数学正弦定理新人教B必修

1、边的关系：2、角的关系：3、边角关系：1）两边之和大于第三边；两边之差小于第三边2）在直角三角形中：a2+b2=c21）A+B+C=18001）大边对大角，大角对大边，等边对等角2）在直角三角形ABC中,C=900,则回顾三角形中的边角关系:一、前提测评第1页/共18页1、知识目标(1)使同学们理解正弦定理的推导过程(2)能应用正弦定理解斜三角形2、能力目标 培养同学们分析归纳的能力、分析问题解决问题的能力二、展示目标第2页/共18页对任意三角形,这个等式都会成立吗?怎么证明这个结论？ABCcba在直角三角形中:正弦定理的发现第3页/共18页1、当ABC为锐角三角形时，如图（1）证明:过A作单位向量 垂直,则 的夹角为_,的夹角为_,的夹角为_.已知:ABC中，CB=a,AC=b,AB=c.求证:ACBabcj方法一方法一(向量法向量法)（一）正弦定理的证明第4页/共18页ACBabc第5页/共18页2、当ABC为钝角三角形时，不妨设ABCabc如图,同样可证得即等式对任意三角形都成立第6页/共18页证法二证法二：(等积法等积法)在任意斜ABC当中作ADBC于D 同理可证DABCcabh第7页/共18页证法三证法三：(外接圆法外接圆法)如图所示,作ABCABC外接圆则 同理（R R为ABCABC外接圆半径）ABCabcOD A=D第8页/共18页正弦定理在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即注意：定理适合任意三角形。ABCacb正弦定理的应用:一、解斜三角形；二、在三角形中实现边角互化.（2R是三角形外接圆的直径）第9页/共18页正弦定理在解斜三角形中的两类应用:(1)、已知两角和任一边,求一角和其他两条边.(2)、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(进而求其他的角和边)ABaCAa abB第10页/共18页例1.已知在ABC中，c=10,A=45c=10,A=450 0,C=30,C=300 0,求a,ba,b和B B 解：c=10 A=450,C=300 B=1800-(A+C)=1050 由 =得 a=10由 =得 b=20sin750=20=5 +5例题讲解：第11页/共18页例2、在ABC中，b=,B=600,c=1,求a和A，C 解：=sinC=B=900 a=2 bc,B=600 C 90时时A=90时时Ab 1解解ab 1解解ab 1解解a=b 无解无解a=b 无解无解a=b 1解解ab 无解无解ab 无解无解ab1、bsinAab 2解解2、a=bsinAb 1解解 3、ac，故AC，无解C：D：第16页/共18页3、ABC中，sinAsinB是AB()D即不必要也非充分条件A充分非必要条件C充要条件B必要非充分条件解：在ABC中，由正弦定理可知又因为sinAsinB,所以ab,根据“大边对大角”，得：AB所以sinAsinB是AB的充分条件反之由AB根据“大角对大边”的ab，由正弦定理可以推出sinAsinB所以sinAsinB是AB的必要条件综上sinAsinB是AB的充要条件第17页/共18页谢谢您的观看！第18页/共18页