数学竞赛辅导题--导数与微分

导数与微分题型一 利用函数的定义研究函数的可导性1 设，其中有二阶导数，求。2 设函数对任意均满足等式，且有，求。3 设可导，若使在处可导，则必有（ ）。 。题型二 利用函数的导数求曲线的切线和法线方程4 已知是周期为5的连续函数，它在的某个领域内满足关系式，其中是当时比高阶的无穷小，且在处可导，求曲线在点处的切线方程。5 求曲线在点处的法线方程。题型三 求复合函数的导数及抽象函数的导数6 设，求。7 设，其中具有二阶导数，求。题型四 求隐函数的导数（或可化为隐函数的求导问题）8 设函数是由确定的，其中具有二阶导数，且，求。9 已知，其中为二阶可微函数，求。10设，求。题型五 求幂指函数和连乘函数的导数11设，求。题型六 混合形式的函数的导数12设函数由所确定，求。题型七 求函数的高阶导数13设，求。14设，求使存在的最大的。15设，其中在由阶连续导数，求。第三章 微分中值定理与导数的应用题型一 证明存在，使的命题。1.设在上连续，当时，（为常数）。试证明：若，则方程在上有且仅有一个实根。2. 设函数在闭区间上具有二阶导数，且。 证明：在开区间内至少存在一点使得。题型二 证明结论为的命题3.若在区间上有三阶导数，且，设，证明：在内存在一点，使得。4. 设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，且，证明：存在，使得。题型三 证明存在，使5. 设在内上连续，在内可导，且，但当时，求证对任意自然数，在内存在，使。 （提示：将所证结论中改为，两边积分后，可作出辅助函数）。6. 假设函数和在存在二阶导数，并且，试证：（1）在开区间内；（2）在开区间内至少存在一点，使。题型四 证明有两个中值满足的某种关系的命题7. 设在上连续，在内可导，且，试证 ：存在，使得（提示：将要证结论改写为即证。令，对其应用拉格朗日中值定理。）8. 设在闭区间上可导，且满足关系式，证明在区间内至少存在一点，使得。题型五 证明函数的单调性和求单调区间9. 设函数在上，且，则的大小顺序是（ ） 10. 设函数对一切满足，若则（ ） 是的极大值 是的极小值 点是曲线的拐点 不是的极值题型六 关于不等式的证明12. 设在上具有二阶导数，且满足条件，其中都是非负常数，证明：对任意必有（提示：再将分别代入相减。并注意）13. 设，常数，证明。14. 证明：当时，。15. 设常数，证明：当且时，。5