高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列课件.ppt

§6.3 等比数列,高考数学,1.等比数列的通项公式 如果等比数列an的公比为q,那么它的通项公式为 an=a1qn-1 . 2.等比数列的前n项和公式 设等比数列an的公比为q,其前n项和Sn= 3.等比中项 如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,且 G=± (ab0).,知识清单,4.等比数列的有关性质 (1)等比数列an满足 或 时,an是递增数列;满足 或 时,an是递减数列.当q=1时,an为常数列;当q0时,an为摆 动数列,且所有奇数项与a1 同号 ,所有偶数项与a1 异号 . (2)对于正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则等比数列中am,an,ap,aq的关系为 am·an=ap·aq . (3)若an,bn为等比数列(项数相同),则an(0), , ,an·bn, 仍是等比数列. (4)当q0,q1时,Sn=k-k·qn(k0)是an成等比数列的充要条件,这时k= .,拓展延伸 等差数列与等比数列的关系: (1)若an是正项等比数列,则logaan(a0且a1)是以logaa1为首项,logaq 为公差的等差数列(q是an的公比). (2)若an是等差数列,则 (b0)是以 为首项,bd为公比的等比数列 (d是an的公差).,等比数列的基本运算 1.将条件用a1,q表示出来,在表示Sn时要注意判断q能否取1. 2.解方程(组)求出a1,q,消元时要注意两式相除和整体代入(消元). 3.利用a1,q来求结论. 例1 各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n 等于 .,方法技巧,解析 设等比数列an的公比为q.由题意得,q0, S3n=143Sn=6,q1. 依题意得 所以 因此S4n= =(-2)×(1-24)=30.,答案 30,等比数列的判定与证明 1.定义法:若 =q(q为非零常数)或 =q(q为非零常数且n2,nN*), 则an是等比数列. 2.等比中项法:若数列an中,an0且 =an·an+2(nN*),则数列an是等 比数列. 3.通项公式法:若数列的通项公式可写成an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n N*),则an是等比数列. 4.前n项和公式法:若数列an的前n项和Sn=k-k·qn(k为常数且k0,q0, 1),则an是等比数列.,其中前两种方法是证明等比数列的常用方法,而后两种方法常用于填空 题中的判定. 若证明一个数列不是等比数列,只要证明存在相邻三项不成等比数列即 可. 例2 成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13 后成为等比数列bn中的b3,b4,b5. (1)求数列bn的通项公式; (2)数列bn的前n项和为Sn,求证:数列 是等比数列.,解题导引 (1)由已知条件表示出b3,b4,b5 求出b1及公比 求出bn (2)求出Sn 利用定义证明 是等比数列,解析 (1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d. 依题意,得a-d+a+a+d=15, 解得a=5. 所以bn中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d. 依题意,有(7-d)(18+d)=100, 解得d=2或d=-13(舍去). 故b3=5,公比q= =2. 由b3=b1·22,即5=b1·22, 解得b1= . 所以bn是以 为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为bn= ·2n-1=5·2n- 3.,(2)证明:数列bn的前n项和Sn= =5·2n-2- ,即Sn+ =5·2n-2, 所以S1+ = , = =2. 因此 是以 为首项,2为公比的等比数列.,等差数列与等比数列的综合运用 1.在等差数列中蕴含等比关系,由等差数列设出数列的项(突出a1,d),利 用等比关系列方程求解,同样,等比数列中蕴含等差关系也如此解决. 2.解题时适当利用性质转化条件,可简化运算. 3.挖掘隐含条件,发现等差(或等比)关系,使解题目的明确. 例3 (2017山东文,19,12分)已知an是各项均为正数的等比数列,且a1+ a2=6,a1a2=a3. (1)求数列an的通项公式; (2)bn为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求数列 的前n项和Tn.,解析 (1)设an的公比为q, 由题意知:a1(1+q)=6, q=a1q2, 又an0,解得a1=2,q=2,所以an=2n. (2)由题意知:S2n+1= =(2n+1)bn+1, 又S2n+1=bnbn+1,bn+10,所以bn=2n+1. 令cn= ,则cn= . 因此Tn=c1+c2+cn= + + + + , 所以 Tn= + + + + , 两式相减得 Tn= + - ,所以Tn=5- .,