中南大学线性代数3.1-n维向量说课讲解

中南大学线性代数中南大学线性代数3.1-n3.1-n维向量维向量定义定义分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量.分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量，一、向量、向量组 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行矩阵，也就是行矩阵，通常用通常用 等表示，如：等表示，如：维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列矩阵，通，也就是列矩阵，通常用常用 等表示，如：等表示，如：规定行向量和列向量都规定行向量和列向量都按照矩阵的运算规则进行运算按照矩阵的运算规则进行运算.若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组例如例如向量组向量组 ,，称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应定义定义线性组合线性组合 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示定理定理1 1定义定义向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价向量组之间的等价关系具有下述性质：（2）对称性（1）反身性（3）传递性注意注意定义定义二、线性相关性则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关（其中至少有一个向量可以由另两个向量线性表示）定理向量组定理向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示证明证明充分性充分性 设设 中有一个向量（不妨设中有一个向量（不妨设 ）能由其余向量线性表示，能由其余向量线性表示，则有则有故故因因 这这 个数不全为个数不全为0，故故 线性相关线性相关.必要性必要性设设 线性相关，线性相关，则有不全为则有不全为0的数使的数使 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，不妨设不妨设 则有则有即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.定理定理2 2下面举例说明定理的应用下面举例说明定理的应用.解解例例解解例例分析分析证证定理定理3 3证明证明说明说明定理定理3 3证明证明定理定理3 3证明证明说明说明定理定理3 3证明证明定义定义最大线性无关向量组最大线性无关向量组最大最大无关组无关组三、最大线性无关向量组说明说明定理定理四、向量组的秩结论结论说明说明事实上事实上定理定理推论推论1 1推论推论2 2推论推论3 3推论推论4 4证明：证明：由题设可知证明：证明：由题设可知且即得证推论推论5 5由此可得:3.最大线性无关向量组的概念：最大线性无关向量组的概念：最大性最大性、线性无关性线性无关性4.矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩矩阵行向量组的秩5.关于向量组秩的一些结论关于向量组秩的一些结论 6.求向量组的秩以及最大无关组的方法：求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初 等行变换等行变换四、小结.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；向量表示；线性组合与线性表示的概念；2.线性相关与线性无关的定义及其判定方法线性相关与线性无关的定义及其判定方法证证注意注意思考:结束结束