充沛条件24 (2023·天津改编)设汇合AxR|x2>0，BxR|x0，那么“xAB是“xC的_条件 答案 充要解析 因为Ax|x2>0x|x>2(2，)， Bx|x所以AB(，0)(2，)， Cx|x(x2)>0x|x2 (，0)(2，)即ABC.故“xAB是“xC的充要条件.5 (2023·天津改编)设R，那么“0是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数的_条件 答案 充沛不必要解析 假设0，那么f(x)cos x是偶函数， 但是假设f(x)cos(x)是偶函数，那么也成立故“0是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数的充沛不必要条件. 题型一 四种命题及真假判断例1 已知命题“假设函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，那么m1，那么以下结论正确的是_(填序号)否命题“假设函数f(x)exmx在(0，)上是减函数，那么m>1是真命题； 逆命题“假设m1，那么函数f(x)exmx在(0，)上是增函数是假命题； 逆否命题“假设m>1，那么函数f(x)exmx在(0，)上是减函数是真命题； 逆否命题“假设m>1，那么函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数是真命题 思维启迪：根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的叙述格式当命题较简单时，可直接判断其真假，假设命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题逆否命题进行真假判断 答案 解析 命题“假设函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，那么m1是真命题，所以其逆否命题“假设m>1，那么函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数是真命题 探究提高 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例 有以下四个命题： “假设xy0，那么x，y互为相反数的逆命题； “全等三角形的面积相等的否命题；“假设q1，那么x22xq0有实根的逆否命题； “不等边三角形的三个内角相等的逆命题 其中真命题的序号为_ 答案 解析 的逆命题是“假设x，y互为相反数，那么xy0，真；的否命题是“不全等的三角形的面积不相等，假；假设q1，那么44q0，所以x22xq0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形，假 题型二 充要条件的判断例2 假设f(x)ax2bxc (a>0，xR)，f(1)0，那么“b条件思维启迪：由f(1)0，得abc0.下面只要判定“bf(1)0，abc0，cba，f(2)4a2bc3a3b. 假设b那么f(2)3a3b0)反之，假设f(2)4a2bc3a3b0，推不出b故“b探究提高 判断p是q的什么条件，需要从两方面进行分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否认性的命题或比拟难判断的命题，除借助汇合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题 给出以下命题： “数列an为等比数列是“数列anan1为等比数列的充沛不必要条件； “a2是“函数f(x)|xa|在区间2，)上为增函数的充要条件；“m3是“直线(m3)xmy20与直线mx6y50互相垂直的充要条件； 设a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C所对的边，假设a1，b3，那么“A30°是“B60°的必要不充沛条件 其中真命题的序号是_ 答案 解析 对于，当数列an为等比数列时，易知数列anan1是等比数列，但当数列 anan1为等比数列时，数列an未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此正确；对于，当a2时，函数f(x)|xa|在区间2，)上是增函数，因此不正确；对于，当m3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m3，也可能m0.因此不bsin B1正确；对于，由题意得3，假设B60°，那么sin A，注意到b>a，故A30°，asin A2反之，当A30°时，有sin B上所述，真命题的序号是. 题型三 利用充要条件求参数例3 已知汇合Mx|x5，Px|(xa)·(x8)0(1)求实数a的取值范围，使它成为MPx|5(2)求实数a的一个值，使它成为MPx|5(2)求实数a的一个值，使它成为MPx|5解 设Ax|x24x50x|1x5，Bx|a3a3从而有AB.故a3>5，3，由于b>a，所以B60°或B120°，因此正确综2 解得a>4. 等价转化思想在充要条件关系中的应用 x1典例：(14分)已知p：12，q：x22x1m20 (m>0)，且绨p是绨q的必要而3不充沛条件，求实数m的取值范围审题视角 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简(2)再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组，得出结论