《导数的概念及运算》PPT课件

第 一 节 导 数 的 概 念 及 运 算基 础 梳 理 12 12 x-x )f(x-)f(x数 量 化视 觉 化1. 函 数 f(x)在 区 间 x1,x2 上 的 平 均 变 化 率(1)函 数 f(x)在 区 间 x1,x2 上 的 平 均 变 化 率 为 ,(2)平 均 变 化 率 是 曲 线 陡 峭 程 度 的 “ ” ， 或 者 说 ， 曲 线 陡 峭 程度 是 平 均 变 化 率 的 “ ” . 2. 函 数 f(x)在 x=x 0处 的 导 数（ 1） 定 义设 函 数 y=f(x)在 区 间 (a,b)上 有 定 义 ， 若 x无 限 趋 近 于 0时 ，比 值 无 限 趋 近 于 一 个 常 数 A， 则 称 f(x)在 x=x0处 可导 ， 并 称 该 常 数 A为 函 数 f(x)在 x=x0处 的 导 数 ， 记 作 .0 x (a,b), 0f (x ) )f(x-)f(x x 0 x0 xy (2)几 何 意 义函 数 f(x)在 点 x0处 的 导 数 f (x0)的 几 何 意 义 是 在 曲 线 y=f(x)上点 . 处 的 .相 应 地 ， 切 线 方 程为 .3. 函 数 f(x)的 导 函 数若 f(x)对 于 区 间 (a,b)内 任 一 点 都 可 导 ， 则 f(x)在 各 点 的 导 数 也 随 着 自变 量 x的 而 ， 因 而 也 是 自 变 量 x的 函 数 ， 该 函 数 称 为 f(x)的 导 函 数 ， 记 作 . 0 0( , )x f x 切 线 的 斜 率 0 0 0y-f(x )=f ( )( )x x x变 化 变 化 f (x). 原 函 数 导 函 数f(x)=kx+b(k,b为 常 数 ) f (x)= . f(x)=C f (x)= .f(x)=x f (x)= .f(x)=x2 f (x)= .f(x)=x3 f (x)= . .f(x)= .f(x)=x a (a为 常 数 )f(x)=ax(a 0且 a 1) 4. 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 1f(x) x x f (x)= . f (x)= .k012x23xf (x) 21-xf (x) 12 x a-1axxa ln a f(x)=logax(a 0且 a 1) .f(x)= f(x)= .f(x)=ln x .f(x)=sin x f(x)= .f(x)=cos x f(x)= .xe f (x) 1xln axef (x) 1 xcos xsinx5. 导 数 运 算 法 则(1) f(x) g(x) = ; (2) Cf(x) = (C为 常 数 );(3) f(x)g(x) = ;f (x) g (x)Cf (x)f (x)g(x)+f(x)g (x) 0g(x)g(x) (x)gf(x)-(x)g(x) fg(x)f(x)(4) 2 典 例 分 析题 型 一 利 用 导 数 的 定 义 求 导 数【 例 1】 用 导 数 定 义 求 y=x2在 x=1处 的 导 数 值 .分 析 利 用 导 数 的 定 义 ,按 求 导 数 的 步 骤 求 解 .解 当 x无 限 趋 近 于 0时 ， 趋 近 于 2, y | x=1=2.学 后 反 思 利 用 导 数 的 定 义 求 在 一 点 x0的 导 数 的 关 键 是 对 y x进 行灵 活 变 形 ， 若 求 f(x)在 开 区 间 (a,b)内 的 导 数 ， 只 需 将 x0看 成 是 (a,b)内 的 任 意 点 x,即 可 求 得 f (x). 2x x x2x x 1-x)(1 x f(1)-x)f(1xy 222 xy 举 一 反 三1. 已 知 ， 利 用 定 义 求 y ,y |x=1.xy题 型 二 利 用 求 导 公 式 求 导 数 【 例 2】 求 下 列 函 数 的 导 数 .1-e 1e(2)y sin x;x(1)y xx2 xxx 1 xxxx xx x- xxxy ,x-xxy x=10 0 1 1 1y lim lim , | 2x x x 2x xy yx x 解 析 分 析 直 接 利 用 导 数 公 式 及 四 则 运 算 法 则 进 行 计 算 .1)-(e2e-1)-(e 1)(ee-1)-(ee 1)-(e 1)-1)(e(e-1)-(e)1(ey 1-e 1ey 2x x2x xxxx 2x xxxxxx 学 后 反 思 准 确 记 忆 求 导 公 式 及 四 则 运 算 法 则 是 解 答 本 题 的 关 键 . 解 (1)y =( ) sin x+ (sin x)=2xsin x+x2cos x. (2) 2x 2x 举 一 反 三2. 求 函 数 的 导 数 .题 型 三 导 数 的 物 理 意 义 及 在 物 理 上 的 应 用【 例 3】 一 质 点 运 动 的 方 程 为 s=8-3t 2.(1)求 质 点 在 1,1+ t 这 段 时 间 内 的 平 均 速 度 ；(2)求 质 点 在 t=1的 瞬 时 速 度 . 1 11 1y x x 2 21 1 1 1 2 ,11 1 1 12 12 21 1 1x xy xx x x xxy x x x 解 析 分 析 第 （ 1） 问 可 利 用 公 式 求 解 ； 第 （ 2） 问 可 利 用 第 （ 1） 问 的结 论 求 解 ， 也 可 利 用 求 导 公 式 及 四 则 运 算 法 则 求 解 .ts解 (1)质 点 在 1,1+ t 这 段 时 间 内 的 平 均 速 度 为(2)方 法 一 （ 定 义 法 ） ：质 点 在 t=1时 的 瞬 时 速 度 v= t3-6 t s(1)-t)s(1ts 6- tslim 0t 方 法 二 （ 求 导 法 ） ：质 点 在 t时 刻 的 瞬 时 速 度 v=s (t)=-6t,当 t=1时 ， v=-6. 学 后 反 思 导 数 的 概 念 是 通 过 函 数 的 平 均 变 化 率 、 瞬 时 变 化 率 、 物 体运 动 的 瞬 时 速 度 、 曲 线 的 切 线 等 实 际 背 景 引 入 的 ， 所 以 在 了 解 导 数 概念 的 基 础 上 也 应 了 解 这 些 实 际 背 景 的 意 义 .对 于 作 变 速 运 动 的 物 体 来 说 ，其 位 移 对 时 间 的 函 数 的 导 数 就 是 其 运 动 的 速 度 对 时 间 的 函 数 ， 速 度 对时 间 的 函 数 的 导 数 就 是 其 运 动 的 加 速 度 对 时 间 的 函 数 ， 这 是 导 数 的 物理 意 义 ， 利 用 导 数 的 物 理 意 义 可 以 解 决 一 些 相 关 的 物 理 问 题 举 一 反 三3. 以 初 速 度 作 竖 直 上 抛 运 动 的 物 体 ， t秒 时 的 高 度 为 ,求 物 体 在 时 刻 时 的 瞬 时 速 度 . 20 1s(t)=v t- gt2 0 0v (v 0) 0t解 析 ： 物 体 在 时 刻 的 瞬 时 速 度 为 . 0 01s( ) 22t v g t v gt 0t 0 0 0s( )t v gt 题 型 四 导 数 的 几 何 意 义 及 在 几 何 上 的 应 用【 例 4】 (14分 )已 知 曲 线(1)求 曲 线 在 点 P（ 2， 4） 处 的 切 线 方 程 ；(2)求 曲 线 过 点 P（ 2， 4） 的 切 线 方 程 . 34 x31y 3 分 析 (1)点 P处 的 切 线 以 点 P为 切 点 ,关 键 是 求 出 切 线 斜 率k=f (2).(2)过 点 P的 切 线 ， 点 P不 一 定 是 切 点 ， 需 要 设 出 切 点 坐 标 . 解 （ 1) y =x2,2 在 点 P（ 2， 4） 处 的 切 线 的 斜 率 k=y |x=2=4,3 曲 线 在 点 P（ 2,4） 处 的 切 线 方 程 为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0.4(2)设 曲 线 与 过 点 P（ 2， 4） 的 切 线 相 切 于点 ,则 切 线 的 斜 率 k=y | x=x0=x20.6 34x31y 3 ) 34 x31,A(x 300 切 线 方 程 为即 点 P（ 2， 4） 在 切 线 上 ，即 x30-3x20+4=0, x30+x20-4x20+4=0, x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, (x 0+1)(x0-2)2=0,解 得 x0=-1或 x0=2,.12故 所 求 的 切 线 方 程 为 4x-y-4=0或 x-y+2=0.14学 后 反 思 （ 1） 解 决 此 类 问 题 一 定 要 分 清 是 “ 在 某 点 处 的 切 线 ” ， 还 是“ 过 某 点 的 切 线 ” .（ 2） 解 决 “ 过 某 点 的 切 线 ” 问 题 ， 一 般 是 设 出 切 点 坐 标 (x0,y0),得 出 切 线方 程 y-y0=f (x0)(x-x0),然 后 把 已 知 点 代 入 切 线 方 程 求 (x0,y0)， 进 而 求 出切 线 方 程 . 3 20 0 01 4y-( x ) x (x-x ),3 3 2 3 0 02 4y x x- x .8 3 3 2 3 0 02 44 2x x- x .10 3 3 举 一 反 三4. 求 曲 线 y=ln(2x-1)上 的 点 到 直 线 2x-y+3=0的 最 短 距 离 .解 析 ： 设 曲 线 上 过 点 的 切 线 平 行 于 直 线 2x-y+3=0,即 斜 率 是 2， 则 .解 得 ,即 点 P(1,0),点 P到 直 线 2x-y+3=0的 距 离 为 , 曲 线 y=ln(2x-1)上 的 点 到 直 线 2x-y+3=0的 最 短 距 离 是 .0 0( , )P x y 0 0 x=x x=x 01 2y| = 2x-1 | = =22x-1 2x -1 0 x 1 0 0所 以 y 2 22-0+3 52 ( 1) 5题 型 五 复 合 函 数 的 导 数【 例 5】 求 下 列 函 数 的 导 数 . 2 2(1) (1 sin ) ;(2) ln 1y x y x 分 析 先 确 定 中 间 变 量 转 化 为 常 见 函 数 ， 再 根 据 复 合 函 数 的求 导 法 则 求 导 .也 可 直 接 用 复 合 函 数 求 导 法 则 运 算 . 2 (1) 1 sin 2(1 sin ) (1 sin )2(1 sin ) cos 2cos sin2y x x xx x x x 解 2 2 21 2 22 22 1(2) (ln 1) 111 1 1 12 11y x xx xx x xx 学 后 反 思 求 复 合 函 数 的 导 数 ， 关 键 是 理 解 复 合 过 程 ， 选 定 中间 变 量 ， 弄 清 是 谁 对 谁 求 导 ， 其 一 般 步 骤 是 :(1)分 清 复 合 关 系 ， 适 当 选 定 中 间 变 量 ， 正 确 分 解 复 合 关 系（ 简 称 分 解 复 合 关 系 ） ；（ 2） 分 层 求 导 ， 弄 清 每 一 步 中 哪 个 变 量 对 哪 个 变 量 求 导 数（ 简 称 分 层 求 导 ） .即 ： 分 解 （ 复 合 关 系 ） 求 导 （ 导 数 相 乘 ） 举 一 反 三5.求 下 列 函 数 的 导 数 。 1 cos21(1) ;(2)1 xy y xex 解 析 ： 1 3 2 2 22 2 32 2 2 21(1) 1 1 121 1 1y x x xxx x x x 1 cos 1 cos 1 cos1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos(2) 1 cossin 1 sinx x xx xx x xy xe e x ee x e xe xe x x x e 易 错 警 示【 例 】 已 知 曲 线 上 的 点 P（ 0,0） ,求 过 点 P(0,0)的 切 线 方 程 .错 解 在 点 x=0处 不 可 导 ， 因 此 过 P点 的 切 线 不 存 在 .错 解 分 析 本 题 的 解 法 忽 视 了 曲 线 在 某 点 处 的 切 线 的 定 义 .在 点 P处 的切 线 是 指 曲 线 在 点 P附 近 取 点 Q， 当 点 Q趋 近 于 点 P时 ， 割 线 PQ的 极 限 位置 的 直 线 就 是 过 点 P的 切 线 ， 因 此 过 点 P的 切 线 存 在 ， 为 y轴 （ 如 下 图 所示 ） . 3 23 x1xxxy 3 xy3 xy正 解 如 右 图 ， 按 切 线 的 定 义 ， 当 x 0 时 割 线 PQ的 极 限 位 置 为 y轴 （ 此 时 斜 率 不存 在 ） ， 因 此 ， 过 点 P的 切 线 方 程 为 x=0. 考 点 演 练10. 已 知 函 数 的 图 象 都 过 点P(2,0),且 在 点 P处 有 相 同 的 切 线 .求 实 数 a,b,c的 值 . 3 2f x 2x ax g x bx c 与解 析 ： f(x)过 点 （ 2,0） , ,解 得 a=-8,同 理 ， g(2)=4b+c=0. f (x)=6x2-8, 在 点 P处 切 线 斜 率 .又 g (x)=2bx, 2b 2=16, b=4, c=-4b=-16.综 上 ， a=-8,b=4,c=-16. 3f 2 2 2 a 2 0 2k f 2 6 2 8 16 11. 设 函 数 f(x)满 足 ， a,b,c为 常 数 ， |a| |b|， 求 f (x) 解 析 : 将 中 的 x换 成 ，可 得将 其 代 入 已 知 条 件 中 得 , 1af x bf cx x 1af x bf cx x 1x 1 1af x bf , ( ) ( )c bcx f x f xx x a a 2bc b caf(x)+ x- f(x)=a a x 2 2 2 2 2c a cf(x)= ( -bx), f (x)= ( )a x a a bb b x 12. (2008宁 夏 )设 函 数 (a,b Z),曲 线 y=f(x)在点 (2,f(2)处 的 切 线 方 程 为 y=3.(1)求 f(x)的 解 析 式 ；（ 2） 证 明 函 数 y=f(x)的 图 象 是 一 个 中 心 对 称 图 形 ， 并 求 其 对称 中 心 ；（ 3） 证 明 曲 线 y=f(x)上 任 一 点 的 切 线 与 直 线 x=1和 直 线 y=x所围 三 角 形 面 积 为 定 值 ， 并 求 出 此 定 值 .1( )f x ax x b 解 析 : (1)f (x)= .于 是 ,解 得 21a- x b 212 321 02a ba b 91 481 3aab b 或1, , ( ) 1a b Z f x x x (2)证 明 :已 知 函 数 都 是 奇 函 数 ， 函 数 也 是 奇 函 数 ， 其 图 象 是 以 原 点 为 中 心 的中 心 对 称 图 形 .由 可 知 f(x)的 图 象 是 由 g(x)的 图 象 沿 x轴 正 方 向 向 右 平 移 1个 单 位 ， 再 沿 y轴 正 方 向 向 上 平 移 1个 单 位 得 到 的 .故 函 数 f(x)的 图 象 是 以 点 (1,1)为 中 心 的 中 心 对 称 图 形 .1 2 1,y x y x 1( )g x x x 1 1( ) 1 11 1f x x xx x （ 3） 证 明 ： 在 曲 线 上 任 取 一 点 ,由 知 ，过 此 点 的 切 线 方 程 为 .令 x=1,得 , 切 线 与 直 线 x=1的 交 点 为 .令 y=x,得 , 切 线 与 直 线 y=x的 交 点 为 .直 线 x=1与 y=x交 点 为 (1,1).从 而 所 围 三 角 形 面 积 为 所 以 所 围 三 角 形 的 面 积 为 定 值 2. 0 0 01x , 1x x 0 2011 ( 1)f x x 20 0 020 01 111 ( 1)x xy x xx x 00 11xy x 00 1(1, )1xx 02 1x x 0 0(2 1,2 1)x x 0 0 00 011 1 21 2 1 1 2 2 22 1 2 1x x xx x