高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本不等式及其应用课件.ppt

§7.3 基本不等式及其应用,高考数学,1.基本不等式 如果a,b是正数,那么 (当且仅当a=b时取等号). 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2 2ab (a,bR). (2) + 2 (a,b同号). (3)ab (a,bR+).,知识清单,(4) (a,bR+).,拓展延伸 1.“和定积最大,积定和最小”,即n(n=2,3,)个正数的和为定值,则可求 其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值. 2.基本不等式是几个正数和与积转化的依据,不但可直接解决和与积的 不等问题,而且通过结合不等式性质、函数单调性等还可解决其他形式 的不等式问题.如:和与平方和、和与倒数和、和与根式和、和与两数 之积之和等. 3.利用基本不等式求最值的变形技巧凑、拆、除、代、解.,(1)凑:凑项,例:x+ =x-1+ +12+1=3(x1); 凑系数,例:x(1-3x)= ·3x(1-3x) · = ; (2)拆:例: = =x+3+ =x-3+ +62 +6=12(x3); (3)除:例: = 1(x0); (4)代:例:已知a0,b0,a+b=1,求 + 的最小值. 解析: + = + =1+ + +12+2=4. (5)解:例:已知a,b是正数,且ab=a+b+3,求a+b的最小值.解析:ab , a+b+3,即 (a+b)2-(a+b)-30,解得a+b6(a+b-2舍去).,利用基本不等式求最值问题 1.利用基本不等式可以求一些函数或代数式的最大值或最小值,其基本 法则如下: (1)已知x,yR+,若x+y=P(定值),当且仅当x=y时,积xy取得最大值 P2; (2)已知x,yR+,若xy=S(定值),当且仅当x=y时,和x+y取得最小值2 . 2.利用基本不等式求最值应满足的三个条件: (1)各项或各因式均为正; (2)和或积为定值; (3)各项或各因式能取到使等号成立的值. 简记:一正、二定、三相等.,方法技巧,如果解题过程中不满足上述条件,可以进行必要、合理的拆分或配凑因 式,以满足以上三个条件. 3.利用基本不等式求函数的最值,关键在于将函数变形为两项和或积的 形式,然后用基本不等式求出最值.条件最值的求解通常有两种方法:一 是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然 后利用基本不等式求解最值;二是消元法,即根据条件建立两个量之间 的函数关系,然后代入代数式转化为求函数的最值. 例1 (1)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 . (2)(2016江苏南通中学检测,12)若a0,b0,且 + =1,则a+2b的最 小值为 . (3)(2017江苏苏北四市期中)已知正数a,b满足 + = -5,则ab的最小值为 .,解析 (1)由x+3y=5xy,得 + =5(x0,y0), 则3x+4y= (3x+4y) = = ×(13+12)=5, 当且仅当 = ,即x=2y时,“=”成立. 此时,由 解得 故填5. (2)设a+2b=t,则a=t-2b.,a0,b0, + =1, + =1,即 + =1. =1- = . 从而2t-3b= =1+ ,即2t=3b+ +12 +1=2 +1 ,t . 故a+2b的最小值为 . (3)a,b为正数, + 2 , -52 ,即 -5 -60, 6,ab36,当且仅当b=9a时取等号,因此ab的最小值为36.,答案 (1)5 (2) (3)36,基本不等式的实际应用 应用基本不等式解决实际问题的步骤: (1)仔细阅读题目,透彻理解题意; (2)分析实际问题中的数量关系,引入未知数,并用它表示其他的变量,把 要求最值的变量设为函数; (3)应用基本不等式求出函数的最值; (4)还原实际问题,作出解答. 例2 (2016江苏泰州中学质检)某企业投入81万元经销某产品,经销时 间共60个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第x个月的利润f (x)= (单位:万元).为了获得更多的利润,企业将每月,获得的利润再投入到次月的经营中.记第x个月的当月利润率g(x)= ,例如g(3)= . (1)求g(10); (2)求第x个月的当月利润率; (3)求该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大,并求出该月 的当月利润率.,解析 (1)依题意得f(1)=f(2)=f(3)=f(9)=f(10)=1, g(10)= = . (2)当x=1时,g(1)= , 当1x20,xN*时, g(x)= = , 而x=1也符合上式,故当1x20,xN*时,g(x)= . 当21x60,xN*时, g(x)= =,= = , 所以第x个月的当月利润率 g(x)= (3)当1x20,xN*时,g(x)= 是减函数,此时g(x)的最大值为g(1)= . 当21x60,xN*时,g(x)= = ,当且仅当x= ,即x=40时,g(x)取得最大值,最大值为 . ,当x=40时,g(x)取得最大值 . 即该企业经销此产品期间,第40个月的当月利润率最大,其当月利润率 为 .,不等式恒成立问题 恒成立问题是不等式与参数问题的典型代表,解此类问题主要有以下三 种方法: 1.函数法 设f(x)=ax2+bx+c(a0). (1)f(x)0在xR上恒成立a0且0时, f(x)0在x,上恒成立 或 或 f(x)0在x,上恒成立,(4)当a0在x,上恒成立 f(x)f(x)恒成立af(x)max;ag(x)对一切xI恒成立f(x)的图象在g(x)的图象的上方. 例3 若不等式x+2 a(x+y)对任意的实数x,y(0,+)恒成立,则实,数a的最小值为 .,解析 由题意得a = 恒成立.令t= (t0),则a . 再令1+2t=u(u1),则t= ,故a = .因为u+ 2 (当且仅当u= 时等号成立),故u+ -22 -2,从而0 = ,故a ,即amin= .,答案,