广义积分的收敛判别法-广义积分收敛判别法

第二节 广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现 大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为 过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用 数值计算方法或 Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言， 求其近似值有一个先决条件 积分收敛，否则其结果毫无意义。因 此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的定理9.1 (Cauchy收敛原理)f(x)在a,)上的广义积分卜f(x)dx收敛的充分必要条件是：也0,存在A>0,使得b, ab >a时，恒有I fb/ f (x)dx l< sb证明：对lim 严f (x)dx = 0使用柯西收敛原理立即得此结论.bT+s b同样对瑕积分fbf (x)dx(b为瑕点)，我们有a定理9.2 (瑕积分的Cauchy收敛原理)设函数f(x)在a,b)上有定 义，在其任何闭子区间a,b-s 上常义可积，则瑕积分fbf(x)dx收 a敛的充要条件是：ve0,羽0,只要o<m<n<s，就有If f f (x)dx l< sb-n定义9.5如果广义积分卜1 f (x)| dx收敛，我们称广义积分af+sf(x)dx绝对收敛(也称f(x)在a,+s)上绝对可积;如f+s f(x)dx 收敛而非绝对收敛，则称J+8 f (x)dx条件收敛，也称f(x)在。，+Q上 a条件可积由于WA,A/ n a，均有I JA/ f (x)dx I < f A/l f (x) I dxAA因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理.定理9.3如果广义积分卜f(x)dx绝对收敛，则广义积分卜f (x)dx aa 必收敛它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法比较判别法：定理9.4 (无限区间上的广义积分)设在a,+ -)上恒有0 < f (x)(x), (k 为正常数)则当卜申(x)dx收敛时f (x)dx也收敛； aa 当卜f (x)dx发散时,卜申(x)dx也发散.aa证明：由Cauchy收敛原理马上得结论成立.对瑕积分有类似的结论判别法定理9.5设f(x), g(x)均为a,b)上的非负函数,b为两个函数的奇点,如存在一个正常数k,使0 < f (x) < kg(x),Vx e a,b),贝I1) 如Jbg (x)dx收敛，则Jbf (a)dx也收敛。aa2) 如Jbf (x)dx发散，则Jbg (x)dx也发散.aaf (x) g (x)比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式定理 9.6 如果 f(x),g(x)是a,+g)上的非负函数，且limXT+8则 如果0 W I <+g，且卜g(x)dx收敛，则积分卜f (x)dx也收敛.aa如果0 < 1 W+g,且卜g(x)dx发散，则积分卜f (x)dx也发散. aa证明：如果lim竺 =1丰0,则对于£0(1 一£0),存在A, XT8 g (X)当 x > A 时，0 < 1 -8 < f (x) < 1 + 8g ( x)即(1 -8)g(x) < f (x) < (1 + 8)g(x)成立.显然 卜f (x)dx 与aJ+gg(x)dx同时收敛或同时发散，在l=0或l=g时，可类似地讨论.a使用同样的方法，我们有定理9.7对以b为唯一瑕点的两个瑕积分Jbf (x)dx与Jbg(x)dx如果 aaf(x), g (x)是非负函数，且lim竺=1，则 xTb- g (x) 当0 < 1 <+g,且Jbg(x)dx收敛时，则Jbf (x)dx也收敛.aa 当0 < 1 <+g，且Jbg(x)dx发散时，则Jbf (x)dx也发散.aa1对无限区间上的广义积分中，取严丄dx作比较标准，则得到下列a xpCauchy判别法：设愀)是a,+g)的函数，在其任意闭区间上可积，那 么:定理9.8若0< f(x) < £ ,P1,那么积分 A f (x)dx收敛，如Xpaf(x) >上,p< 1,则积分卜f (x)dx发散.Xpa其极限形式为定理 9.9 如 lim xpf (x) = l (0 < l < +8, P>1),则积分J+8f(x)dx收xT+8a敛如 lim xpf (x) = l，而 0 < l < +g , p < 1, 则 f+g f(x)dxbTga发散.例 9.8 判断下列广义积分的收敛性。卜 ln(l +1)-dx f+g xm dx (m>0, n>0)11 + xn解：（1）11因为 0 < ln(1 + _)x 1 + x< 1 丄=丄 < 丄x 1 + xx(1 + x)x 2由f+81+81+ -)-丄x 1+x丄dx收敛推出fx 2dx收敛.2 ) 因 为 limxT+gxmxnm 1 + xn二1,所以当n m>1 时 ， 积 分+g xdx 收敛.11 + xnxm当n m < 1时，积分f+g11 + xndx发散"对于瑕积分，使用 fb1- dx作为比较标准，我们有下列柯西判别 a （x 一 a） p法定理90 设x=a是f(x)在a,b)上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积，那么 如 0< f(x) <c(x a) p(c>0), p<1,则fbf(x)dx收敛. 如 f(x) >c(x a) p(c>0), p> 1,则fbf(x)dx发散.瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为定理 9.11 设 lim(x a)pf (x) = kx-a+如0<k<s, p<1,则fbf(x)dx收敛如 °<k< s, p > "I,那么 fbf (x)dx发散.a例 9.9 判别下列瑕积分的敛散性。dx f1(k2<1)o、. (1 一 x2)(1 k2x2)代dx(p,q>0)o sin p x cosq x解：(1)1是被积函数的唯一瑕点dx因为 lim (1 - x)2 xti-；(1 x2 )(1 k2 x2)1< +s，2(1- k 2)由p = 2知瑕积分收敛.0与2都是被积函数的瑕点.先讨论f 4 dx ，由lim o sin p x cosq xxto+xp= 1sinp x cosq x知：当p<1时，瑕积分诗 dx 收敛；当p > 1时,瑕积分0 sin p x cos q xa兀dx0 sin p x cos q x发散再讨论f2 dx匹 sin p x cosq x4因 lim 匸 - x) p= 1兀2sinp x cosq xxT2所以当q<1时，瑕积分£ dx 收敛，空 sin p x cosq x4当q工1时，瑕积分f2dx 发散.匹 sin p x cosq x4综上所述，当pvl且q<1时，瑕积分忙 空 收敛；其他情况0 sin p x cosq x发散例9.10求证：若瑕积分Jf (x)dx收敛，且当x t 0 +时函数f(x)单调 0趋向于+ 3，则 lim X f(X)=0.xt0+证明：不妨设Vx e (0,1, f(x) > 0, 且 f(x)在(0,1)上单调减少。已知Jf (x) dx收敛，由柯西收敛准则，有0V0,0(5 <1), V 0 < x <6 有J xf (t)dt < s , x2从而0< If (x) < Jxf (t )dt < s2 -2或0<x f(x)<2s即 lim x f(x)=0.xtO+例9.11求证瑕积分f11 dx G >0),当九<1时收敛o x(1 一 cos x)九3当九3时发散.证明：t lim X= lim'X-xt0+ x(1 cos x)九 xtO+、 (1 一 COS X VX3九<x2丿= limxt0+1= 2九(1 一 cos x 九 I x2丿所以当3尢V时，即即1时，瑕积分收敛当3“即“ 1时,瑕积分发散前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反 常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果定理9.12 (积分第二中值定理)设g(x)在a,b上可积，f(x)在a,b 上单调，则存在gwa,b使fbf (x) g (x)dx = g (a)f (x)dx + g (b)f (x)dx aaa为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况引理9.1设f(x)在a,b上单调下降并且非负，函数g(x)在a,b上可 积，则存在cea,b，使fb f(x)g(x)dx=f(a)fcg(x)dxaa证明：作辅助函数屮(x)= f(a)fxg(t)dt，对a,b的任一分法aP:a=x <x <x <<x =b0 1 2 n我们有Jbf (x) g (x)dx=f (x)g (x)dxai=1 Xi-i由此得到1 Jbf (x) g (x)dx 为 f (x -)卜 g (x)dx 1 ai=1T F=1 为 Jxif (x) - f (x ) g (x)dx Ixi -1xi =1 i -1書Jx | f ( x ) - f ( x ) | g ( x ) | dxxi -1xi=1 i -1< L 为 o ( f ) xi ii这里L是|g(x)|在a,b的上界,w (f)是f (x)在L ,x上的振幅,ii -1 i从这个估计式可知，当p p 0时,应当有为f (xi=1xi g(x)dxxJb f(x)g(x)dxa我们来证明min屮x 日 a ,b (x) < X f (xi-1 i=1)Jxi g(x)dxx< max 屮(x)x 日 a ,b 为此，引入记号G(x)= Jx g(t)dta并作如下变换X f ( xi=1xi g(x)dxx= X f(x )G(x ) - G(x)i-1ii-1i=1=为 f (x )G (x )-Zf (x )G (x )i -iii -ii -ii=1i=1=Zn f(x-1)G(x)-Zn-1f(x)G(x)i -1iiii=1i=0=Zn f(x )G(x)-Zn-1f(x)G(x)(G(x )=G(a)=0)i -1iii0i=1i=1=为f (x )- f (x )G(x ) + f (x )G(x )i-1iinni=1因为 f(x ) - f(x ) > 0, f (x ) > 0,i-1in所以Zn f (xIi=1)Jxi g (x)dxx=工f (x ) - f (x )G(x ) + f (x )G(x )i-1iinnZn f (xIi=1)Jxi g(x)dxxi-1< f (a) max G(x)x 日 a ,b 我们证明了不等式f (a) minx 日 a ,b G(x) < Z f (x-1i-1i=1)Jxi g(x)dx < f(a) max G(x)xi-1x 日 a ,b min屮x 日 a ,b (x)<Z f(xi-1i=1)Jxi g(x)dxxi-1< max 屮x 日 a ,b i=1> 工f (x ) - f (x ) + f (x ) min G(x)i-1ini=1x 日 a ,b = f (a) min G(x)x 日 a ,b 同样可证现令IPI T 0,取极限，就得到min 屮(x) < jbf (x) g (x)dx < max 屮(x)x 日 a ,b ax 日 a ,b 因此，存在e a,b,使得屮(c) = j bf (x)g(x)dx (因为屮(兀)在a,b 上是连续函数)a也就是 jb f (x) g (x)dx=f (a) jc g (x)dx 证毕aa下面我们证明定理9.12 证明：如f(x)是单调下降的，则f(x)-f(b)单调下降且非负，由引理12.2.1 知,存在 cg a,b), 使jb f (x) - f (b)g (x)dx= f (x) - f (b)jc g (x)dxaa即jb f(x)g(x)dx= f(a)jcg(x)dx+ f(b)jbg(x)dx,aa对f(x)单调上升的情形，可作类似讨论.使用积分第二中值定理，我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的 判别法 定理9.】3若下列两个条件之一满足，则严f(x)g(x)dx收敛(Abel判别法)卜f (x)dx收敛，g(x)在a,g上单调有界；a(2) (Dirichlet 判别法)设 F(A)二jA f (x)dx在a,g上有界，g(x)a在a, g)上单调，且 iim g(x)=0.xT+8证明： 0，设 |g(x)| < M, Vx g a,g ),因 j+g f (x)dx收敛,a由Cauchy收敛原理，3A > a,使v A,A > A时，有0 1 0I j Ai f (x)dx l<A2M由积分第二中值定理,我们得到I JAi f (x) g (x)dx I < I g (A) I 丨 f f (x)dx I +1 g (A ) I -1 J A f (x) dx IAA1g< M -1 f (x)dx I + M -1 JAi f (x)dx IAg再由Couchy收敛原理知J+af (x)g(x)dx收敛a(2)设M为F(A)在a,+a)上的一个上界，则V A, A > a,显然有I JAi f (x)dx I< 2MA同时，因为lim g(x)=o,所以存在A > a,当x>A0时，有 xT+a0g(x)|<84M于是，对 V A, A > A 有i0I J A f (x)dx I< I g (A) I -1 Jg f (x)dx I +1 g (A )I -1 J Ai f (x) dx IAAig< 2M -1 g (A)I + 2M -1 g (A )I8+82 2=8由Cauchy收敛原理知J+af (x)g(x)dx收敛a例9.12讨论广义积分J+a d dx的敛散性,i x解：令 f(x)=£, g(x)=cosxx则当XT+a时，f(x)单调下降且趋于零,F(A) = J A cos xdx=sin A - sini在a, a )上有界. i由Dirichlet判别法知J+a注dx收敛，i x另一方面| cos x |cos 2 x1 + cos 2 x2 x因卜丄dx发散，卜COs2X dx收敛 i 2xi2x从而非负函数的广义积分F甞dx发散 由比较判别法知J+”|COS x 1 dx发散,x所以卜汐dx条件收敛x例93讨论广义积分卜C0Sx arctanxdx的敛散性.x解：由上一题知，广义积分卜Qdx收敛，而arctanx在a, + -）x上单调有界，所以由Abel判别法知卜darctanxdx收敛。x另一方面，当x G3, +8）时，有cos xcos xIarctan x I > I Ixx前面已证卜8 |COS x 1 dx发散x由比较判别法知卜|cos x arctan x 1 dx发散，所以x+8 cos xarctanx 严dx条件收敛.x对瑕积分也有下列形式的Abel判别法和Dirichlet判别法 定理9.14若下列两个条件之一满足，则jbf（x）g（x）dx收敛：（b为唯a一瑕点）(Abe1判别法)jbf (x)dx收敛,g(x)在a, b)上单调有界a(Dirichlet 判别法)F(耳)=jb-n f(x)dx在a,b)上有界，g(x) a在(0,b a上单调，且lim g (x) 0.xTb-证明: (1) 只须用第二中值定理估计Jb" f (x) g (x)dx bn读者可以仿照定理11.2.8(1) 的作法完成(1)的证明.(2) 读者可以仿照定理11.2.8(2) 的作法完成(2)的证明.1 sin 例9.14讨论积分JiXdx(0<P< 2)的敛散性0 xp解：对于0<p<1 ,因为.1 sinxxpxp1由J1 dx收敛知o xp1sinJ1x dx0 x p绝对收敛敛对于0< P<2,因为函数f(x) = x2-p,当xt 0 +时单调趋于0,而函数1sin_g(x)=xx2满足所以积分.1sin_J1x dx耳 xp<1 cosl - cos 1V 21sinJ1£dx J1% 2 -p0 x p01sindx收敛.x 2但在这种情况下,j1汪0 xpx 是发散的,事实上.1sinxxp1sin21> x 12COS xxxp2 xp2 xp知21cos因J1dx发散，J1x dx收敛,o2xpo 2xp从而当0< p<2时，积分条件收敛.最后我们讨论p=2的情形,因为1f. sin -1J1 _dx = cosl - cos_ 耳 x 21sin当耳T 0 +时，上式无极限，所以积分J1 xdx发散.0 x 2值得注意的是 , 两种广义积分之间存在着密切的联系Jbf(x)dx中x=a为f(x)的瑕点，作变换y=，则有 ax 一 a1f (a + -)Jbf (x)dx = J；Ldy,而后者是无限区间上的广义积分.ab-ay2习题 9.21、论下列积分的敛散性(包括绝对收敛， 条件收敛， 发散)丄lnln x . J+s sin xdx ；2 ln x J+s sin x2dx ;0Jtdx ；o cos2 xsin2 xJ出dx ；0 x2 一 1 Jxp-1 (1 - x) q-i ln xdx ；0 J>-1 - xq-1 dx(p, q0);o ln x J+sdx ；0 xp + xq J+s xp-ie - xdx ；0(9) J+s#1 dx ；0 1 + x2丄 e sin x sin 2x , (10) J+sdx ；0xp)卜dx (p > 0)；11 + x psin( x + _)(12)严丄 dx(p0)-0xp2 证明：若瑕积分f f (x)dx收敛，且当x T 0 +时，函数f(x)0单调趋于+ -,则lim x f(X)=O.xT0+3. 若函数f(x)在a,+«)有连续导数f/(x),且无穷积分卜f (x)dxa+" f/(x)dx 都收敛，则 lim f(x)=O.axT+84. 设f(x)在a,+”)上可导，且单调减少，limf(x)=O,xT+8求证：f+8 f (x)dx 收敛 o J+" xf/(x)dx 收敛.aa5证明：若函数f(x)在a,+Q上一致连续，且无穷积分 卜f (x )dx收敛，则 lim f(x)=OaxT+86. 求证：若无穷积分f+sf (x)dx收敛，函数f(x)在a,+8)内单a调，则 f(x)=o(1 )x7. 计算下列广义二重积分的值 ff ,其中 D= &x, y) I xy > 1,xll;(2) ffxpyq D dxdy ;.50< x2+y 2 <1 V(3)f +sf+se_(x2+y2)dxdy,并由此证明丄 f+8e-x2dx 二 1.00 00兀 一008、讨论下列广义重积分的敛散性'1 x2 y2 f a f a. 申(x, y)dxdy, 0 < m <l 屮(x, y) l< M ;0 0 I x 一 y I p ff ® (x, y)dxdy 0 < m <l ¥ (x, y) l< M .(x 2 + y 2 + xy) px2 + y2<1