概率论与数理统计10讲

1 概率论与数理统计第10讲本文件可从网址http:/上下载 2 连续型随机变量的分布一随机变量的分布函数是描述任何类型的随机变量的变化规律的最一般的形式，但由于它不够直观，往往不常用。比如，对离散型随机变量，用概率函数来描述即简单又直观。 3 对于连续型随机变量也希望有一种比分布函数更直观的描述方式。这就是今天要讲的“概率密度函数” 4 例 在区间4,10上任意抛掷一个质点, 用X表示这个质点和原点的距离, 则X是一随机变量, 如果这个质点落在4,10上任一子区间内的概率与这个区间的长度成正比, 求X的分布函数.4 10 x 54 10 x 6 解 X可以取4, 10上的一切实数, 即4X10是一个必然事件, P4X10=1,若c,d4,10, 有PcXd=(d-c), 为比例常数, 特别地, 取c=4, d=10, P4X10=(10-4)=6=1, 因此=1/6. 7 因此X的分布函数就是0 41( ) ( ) ( 4) 4 1061 10 xF x P X x x xx - 8 F(x)的图形如下所示0 F(x) 4 10 x1 9 在这里，分布函数F(x)是(-, +)上的一个非降有界的连续函数， 在整个数轴上没有一个跳跃点(可见, 对于这样的随机变量, 它取任何一个具体值的概率都是零). 这就是这种类型的随机变量被称作是连续型随机变量的原因. 10 描述连续型随机变量当然不能够用概率函数或者概率分布表. 但是使用分布函数F(x)同样也是不很方便. 因此, 用概率密度函数来描述连续型随机变量的分布. 11 定义 对于连续型随机变量X, 如果存在一定义在(-, +)上的非负函数f(x), 对于任意实数x都有f(x)0, 且满足, X落在任意区间内的概率为f(x)在此区间的积分, 即( ) ( )b aP a X b f x dx 则称f(x)为X的概率密度函数,或称为概率密度或密度函数, 记作Xf(x). 12 用概率密度函数计算X落在任何区间内的概率如下图所示意.a b x0f(x) PaXb 13 因此, 概率密度函数的两个性质一个是f(x)0, 另一个则是x0f(x) ( ) 1f x dx - 14 概率密度函数f(x)与分布函数F(x)的关系为x0f(x) ( ) ( )xF x P X x f t dt- x 15 ( )( ) ( )f xf x F x因此对于的一切连续点有 16 进一步剖析可得x0f(x) x x+x0 ( ) limx P x X x xf x x 17 这表明f(x)不是X取值x的概率, 而是它在x点概率分布的密集程度. 18 在前例中X的概率密度函数f(x)为1 4 106( ) 0 xf x 其它0 4 10 xf(x) 190 4 10 xf(x) 20 例 若X有概率密度( )( ) 0 a x b a bf x 其它则称X服从区间a,b上的均匀分布, 记作XU(a,b)试求F(x). 21 ( ) 0 0 ( ) 11 ( )1 , ( ) 0a ba bf x dx dx dx dx b aa x b a bb af xb a - - - - - 则因此其它解 因为 22 f(x)的图形为求分布函数F(x)则是根据公式0 a b xf(x) ab-1 ( ) ( )xF x f t dt- 23 当xa时0 a b xf(x) ab-100)( -x dtxF x 24 当axb时0 a b xf(x) ab-1x 27 1( ) 0 01|a b xa bbaF x dt dt dtb at b ab a b a- - - - 28 综上所述, 最后得分布函数为 - bx bxaab ax axxF 10)( 29 F(x)与f(x)的图形对照如下:0 a b xf(x) ab-10 a b xF(x)1 300 a b xF(x)1 31 例 已知连续型随机变量X有概率密度1 0 2( ) 0kx xf x 其它求系数k及分布函数F(x), 并计算P1.5X2.5 32 0 20 22 22 0 0( ) 0 ( 1) 01 12 2 12 2| |f x dx dx kx dx dxkx x k k - - - 解得解 因 33 则f(x)为1 0 2( ) 20 x xf x - 其它 34 f(x)的图形为1 20 xf(x) 35 ( ) ( )xF x f t dt- 下面用公式计算分布函数 36x 当x0时, 00)( -x dtxF1 20 xf(x) 37x 当0 x2时, 1214 0)12(0)( | 20202 2200 - - - tt dtdttdtxF xx1 20 xf(x) 39 综合前面最后得 - 21 2041 00)( 2 x xxx xxF 40 F(x)的图形为1 20 xF(x) 41 1 20 xf(x)1 20 xF(x)概率密度函数f(x)与分布函数F(x)对照 42 现根据概率密度函数和分布函数分别计算概率P1.5X2.5根据分布函数计算: P1.5X2.5= P1.5X2.5-P(X=2.5)=F(2.5)-F(1.5)-0=1-(1.52/4)+1.5=1-0.9375=0.0625 43 根据概率密度函数进行计算则是2.5 2 2.51.5 1.5 22 2 2.51.5 21.5 2.5 ( ) ( 1) 021 0.5625 0.5 0.06254| | xP X f x dx dx dxx x - - - 44 用两种方法计算P1.5X2.5的示意图1 20 xf(x)1 20 xF(x) 1.51.5 0.06252.52.50.0625 45 定义(数学上随机变量的严格定义)如果每次试验的结果, 也就是每一个样本点e, 都对应着一个确定的实数X, 并且对于任何实数x, Xx有确定的概率, 称X为随机变量.(之所以要这样定义还牵涉到数学上的实变函数理论, 可测集理论.但简而言之, 这样定义的随机变量能够保证我们一般关心的X在实数轴上的事件都存在着概率.) 46 实际上,连续型随机变量X的存在给数学家们带来了很大的麻烦因为, 当任意两个实数a,b不相同时, 即当ab,事件X=a和事件X=b是互不相容的, 而且连续型随机变量X取任何单个的实数的概率为0. 47 可是X落在某一区间内的事件实际上是由所有的等于此区间内的每一个实数的事件的并, 这样就出现了无限多个概率为0的事件的并的事件的概率却不为0, 即加法法则不成立.因此数学家们就只好宣布可列可加性, 而不可列可加性则不成立. 48 在创建概率论体系之初, 人们是认为概率为0的事件就是不可能事件. 但连续型随机变量取任何一个具体值的概率都是0, 却是可能事件.这也逼得数学家们不得不宣布概率为0的事件并不一定是不可能事件. 49 例1 设随机变量X具有概率密度, 0 3,( ) 2 , 3 420, .kx xxf x x - 其它(1)确定常数k; (2)求X的分布函数F(x); (3)求P1X7/2 50 解 (1) 由 得( )d 1f x x- 3 40 3d 2 d 1,2xkx x x - 解得k=1/6, 于是X的概率密度为, 0 3,6( ) 2 , 3 42 0, .x xf x x x - 其它 51 , 0 3,6( ) 2 , 3 420, .x xf x x x - 其它f(x)12 3 4 xO 52f(x)12 3 4 xO 53 (2) X的分布函数为03 0 30, 0, 0 3,6( ) 2 , 3 4,6 21, 4.x x xt dt xF x t tdt dt xx - 54 2 20, 0, 0 3,12( ) 3 2 , 3 4,41, 4.xx xF x xx xx - - 55 (3) 7/2 3 7/21 1 37/23 22 1 31 7/2 ( )d d 2 d6 21 412 .12 4 48x xP X f x x x xxx x - - 或 P1X7/2=F(7/2)-F(1)=41/48. 56 例2 设随机变量X的分布函数为20, 0( ) , 0 11, 1xF x x xx 求 (1) 概率P0.3X0.7; (2) X的密度函数 57 解(1) P0.3X0.7=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4(2) X的密度函数为0, 0, 2 , 0 1( ) ( ) 2 , 0 1 0,0, 1x x xf x F x x xx 其它 58 第28页 习题2-4第1题,第2题,第5题,第7题学号不小于2003021561的学生交作业