辽宁省沈阳市和平区2016届中考数学一模试卷含答案解析

2016年辽宁省沈阳市和平区中考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）12的相反数是（）AB2CD22如图，正三棱柱的主视图为（）ABCD3地球上的陆地面积约为149000000km2将149000000用科学记数法表示为（）A1.49×106B1.49×107C1.49×108D1.49×1094下列各式计算正确的是（）Aa3+a4=a7B（3a+b）2=9a2+b2C（ab3）2=a2b6Da6b÷a2=a3b51的值（）A比2大B比3大C比3小D比4小6袋子中装有2个黑球和3个白球，这些球除了颜色不同外形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地一次从袋子中摸出三个球下列事件是必然事件的是（）A摸出的三个球中至少有一个球是白球B摸出的三个球中至少有一个球是黑球C摸出是三个球中至少有两个球的黑球D摸出的单个球中至少有两个球是白球7下列四个命题：两点之间线段最短；三角形有且只有一个外接圆；对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；正六边形的边心距与边长相等其中是真命题的有（）ABCD8小明把如图所示的3×3的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（2016沈阳一模）关于x的一元二次方程x24x+2m=0有两个实数根，则实数m的取值范围是（）Am2Bm2Cm2Dm210在ABC中，ACB=90°，将RtABC放在如图所示的平面直角坐标系中，ABC的边ACx轴，AC=1，点B在x轴上，点C在函数y=（x0）的图象上先将此三角形作关于原点O的对称图形，再向右平移3个单位长度得到A1B1C1，此时点A1在函数y=（x0）的图象上，B1C1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（）ABCD二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11分解因式：3ax212ay2=12不等式组的解集是13将正面分别标有数字1，2，3，4的四张质地、大小完全相同的卡片背面朝上放在桌面上从中随机抽取一张，将抽得的数字作为十位上的数字，然后将所抽取的卡片背面朝上放回并洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数字作为个位上的数字，则组成的两位数大于23的概率是14已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且ACB=40°，ADB=68°，则CAD=15某射击小组某次射击的数据如表： 成绩（环） 56 78 910 人数1 27 63 1则这个射击小组20人射击成绩的中位数是环16如图，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃ABCD，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF与GH将矩形ABCD分割成三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，现有总长80m的篱笆，当围成的花圃ABCD的面积最大时，AB的长为m三、解答题（共9小题，满分82分）17计算：18如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，A=D，AB=DC（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD=7cm，DC=2cm，EBD=60°，则BE=cm时，四边形BFCE是菱形19某市今年1月1日起调整居民用水的价格，每立方米水费上涨小刚家去年12月份的水费是20元，而今年2月份的水费是36元，已知小刚家今年2月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格20在“全民读书月”活动中，某校九年级的小明调查了班级40名同学计划购买课外书的费用情况，并对调查结果进行整理，绘制了下面两个不完整的统计图（1）直接补全条形统计图；（2）m=，n=；（3）在扇形统计图中，“30元”所在扇形的圆心角的度数是；（4）如果该校九年级共有学生320人，那么请你估计计划购买课外书的费用为80元的九年级学生有多少？21如图，为了测量某建筑物CE及建筑物上面的旗杆CD的高度（E，C，D三点在一条直线上），一测量员在距离建筑物底部E处10m的A处安置高为1.4m的测倾器AB，在B处测得旗杆顶部D的仰角为60°，旗杆底部C的仰角为45°，求建筑物CE及旗杆CD的高度（若运算结果有根号，保留根号）22如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB是O的直径，D=108°，连接AC（1）求BAC的度数；（2）若DCA=27°，AB=8，求图中阴影部分的面积（结果保留）23如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD的顶点B，D的坐标分别为（8，0），（0，4）若反比例函数y=（x0）的图象经过对角线OC的中点A，分别交DC边于点E，交BC边于点F设直线EF的函数表达式为y=k2x+b（1）反比例函数的表达式是；（2）求直线EF的函数表达式，并结合图象直接写出不等式k2x+b的解集；（3）若点P在直线BC上，将CEP沿着EP折叠，当点C恰好落在x轴上时，点P的坐标是24在RtABC中，ACB=90°，点D在AB边上，AD=BD，过点D作射线DH，交BC边于点M（1）如图1，若B=30°，求证：ACD是等边三角形；（2）如图2，若AC=10，AD=13，CDH=A求线段DM的长；点P是射线DH上一点，连接AP交CD于点N，当DMN是等腰三角形时，求线段MP的长25直线y=与抛物线y=（x3）24m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；（3）若CD=CB求点B的坐标；在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是2016年辽宁省沈阳市和平区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）12的相反数是（）AB2CD2【考点】相反数【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案【解答】解：2的相反数是2，故选：D【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义2如图，正三棱柱的主视图为（）ABCD【考点】简单几何体的三视图【分析】根据正三棱柱的主视图是矩形，主视图中间有竖着的实线，即可解答【解答】解：正三棱柱的主视图是矩形，主视图中间有竖着的实线故选：B【点评】本题考查实物体的三视图在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉3地球上的陆地面积约为149000000km2将149000000用科学记数法表示为（）A1.49×106B1.49×107C1.49×108D1.49×109【考点】科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【解答】解：149 000 000=1.49×108，故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值4下列各式计算正确的是（）Aa3+a4=a7B（3a+b）2=9a2+b2C（ab3）2=a2b6Da6b÷a2=a3b【考点】整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式【分析】根据合并同类项、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方以及整式的除法进行计算【解答】解：A、a3与a4不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、（3a+b）2=9a2+6ab+b2，故本选项错误；C、（ab3）2=a2b6，故本选项正确；D、a6b÷a2=a4b，故本选项错误故选：C【点评】本题考查了合并同类项、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方以及整式的除法，熟记计算法则即可解题51的值（）A比2大B比3大C比3小D比4小【考点】估算无理数的大小【分析】先估算34，进而解答即可【解答】解：34，43，312故选B【点评】本题考查了无理数的估算，关键是得出34解答6袋子中装有2个黑球和3个白球，这些球除了颜色不同外形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地一次从袋子中摸出三个球下列事件是必然事件的是（）A摸出的三个球中至少有一个球是白球B摸出的三个球中至少有一个球是黑球C摸出是三个球中至少有两个球的黑球D摸出的单个球中至少有两个球是白球【考点】随机事件【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断【解答】解：A、是必然事件；B、是随机事件，选项错误；C、是随机事件，选项错误；D、是随机事件，选项错误故选A【点评】考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件7下列四个命题：两点之间线段最短；三角形有且只有一个外接圆；对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；正六边形的边心距与边长相等其中是真命题的有（）ABCD【考点】命题与定理【分析】根据两点之间线段最短，三角形有一个且只有一个外接圆以及正方形的判定、正六边形边心距的概念可以得出正确，错误【解答】解：正确正确错误，对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形错误，正六边形的边心距=a，（a是正六边形边长）故选A【点评】本题考查命题与定理、两点之间线段最短、三角形有一个且只有一个外接圆、正方形的判定、正六边形的边心距的概念，解题的关键是理解并且记住这些概念，属于中考常考题型8小明把如图所示的3×3的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（2016沈阳一模）关于x的一元二次方程x24x+2m=0有两个实数根，则实数m的取值范围是（）Am2Bm2Cm2Dm2【考点】根的判别式【分析】根据方程有实数根，得出0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可【解答】解：一元二次方程x24x+2m=0有两个实数根，=（4）24×1×2m0，即168m0，解得：m2，故选：D【点评】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：0方程有两个不相等的实数根；=0方程有两个相等的实数根；0方程没有实数根是本题的关键10在ABC中，ACB=90°，将RtABC放在如图所示的平面直角坐标系中，ABC的边ACx轴，AC=1，点B在x轴上，点C在函数y=（x0）的图象上先将此三角形作关于原点O的对称图形，再向右平移3个单位长度得到A1B1C1，此时点A1在函数y=（x0）的图象上，B1C1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（）ABCD【考点】反比例函数综合题【分析】首先由边ACx轴，AC=1，点C在函数y=（x0）的图象上，求得点C的坐标，继而求得点A与点B的坐标，然后由旋转的性质、平移的性质，求得A1B1C1各顶点的坐标，再由点A1在函数y=（x0）的图象上，B1C1与此图象交于点P，求得答案【解答】解：边ACx轴，AC=1，点C的横坐标为1，点C在函数y=（x0）的图象上，y=2，点C的坐标为：（1，2），点A的坐标为：（0，2），点B的坐标为：（1，0），先将此三角形作关于原点O的对称图形，再向右平移3个单位长度得到A1B1C1，A1的坐标为：（3，2），B1的坐标为：（4，0），C1的坐标为：（4，2），点A1在函数y=（x0）的图象上，k=xy=3×（2）=6，此反比例函数的解析式为：y=，线段B1C1的解析式为：x=4，点P的横坐标为：4，点P的纵坐标为：y=故选D【点评】此题属于反比例函数综合题考查了待定系数求反比例函数解析式、旋转的性质、平移的性质以及点与函数的关系注意求得A1B1C1各顶点的坐标是关键二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11分解因式：3ax212ay2=3a（x+2y）（x2y）【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】首先提取公因式3a，再利用平方差公式进行二次分解即可【解答】解：原式=3a（x24y2）=3a（x+2y）（x2y），故答案为：3a（x+2y）（x2y）【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止12不等式组的解集是x2【考点】解一元一次不等式组【分析】分别求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组解集即可【解答】解：解不等式3x2x+4，得：x4，解不等式x31，得：x2，所以不等式组解集为：x2，故答案为：x2【点评】本题主要考查解一元一次不等式组的能力，准确求出每个不等式的解集是解题的前提和根本，依据口诀确定不等式组解集是关键13将正面分别标有数字1，2，3，4的四张质地、大小完全相同的卡片背面朝上放在桌面上从中随机抽取一张，将抽得的数字作为十位上的数字，然后将所抽取的卡片背面朝上放回并洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数字作为个位上的数字，则组成的两位数大于23的概率是【考点】列表法与树状图法【专题】计算题【分析】先画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出组成的两位数大于23的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中组成的两位数大于23的数为9，所以组成的两位数大于23的概率=故答案为【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率14已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且ACB=40°，ADB=68°，则CAD=70°或14°【考点】线段垂直平分线的性质【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到CA=CB，DA=DB，证明CADCBD，得到答案；根据线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证明结论【解答】解：如图1，点C、D为线段AB的垂直平分线上的两点，CA=CB，DA=DB，在CAD和CBD中，CADCBD，CAD=CBD，ACB=40°，ADB=68°，CAD=（360°40°68°）=121°；如图2，点C为线段AB的垂直平分线上的点，CA=CB，CAB=CBA=（180°40°）=70°，点D为线段AB的垂直平分线上的点，DA=DB，DAB=DBA=（180°68°）=56°，CAD=CBD=70°56°=14°综上所述：CAD=70°或14°故答案为：70°或14°【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键15某射击小组某次射击的数据如表： 成绩（环） 56 78 910 人数1 27 63 1则这个射击小组20人射击成绩的中位数是7.5环【考点】中位数【分析】要求中位数，因表中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可【解答】解：这个射击小组20人射击成绩的中位数是（7+8）÷2=7.5故答案为：7.5【点评】考查了确定一组数据的中位数和众数的能力注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求如果是偶数个则找中间两位数的平均数16如图，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃ABCD，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF与GH将矩形ABCD分割成三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，现有总长80m的篱笆，当围成的花圃ABCD的面积最大时，AB的长为15m【考点】二次函数的应用【专题】几何图形问题【分析】根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE，设BC=x，BE=a，则有AE=2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值，进而可得a的值，由AB=3a计算可得【解答】解：三块矩形区域的面积相等，矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，AE=2BE，设BC=x，BE=a，则AE=2a，8a+2x=80，a=x+10，3a=x+30，y=（x+30）x=x2+30x，a=x+100，x40，则y=x2+30x=x2+30x=（x20）2+300（0x40），当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米，当x=20时，a=x+10=5，AB=AE+BE=3a=15米，故答案为：15【点评】此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键三、解答题（共9小题，满分82分）17计算：【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂【专题】计算题【分析】先分别根据0指数幂、负整数指数幂的运算法则及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可【解答】解：原式=12+352=6+【点评】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂、负整数指数幂的运算法则及绝对值的性质是解答此题的关键18如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，A=D，AB=DC（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD=7cm，DC=2cm，EBD=60°，则BE=3cm时，四边形BFCE是菱形【考点】菱形的判定；平行四边形的判定【分析】（1）直接利用全等三角形的判定方法得出ABEDCF（SAS），进而求出BE=FC，BEFC，即可得出答案；（2）直接利用菱形的性质得出EBC是等边三角形，进而得出答案【解答】（1）证明：在ABE和DCF中，ABEDCF（SAS），BE=FC，ABE=DCF，EBC=FCB，BEFC，四边形BFCE是平行四边形；（2）解：当四边形BFCE是菱形，则BE=EC，AD=7cm，DC=2cm，AB=DC，BC=3cm，EBD=60°，EB=EC，EBC是等边三角形，BE=3cm故答案为：3【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及菱形的性质，正确掌握菱形的性质是解题关键19某市今年1月1日起调整居民用水的价格，每立方米水费上涨小刚家去年12月份的水费是20元，而今年2月份的水费是36元，已知小刚家今年2月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格【考点】分式方程的应用【分析】求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系，本题的关键描述语是：今年2月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，等量关系为：2月份的用水量12月份的用水量=5m3【解答】解：设去年居民用水价格为x元/立方米，则今年水费为x（1+）元/立方米，根据题意可列方程为：=5整理，得=5，解得：x=2经检验x=2是原方程的解则x（1+）=2.4答：该市今年居民用水价格为2.4元【点评】本题考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键20在“全民读书月”活动中，某校九年级的小明调查了班级40名同学计划购买课外书的费用情况，并对调查结果进行整理，绘制了下面两个不完整的统计图（1）直接补全条形统计图；（2）m=25，n=5；（3）在扇形统计图中，“30元”所在扇形的圆心角的度数是72°；（4）如果该校九年级共有学生320人，那么请你估计计划购买课外书的费用为80元的九年级学生有多少？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图【分析】（1）总人数乘以30元所占百分比可得30元人数，用总人数减去其余各组人数可得80元的人数，补全条形图；（2）用20元、80元的人数除以总人数可得其所占百分比；（3）用360°乘以30元占总数的百分比；（4）用总体中人数×样本中80元所占比例可得【解答】解：（1）费用为30元的有：40×20%=8人，费用为80元的有：4028164=10人，补全条形统计图如下：（2）m=25，n=×100=5；（3）360°×20%=72°；（4）320×25%=80人答：估计计划购买课外书的费用为80元的九年级学生约有80人故答案为：（2）25，5；（3）72°【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小21如图，为了测量某建筑物CE及建筑物上面的旗杆CD的高度（E，C，D三点在一条直线上），一测量员在距离建筑物底部E处10m的A处安置高为1.4m的测倾器AB，在B处测得旗杆顶部D的仰角为60°，旗杆底部C的仰角为45°，求建筑物CE及旗杆CD的高度（若运算结果有根号，保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】作BFDE于F，易知四边形AEFB是矩形，分别在RTBFC和RTBFD中求出CF，DF即可解决问题【解答】解：如图作BFDE于F，BAE=AEF=BFE=90°，四边形ABFE是矩形，EF=AB=1.4，BF=AE=10，在RTBFC中，CBF=45°，BFC=90°，FBC=FCB=45°，BF=CF=10，在RTBFD中，BFD=90°，DBF=60°，BF=10，tanDBF=，=，DF=10，DC=DFCF=1010，CE=CF+EF=11.4，答：建筑物CE及旗杆CD的高度分别为11.4m和（1010）m【点评】本题考查解直角三角形的有关知识、特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是理解仰角、俯角的概念，学会添加辅助线，把问题转化为直角三角形、特殊的四边形解决，属于中考常考题型22如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB是O的直径，D=108°，连接AC（1）求BAC的度数；（2）若DCA=27°，AB=8，求图中阴影部分的面积（结果保留）【考点】扇形面积的计算；圆内接四边形的性质【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到B=72°，根据AB是O的直径，得到ACB=90°，根据三角形的内角和即可得到结论；（2）连接OC，OD，根据三角形的内角和得到DAC=180°108°27°=45°，由圆周角定理得到DOC=90°，推出COD是等腰直角三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【解答】解：（1）四边形ABCD是O的内接四边形，D=108°，B=72°，AB是O的直径，ACB=90°，BAC=18°；（2）连接OC，OD，D=108°，DCA=27°，DAC=180°108°27°=45°，DOC=90°，COD是等腰直角三角形，AB=8，OC=OD=4，阴影部分的面积=S扇形CODSCOD=×42=48【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键23如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD的顶点B，D的坐标分别为（8，0），（0，4）若反比例函数y=（x0）的图象经过对角线OC的中点A，分别交DC边于点E，交BC边于点F设直线EF的函数表达式为y=k2x+b（1）反比例函数的表达式是y=；（2）求直线EF的函数表达式，并结合图象直接写出不等式k2x+b的解集；（3）若点P在直线BC上，将CEP沿着EP折叠，当点C恰好落在x轴上时，点P的坐标是（8，3）【考点】反比例函数综合题【分析】（1）求出点A坐标代入y=即可解决（2）根据一次函数的图象在反比例函数图象的下面，即可写出不等式的解集（3）如图作EMOB于M，利用翻折不变性，设设PC=PN=x，利用EMNNBP得=，求出x即可解决问题【解答】解：（1）四边形OBCD是矩形，OD=BC=4，OB=CD=4，OA=OC，点A坐标（2，4），点A在反比例函数y=上，k1=8，反比例函数为y=，故答案为y=（2）点E、F在反比例函数图象上，点E坐标（2，4），点F坐标（8，1），设直线EF为y=kx+b，则，解得，直线EF为y=x+5于图象可知不等式k2x+b的解集为x2或x8（3）如图作EMOB于M，DOM=EMO=EDO=90°，四边形DEMO是矩形，EM=DO=4，EPN是由EPC翻折得到，EC=EN=6，PC=PN，ECP=ENP=90°，设PC=PN=x，MN=2，ENM+PNB=90°，PNB+NPB=90°，ENM=NPB，EMN=PBN，EMNNBP，=，=，x=93，PB=BCPC=4（93）=35故答案为（8，35）【点评】本题考查反比例函数、一次函数的有关知识、翻折变换等知识，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，学会待定系数法确定函数解析式，学会利用函数图象确定自变量的取值范围，属于中考压轴题24在RtABC中，ACB=90°，点D在AB边上，AD=BD，过点D作射线DH，交BC边于点M（1）如图1，若B=30°，求证：ACD是等边三角形；（2）如图2，若AC=10，AD=13，CDH=A求线段DM的长；点P是射线DH上一点，连接AP交CD于点N，当DMN是等腰三角形时，求线段MP的长【考点】三角形综合题【专题】综合题；一次函数及其应用【分析】（1）由三角形内角和定理求出A的度数，根据D为直角三角形斜边上的中点，得到CD=AD，利用等边对等角及内角和定理得到ADC=60°，利用等边三角形的判定方法判断即可得证；（2）由D为斜边上的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半确定出AC=CD=AD，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，确定出DH与AC平行，确定出DM为三角形ABC中位线，利用中位线定理判断即可求出DM的长；分三种情况考虑：当MN=DN；当MN=DM；当DN=DM，分别求出MP的长即可【解答】（1）证明：B=30°，ACB=90°，A=60°，由题意可得D是直角三角形斜边A边上的中点，CD=AD，ACD=A=60°，ADC=60°，ACD为等边三角形；（2）解：点D是直角三角形斜边AB上的中点，AC=CD=AD，ACD=A，CDH=A，ACD=CDH，DHAC，DM为ABC的中位线，DM=AC=5；分三种情况考虑：（i）当MN=DN时，如图1所示，由得：AD=CD，A=ACD=CDH，DM=5，MN=DN，CDN=DMN=A=ACD，ADCDNM，=，即=，解得：DN=CD，CN=DN，DHAC，ACNPDN，PD=AC=10，MP=PDDM=105=5；（ii）当MN=DM=5时，如图2所示，则有MND=MDN=ACD=A，ADCMDN，=，即=，解得：DN=，CN=13=，ACNPDN，=，即=，解得：PD=；（iii）当DN=DM时，如图2所示，则有DN=5，CN=135=8，ACNPDN，=，即=，解得：PD=，则MP=PDDM=【点评】此题属于三角形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的判定与性质，以及平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键25直线y=与抛物线y=（x3）24m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；（3）若CD=CB求点B的坐标；在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是（3，）【考点】二次函数综合题【分析】（1）由抛物线的解析式可得出抛物线对称轴为x=3，将x=3代入直线AB的解析式中即可求出点C的坐标；由抛物线的解析式表示出顶点坐标，结合两点间的距离公式即可得出CD的长度；（2）将直线解析式代入抛物线解析式中，得出关于x的二元一次方程，由求根公式找出x值中较大的数，令其为t，变换等式即可得出结论；（3）借用（2）的结论，利用CD=CB得出关于m的一元二次方程，解方程得出m的值代入原方程进行验证即可确定m的结果，在将m代入t关于m的解析式中即可得出B点的横坐标，由点B在直线y=x上即可得出B点坐标；作B点关于对称轴的对称点B，过点F作FMBC于点M，连接BM，通过三角形内两边之和大于第三边找出点F的位置，再结合两直线垂直，斜率之积为1找出BM的解析式，结合对称轴为x=3即可得出结论【解答】解：（1）抛物线y=（x3）24m+3的对称轴为x=3，令x=3，则有y=×3=4，即点C的坐标为（3，4）抛物线y=（x3）24m+3的顶点D的坐标为（3，4m+3），点D在点C的下方，CD=4（4m+3）=4m+1（2）令x=（x3）24m+3，即x+124m=0，解得：x1=，x2=+点A在点B的左侧，且点B的横坐标为t，t=x2=+，m=（3）依照题意画出图形，如图1所示过点C作CEx轴，过点B作BEy轴交CE于点E直线BC的解析式为y=x，BE=CE，由勾股定理得：BC=CECD=CB，有4m+1=（t3）=（+3），解得：m=4，或m=1当m=4时， +4×（4）=0，不合适，m=1，此时t=+=6，y=×6=8故此时点B的坐标为（6，8）作B点关于对称轴的对称点B，过点F作FMBC于点M，连接BM直线BC的解析式为y=，FMBC，tanFCM=，sinFCM=B、B关于对称轴对称，BF=BF，BF+CF=BF+FM当点B、F、M三点共线时BF+FM最小B点坐标为（6，8），抛物线对称轴为x=3，B点的坐标为（0，8）又BMBC，直线BM的斜率为=，直线BM的解析式为y=x+8，当x=3时，有y=×3+8=即此时点F的坐标为（3，）故答案为：（3，）【点评】本题考查了二次函数的性质、一元二次方程的求根公式、解直角三角形以及解无理方程，解题的关键是：（1）根据二次函数的解析式找出其对称轴及顶点坐标；（2）由求根公式得出t；（3）得出关于m的无理方程；寻到点F的位置本题属于中档题，（1）（2）难度不大，（3）难度不小，中涉及到了解无理方程，产生了增根需要去验证；寻找F点的位置是关键，此处在直角三角形中利用了角的三角函数值寻找到点F的位置第29页（共29页）