高考数学一轮复习第七章不等式第四节基本不等式及其应用课件文.ppt

第四节 基本不等式及其应用,总纲目录,教材研读,1.基本不等式,考点突破,2.几个重要的不等式,3.利用基本不等式求最值,考点二 基本不等式的实际应用,考点一 利用基本不等式求最值,考点三 含参问题,1.基本不等式 (1)基本不等式 成立的条件:a0,b0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时等号成立. (3)其中 称为正数a,b的算术平均数, 称为正数a,b 的几何平均数.,教材研读,2.几个重要的不等式 (1)a2+b2 2ab (a,bR),当且仅当a=b时取等号. (2)ab (a,bR),当且仅当a=b时取等号. (3) (a,bR),当且仅当a=b时取等号. (4) + 2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.,3.利用基本不等式求最值 已知x0,y0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当 x=y 时,x+y有最 小 值,是 2 .(简记:积定和最小) (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当 x=y 时,xy有最 大 值,是 .(简记:和定积最大),基本不等式求最值的两个常用结论 (1)已知a,b,x,yR+,若ax+by=1,则有 + =(ax+by) =a+b+ + a+b+2 =( + )2. (2)已知a,b,x,yR+,若 + =1,则有 x+y=(x+y) =a+b+ + a+b+2 =( + )2.,1.下列不等式中正确的是 ( ) A.若aR,则a2+96a B.若a,bR,则 2 C.若a,b0,则2lg lg a+lg b D.若xR,则x2+ 1,答案 C a0,b0, . 2lg 2lg =lg ab=lg a+lg b.,C,2.设x0,y0,且x+y=18,则xy的最大值为 ( ) A.80 B.77 C.81 D.82,答案 C x0,y0,x+y=18, 18=x+y2 ,即 9, xy81.故xy的最大值为81.,C,3.已知x,y0且x+4y=1,则 + 的最小值为 ( ) A.8 B.9 C.10 D.11,答案 B x+4y=1(x,y0), + = + =5+ 5+2 =5+4=9 当且仅当x=2y= 时,取等号 .,B,4.(2015北京东城二模)函数y=2x+ (x0)的最大值为 .,答案 -4,解析 x0, (-2x)+ 2 =4 当且仅当-2x=- ,即x=-1时等号成立 , 即2x+ -4.,-4,考点突破,答案 (1)B (2)4 (3)3,解析 (1)0x1,x(3-3x)=3x(1-x)3 = . 当且仅当x=1-x, 即x= 时,“=”成立. (2)ab,b0,a+b=1, + = + =2+ + 2+2 =4, 即 + 的最小值为4, 当且仅当a=b= 时等号成立. (3)x1,y=x-1+ +12 +1=3,当且仅当x=2时取等号, 故y的最小值是3.,方法技巧 (1)利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为 定值,主要有两种思路:对条件使用基本不等式,建立相应的不等式求 解.对条件变形,以进行“1”的代换,从而利用基本不等式求最值. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过 添项、分离常数、平方等方法使之能运用基本不等式.常用的方法还 有:拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.,1-1 已知函数y=x-4+ (x-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b等于 ( ) A.-3 B.2 C.3 D.8,答案 C y=x-4+ =x+1+ -5,因为x-1,所以x+10, 0,所以由 基本不等式,得y=x+1+ -52 -5=1,当且仅当x+1= ,即 x=2时取等号,所以a=2,b=1,则a+b=3.,C,1-2 实数x,y满足x+2y=2,则3x+9y的最小值是 .,答案 6,解析 利用基本不等式可得 3x+9y=3x+32y2 =2 . x+2y=2,3x+9y2 =6,当且仅当3x=32y,即x=1,y= 时取等号.,6,典例2 (2015北京通州二模)某工厂近期要生产一批化工试剂,经市场 调查得知,生产这批试剂的成本分为以下三个部分:生产1单位试剂需 要原料费50元;支付所有职工的工资总额由7 500元的基本工资和每 生产1单位试剂补贴20元组成;后续保养的费用是每单位 元(试剂的总产量为x单位,50x200).设P(x)(元)是生产每单位试剂的 成本,则P(x)的最小值是 .,考点二 基本不等式的实际应用,220,答案 220,解析 由题意得生产每单位试剂的成本P(x)与x的函数关系式为P(x)=50 + +x+ -30=x+ +40,因为x+ +402 +40= 220,当且仅当x= ,即x=90时,等号成立,所以生产每单位试剂的成本 P(x)的最小值为220.,易错警示 对实际问题,在审题和建模时一定不可忽略变量的范围,一般地,每个表 示实际意义的代数式必须为正,由此可得变量的范围,然后利用基本不 等式求最值.,2-1 某工厂去年某产品的年销售量为100万件,每件产品的销售价为10 元,每件产品的固定成本为8元,今年,工厂第一次投入100万元,并计划以 后每年比上一年多投入100万元,预计销售量从今年开始每年比上一年 增加10万件,第n次投入后,每件产品的固定成本为g(n)= (k0,k为 常数,nN),若产品销售价保持不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元. (1)求k的值及f(n)的表达式; (2)若今年是第1年,则第几年的年利润最高?最高年利润为多少万元?,解析 (1)当n=0时,由题意得k=8. 从而f(n)=(100+10n) -100n =1 000-80× ,nN. (2)由(1)知f(n)=1 000-80 1 000-80×2× =520, 当且仅当 = ,即n=8时取等号. 所以第8年的年利润最高,最高年利润为520万元.,答案 (1)B (2)C,解析 (1)(x+y) =1+a+ + 1+a+2 =( +1)2(x,y,a0),当且仅 当y= x时取等号,所以(x+y)· 的最小值为( +1)2,于是( +1)2 9恒成立.所以a4,故选B. (2)因为xyz,所以x-y0,y-z0,x-z0,不等式 + 恒成立等 价于n(x-z) 恒成立.因为x-z=(x-y)+(y-z)2 , + 2 ,所以(x-z)· 2 ×2 =4(当且仅当x-y=y-z时等号成立),则要使n(x-z) 恒成立,只需使n4(nN),故n的最大值为4.,3-1 已知a0,b0,若不等式 + 恒成立,则m的最大值为( ) A.9 B.12 C.18 D.24,答案 B + ,且a0,b0, m (a+3b)=6+ + , 又 + 2 =6 当且仅当 = 时等号成立 , m12,故m的最大值为12.,B,3-2 已知lg a+lg b=0,则满足不等式 + 的实数的最小值是 .,1,