导数选择题之构造函数法解不等式的一类题

导数选择题之构造函数法解不等式的一类题一、单选题1定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)，若对任意实数x，有f(x)>f(x)，且f(x)+2018为奇函数，则不等式f(x)+2018ex<0的解集为 A (-,0) B (0,+) C (-,1e) D (1e,+)2设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(-1)=0，当x<0时，f(x)<f(x)x，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是（ ）A (-,-1)(0,1) B (-,-1)(-1,0)C (0,1)(1,+) D (-1,0)(0,+)3定义在R上的偶函数f(x)的导函数f(x)，若对任意的正实数x，都有2f(x)+xf(x)<2恒成立，则使x2f(x)-f(1)<x2-1成立的实数x的取值范围为（ ）A (-,-1)(1,+) B (-1,1) C (-1,0)(0,1) D x|x14已知函数fx定义在数集(-，0)(0，+)上的偶函数，当x>0时恒有xf/x>-fx，且f2=0，则不等式fx>0的解集为()A (-2，0)(0，2) B (-，-2)(2，+)C (-，-2)(0，2) D (-2，0)(2，+)5定义在-1,+上的函数fx满足fx<1+cosx，f0=1，则不等式fx>sinx+x+1的解集为（ ）A -,0 B -1,0 C 0,+ D -1,16设定义在R上的函数y=fx满足任意xR都有fx+2=-fx，且x0,4时，有fx<fxx，则f2016、4f2017、2f2018的大小关系是 （ ）A 2f2018<f2016<4f2017 B 2f2018>f2016>4f2017C 4f2017>2f2018>f2016 D 4f2017<2f2018<f20167已知偶函数f(x)满足2f(x)+xf(x)>6,，且f(1)=2，则f(x)>3-1x2的解集为A xx<-2或x>2 B x-1<x<1C xx<-1或x>1 D x-2<x<28定义在R上的函数f(x)满足：f(x)>1-f(x),f(0)=0,f(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)>ex-1（其中e为自然对数的底数）的解集为( )A (-,-1)(0,+) B (0,+) C (-,0)(1,+) D (1,+)9已知定义在R上的函数y=fx的导函数为fx，满足fx>fx，且f0=2，则不等式fx>2ex的解集为（ ）A -,0 B 0,+ C -,2 D 2,+10定义在0,+上的函数f(x)满足xfx+1>0,f(2)=-ln2，则不等式fex+x>0的解集为A 0,2ln2 B 0,ln2 C ln2,+ D ln2,111已知定义在(0,+)上的函数f(x)满足xf(x)-f(x)<0，其中f(x)是函数f(x)的导函数若2f(m-2018)>(m-2018)f(2)，则实数m的取值范围为（ ）A (0,2018) B (2018,+) C (2020,+) D (2018,2020)12已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，且对于xR，均有f(x)>f(x)，则有（ ）A e2017f(2017)<f(0)，f(2017)>e2017f(0) B e2017f(2017)<f(0)，f(2017)<e2017f(0)C e2017f(2017)>f(0)，f(2017)>e2017f(0) D e2017f(2017)>f(0)，f(2017)<e2017f(0)13已知可导函数f(x)的定义域为(-,0)，其导函数f(x)满足xf(x)-2f(x)>0,则不等式f(2017+x)-(x+2017)2f(-1)<0的解集为A (-,-2018) B (-2018,-2017) C (-2018,0) D (-2017,0)14函数f(x)是定义在区间(0,+)上的可导函数，其导函数为f(x)，且满足xf(x)+2f(x)>0，则不等式(x+2018)2f(x+2018)<16f(4)的解集为（ ）A x|x>-2017 B x|x<-2017C x|-2018<x<-2014 D x|-2018<x<015已知函数y=fx的导数是y=fx，若x0,+，都有xfx<2fx成立，则( )A 2f3>3f2 B 2f1<f2C 4f3<3f2 D 4f1>f216已知函数f(x)满足条件：当x>0时，f(x)+12xf(x)>1，则下列不等式正确的是（ ）A f1+3>4f2 B f2+3>4f4C f1+8<9f3 D f2+4<3f417定义在(0,2)上的函数f(x)，f(x)是它的导函数，且恒有f(x)>f(x)tanx成立.则有（ ）A 2f(4)>f(3) B 3f(6)>2cos1f(1)C 2f(4)<6f(6) D 3f(6)<f(3)18已知函数g(x)是偶函数，f(x)=g(x-2)，且当x2时其导函数f(x)满足(x-2)f(x)>0，若1<a<3，则（ ）A f(4a)<f(3)<f(log3a) B f(3)<f(log3a)<f(4a) C f(log3a)<f(3)<f(4a) D f(log3a)<f(4a)<f(3)19设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，当x>0时，lnxf(x)<-1xf(x)，则使得(x2-4)f(x)>0成立的x的取值范围是（ ）A (-2,0)(0,2) B (-,-2)(2,+) C (-2,0)(2,+) D (-,-2)(0,2)参考答案1B【解析】【分析】构造函数g(x)=f(x)ex，则得g(x)的单调性，再根据f(x)+2018为奇函数得g(0)，转化不等式为g(x)<g(0)，最后根据单调性性质解不等式.【详解】构造函数g(x)=f(x)ex，则g(x)=f(x)-f(x)ex<0，所以g(x)在R上单独递减，因为f(x)+2018为奇函数，所以f(0)+2018=0f(0)=-2018,g(0)=-2018.因此不等式f(x)+2018ex<0等价于g(x)<g(0)，即x>0，选B.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如f(x)<f(x)构造g(x)=f(x)ex，f(x)+f(x)<0构造g(x)=exf(x)，xf(x)<f(x)构造g(x)=f(x)x，xf(x)+f(x)<0构造g(x)=xf(x)等2A【解析】分析：构造函数gx=fxx，首先判断函数的奇偶性，利用f(x)<f(x)x可判断x<0时函数的单调性，结合函数图象列不等式组可得结果.详解：设gx=fxx，则gx的导数为gx=xfx-fxx2，因为x<0时，f(x)<f(x)x，即xfx>fx成立，所以当x<0时，gx恒大于零，当x<0时，函数gx=fxx为增函数，又g-x=f-x-x=fxx=gx，函数gx为定义域上的偶函数，当x>0时，函数gx=fxx为减函数，又g-1=f-1-1=0函数gx的图象性质类似如图，数形结合可得，不等式fx>0xgx>0，x>0gx>0或x<0gx<0，可得0<x<1或x<-1，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-,-1)(0,1)，故选A.点睛：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题. 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.3A【解析】【详解】分析：构造新函数g(x)=x2f(x)-x2，利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解详解：设g(x)=x2f(x)-x2，则g(x)=2xf(x)+x2f(x)-2x =x(2f(x)+xf(x)-2)，由已知当x>0时，g(x)=x(2f(x)+xf(x)-2<0，g(x)在(0,+)上是减函数，又f(x)是偶函数，g(x)=x2f(x)-x2也是偶函数，g(0)=0，不等式x2f(x)-f(1)<x2-1即为x2f(x)-x2<f(1)-1，即g(x)<g(1)，g(x)<g(1)，x>1，即x<-1或x>1故选A点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式解题关键是构造新函数新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造如g(x)=xf(x)，g(x)=f(x)x，g(x)=exf(x)，g(x)=f(x)ex等等4B【解析】分析：设g(x)=f(x)x，结合求导法则，以及题中的条件，可以断定函数在相应区间上的单调性，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可.详解：设g(x)=f(x)x，所以g(x)=xf(x)-f(x)x2，因为当x>0时，有xf(x)-f(x)>0恒成立，所以当x>0时g(x)>0，所以g(x)在(0,+)上递增，因为f(-x)=f(x)，所以g(-x)=f(-x)-x=-g(x)，所以g(x)是奇函数，所以g(x)在(-,0)上递增，因为f(2)=0，所以g(2)=f(2)2=0，当x>0时，f(x)>0等价于f(x)x>0，所以g(x)>0=g(2），所以x>2，当x<0时，f(x)>0等价于f(x)x<0，所以g(x)<0=g(-2)，所以x<-2，所以原不等式的解集为(-,-2)(2,+)，故选B.点睛：该题考查的是有关函数的问题，结合题中所给的条件，结合商函数求导法则构造新函数，结合函数的单调性与导数的符号的关系，得到相应的结果，在求x<0时的情况的时候，可以直接根据函数f(x)是偶函数求得结果.5B【解析】分析：根据题意，设gx=fx-sinx-x，对其求导分析可得gx在区间-1,+上递减，利用f0的值可得g0的值，进而将原不等式转化为gx>g0，结合函数的单调性、定义域，分析可得答案.详解：根据题意，设gx=fx-sinx-x，则gx=fx-cosx-1，又由函数fx定义在-1,+上，且有fx<1+cosx，则gx=fx-cosx-1<0，则gx在区间-1,+上递减，若f0=1，则g0=f0-sin0-0=1，fx>sinx+x+1fx-sinx-x>1gx>g0，则-1<x<0，即不等式的解集为-1,0.故选：B.点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性之间的关系，关键是构造函数gx=fx-sinx-x，并分析其单调性.6C【解析】根据题意，函数y=fx满足任意tR都有fx+2=-fx，则有fx+4=-fx+2=fx，则fx是周期为4的函数，则有f2016=f4, f2017=f1,f2018=f2，设gx=fxx，则导数为gx=fxx-fxxx2=xfx-fxx2，又由x0,4时，fx<fxx，则有xfx-fx<0，则有gx=xfx-fxx2<0，则函数gx在0,4上为减函数，则有g1>g2>g4，即f1>f22>f44，又由2016=f4, f2017=f1,f2018=f2，则有f2017>f20182>f20164，变形可得4f2017>2f2018>f2016，故选C.【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.7C【解析】【分析】构造函数Fx=x2fx-3x2+1，由2f(x)+xf(x)>6可得Fx在0,+递增，结合奇偶性转化原不等式为x>1,从而可得结果.【详解】由fx>3-1x2得x2fx-3x2+10，令Fx=x2fx-3x2+1，Fx=2xfx+x2fx-6x=x2xfx+xfx-6，x>0时，Fx>0,Fx递增，又F1=f1-2=0,时，不等式f(x)>3-1x2等价于Fx>F1fx是偶函数，Fx也是偶函数，x>1,可得x>1或x<-1，所以f(x)>3-1x2的解集为x|x>1或x<-1，故选C.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.8B【解析】【分析】构造函数gx=exfx-ex，xR，研究gx的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【详解】设gx=exfx-ex，xR， 则gx=exfx+exfx-ex=exfx+fx-1fx>1-fxfx+fx-1>0则gx>0，y=gx在定义域内单调递增exfx>ex-1，gx>-1，g0=e0f0-e0=-1gx>g0，x>0则不等式的解集为0，+故选B【点睛】本题主要考查了函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键。9A【解析】分析：先构造函数g(x)=f(x)ex，再根据函数单调性解不等式.详解：令g(x)=f(x)ex，因为g(x)=f(x)-f(x)ex<0，g(0)=2所以f(x)>2exg(x)>g(0)x<0因此解集为(-,0) ，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如f(x)<f(x)构造g(x)=f(x)ex，f(x)+f(x)<0构造g(x)=exf(x)，xf(x)<f(x)构造g(x)=f(x)x，xf(x)+f(x)<0构造g(x)=xf(x)等10C【解析】【分析】构造函数g(x)=f(x)+lnx，可得g(x)=f(x)+1x>0，g(x)在（0，+）上单调递增，原不等式等价于g(ex)>g(2)，利用单调性可得结果.【详解】设g(x)=f(x)+lnx，由xfx+1>0可得g(x)=f(x)+1x>0，所以g(x)在（0，+）上单调递增，又因为g(2)=f(2)+ln2=0，不等式fex+x>0等价于g(ex)=f(ex)+x>0=g(2)，因此ex>2，x>ln2，即等式fex+x>0的解集为ln2,+，故选C.【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.11D【解析】【分析】根据题意，构造函数h(x)=f(x)x，x(0,+)，利用导数研究其单调性，可得h(x) 在(0,+)上单调递减，将2f(m-2018)>(m-2018)f(2)，m-2018>0，转化为f(m-2018)m-2018>f(2)2，即h(m-2018)>h(2)，从而可得实数m的取值范围.【详解】令h(x)=f(x)x，x(0,+)，则h(x)=xf(x)-f(x)x2.xf(x)-f(x)<0h(x)<0函数h(x)在(0,+)上单调递减2f(m-2018)>(m-2018)f(2)，m-2018>0f(m-2018)m-2018>f(2)2，即h(m-2018)>h(2).m-2018<2且m-2018>0，解得2018<m<2020.实数m的取值范围为(2018,2020)故选D【点睛】本题考查利用导数研究不等式问题.利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用“xf(x)-f(x)<0”和“2f(m-2018)>(m-2018)f(2)”的联系构造函数h(x)=f(x)x.12D【解析】【分析】构造函数gx=fxex，由fx>fx可得函数gx=fxex在R上单调递减，利用单调性可得结果.【详解】构造函数gx=fxex，则gx=fxex-exfxex2=fx-fxex，因为xR，均有fx>fx，并且ex>0,gx<0，故函数gx=fxex在R上单调递减，g-2017>g0,g2017<g0，即 f(-2017)e-2017>f(0)， f(2017)e2017<f(0) 即e2017f-2017>f0,f2017<e2017f0，故选D.【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.13B【解析】【分析】构造函数g(x)=f(x)x2 ，将不等式转化为 g(2017+x)<g(-1)，再根据g(x)定义域以及单调性化简求解.【详解】令g(x)=f(x)x2,x<0g(x)=x2f(x)-2xf(x)x4=xf(x)-2f(x)x3<0因为f(2017+x)-(x+2017)2f(-1)<0，所以(2017+x)2g(2017+x)-(2017+x)2g(-1)<0,因为g(x)在(-,0)单调递减，所以2017+x<0g(2017+x)<g(-1)2017+x<02017+x>-1-2018<x<-2017，选B.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如f(x)<f(x)构造g(x)=f(x)ex，f(x)+f(x)<0构造g(x)=exf(x)，xf(x)<f(x)构造g(x)=f(x)x，xf(x)+f(x)<0构造g(x)=xf(x)等14C【解析】分析：由题意构造函数g(x)=x2f(x),求导可知函数是区间(0,+)上的增函数，把原不等式转化为x+2018<4，结合x+2018>0求得x的范围.详解：x2f(x)=2xf(x)+x2f(x)=x2f(x)+xf(x),xf(x)+2f(x)>0,x>0,x2f(x)>0,则函数g(x)=x2f(x)是区间(0,+)上的增函数.由不等式(x+2018)2f(x+2018)<f(4)，得x+2018<4，解得x<-2014，又由x+2018>0，得x>-2018，即x(-2018,-2014).故选C.点睛：该题考查的是有关解不等式的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点应用导数研究函数的单调性，构造新函数，结合题意求得对应的不等式的解集.15D【解析】分析：由题意构造函数gx=fxx2x>0，结合函数的单调性整理计算即可求得最终结果.详解：令gx=fxx2x>0，则：gx=fxx2-fx2xx4=xfx-2fxx3，由x0,+，都有xfx<2fx成立，可得gx<0在区间0,+内恒成立，即函数gx是区间0,+内单调递减，据此可得：g1>g2，即f112>f222，则4f1>f2.本题选择D选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.16C【解析】【分析】令gx=x2fx-x2，得到gx在0,+递增，有g1<g3，从而得到答案【详解】构造函数gx=x2fx-x2. gx=2x fx+12xfx-1>0在x 0,+恒成立， gx在0,+上是增函数， 1<3 g1<g3得f1+8<9f3，故选C.【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）=x2f（x）-x2是解题的关键，属中档题17D【解析】【分析】：先构造y=fx-f(x)tanx的原函数y=f(x)cosx，由此题意，得出原函数f(x)cosx单增函数，由此判断函数值的大小。【详解】：先构造y=fx-f(x)tanx的原函数，因为x(0,2)，则cosx>0，那么在不等式的两边同时乘以cosx不等号不变，（fx-fxtanx）cosx=fxcosx-fxsinx=f(x)cosx>0，所以原函数gx=f(x)cosx单增函数，由此g6<g4<g1<g3，g6=32f(6)，g4=22f(4)，g3=12f(3)，g1=f1cos1，所以g4<g322f4<12f32f4<f(3)，所以A错g6<g132f6<cos1f13f6<2cos1f(1)，所以B错g6<g432f6<22f42f4>6f(6) ，所以C错故选D。【点睛】：已知抽象函数的性质解不等式的基本解法有两种：（1）构造满足题目条件的特殊函数，（2）还原抽象函数，利用抽象函数的性质求解。18B【解析】分析：先根据函数图象的平移，得到函数f(x)的图象关于直线x=2对称，再通过讨论导数的符号得到函数f(x)的单调性，将4a，log3a，3转化到同一个单调区间上进行比较大小详解：g(x)是偶函数，图象关于y轴对称，f(x)=g(x-2) 的图象关于直线x=2对称当x>2时，f(x)>0，即函数f(x)在2，+上为增函数1<a<3，4<4a<64，0<log3a<1，flog3a=f4-log3a，3<4-log3a<4则3<4-log3a<4af3< f4-log3a< f(4a)即f(3)<f(log3a)<f(4a)故选B点睛：本题主要考查了导数在研究函数中的应用，由已知条件结合导数确定函数的单调性，然后判定大小关系，读懂题意，理解函数性质是关键，本题较为综合，有一定难度。19D【解析】分析：构造函数gx=lnxfxx>0，可得gx在0,+上为减函数，可得在区间0,1和1,+上，都有fx<0，结合函数的奇偶性可得在区间-1,0和-,-1上，都有fx>0，原不等式等价于x2-4>0fx>0或x2-4<0fx<0，解可得x的取值范围，即可得到结论.详解：根据题意，设gx=lnxfx,x>0，其导数gx=lnxfx+lnxfx=1xfx+lnxfx，又由当x>0时，lnxfx<-1xfx，则有gx=1xfx+lnxfx<0，即函数gx在0,+上为减函数，又由g1=ln1f1=0，则在区间0,1上，gx=lnxfx>0，又由lnx<0，则fx<0，在区间1,+上，gx=lnxfx<0，又由lnx>0，则fx<0，则fx在0,1和1,+上，fx<0，又由fx为奇函数，则在区间-1,0和-,-1上，都有fx>0，x2-1fx>0x2-4>0fx>0或x2-4<0fx<0，解可得x<-2或0<x<2，则x的取值范围是-,-20,2，故选D.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.