从获得知识到拥有智慧

从获得知识到拥有智慧探究式学习方式的探究与实践北京师范大学第二附属中学 赵昕关键词：数学教育学习方式信息技术探究式学习咨询题的提出（一）、数学教育的全然目的实际上，新课程改革倡导建构性的学习，强调学生是知识的建构者 .学习是体会的重新组织和重新明白得的过程 .要达到上述数学教学的目的，就需要在教学过程中，让学生在教师引导下，自主探究，发觉从而完成对新知识的学习 .如此的教学过程不仅会使学生对知识的把握更加牢固，明白得更加透彻，更为重要的是，在学习过程中学生的思维能力得到了培养和提升。学生通过学习过程不仅仅猎取了知识更重要的是拥有了长期进展的聪慧 .（二）、学生的学习方式改进学生的数学学习方法是 新课程标准所提倡的一个改革目标。新课程标准明确指出：有效的数学学习活动不能单纯地依靠仿照与经历，动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。专门明显如此的学习方式有利于学生体验数学知识的形成过程，有利于还原数学知识的本来面目，也有利于实现数学教育的全然目标。因此，教师应当努力促进学生学习方式的转变，而学生学习方式的转变依靠于教学方式的改变及教学手段的丰富。（三）、信息技术的持续进展当今社会进展迅速，各种信息技术手段持续丰富。合理应用这些信息技术手段能够有效的促进课堂教学，为学生的自主探究提供了更为宽敞的空间。图形运算器是在科学运算器之后进展起来的，它具有专门强的绘图功能，除去常规作图以外，还能进行动态演示、图形探究；符号代数系统能进行代数、微积分等的符号运算；数据处理系统，能够探究数据规律，进行回来分析；图形运算器之间、图形运算器与运算机之间能够进行数据、图象和程序的传输，便于交流、修改储存和输出等 .这些特点使得图形运算器成为学生在课内外进行自主探究的学具 .基于上述几方面的摸索，我认为在新课标理念下，学生学习方式的改变是必定趋势，而探究式学习促使学生在学习过程中学会从数学的角度发觉咨询题，解决咨询题，完成自己意义的认知建构，并进展探究和创新的意识。信息技术的丰富，使得学生拥有了更加宽敞的自主探究的空间，因此我对在信息技术支持下的探究式学习的教学内容、教学对象以及教学模式等方面进行了有益的探究，并形成一些有推广价值的结论 .具体实践（一）、探究式学习在不同课堂教学内容中的作用1、探究式学习在概念教学中的作用传统概念的教学要紧以教师单方面传授为主，学生被动同意，学生没有摸索的空间，没有置疑的空间，每个概念就象输入到运算机中的命令一样生硬地传输给学生 .一部分教师适应于快速讲解概念后进行大量的练习，以应对各级考试，这明显违抗了数学教育的目标 .学生在学习概念的过程中没有得到思维的锤炼，同时对概念的明白得也是一知半解，常此以往，学生养成了对概念学习不重视的适应，成为了解题的机器，概念和解题严峻脱节，而解题靠的是背题型，形式经历，只知其然而不知其因此然、因此，在进行概念教学时，应在学生现有的知识水平上，让学生体验数学概念的形成过程，通过学生的自主探究，形成新的概念 .图形运算器使学生的自主探究成为可能，利用图形运算器学生能够对具体的现象进行分析从而抽象出数学概念，使讲授概念的过程变为学生对知识的主动建构过程 .如此的概念教学才能最大限度地提升学生的思维水平，才能使学生对概念的明白得正确而透彻 .典型案例 : 圆锥曲线的统一定义【教学过程】创设情形，提出咨询题类比抛物线的定义提出咨询题：椭圆、双曲线的准线有什么几何意义呢？学生调用程序对给定的椭圆和双曲线， 输入 a,b 的值，再输入任意在取值范畴内的 x 值，运算器就会自动运算出 y 值和该点到焦点和到准线距离的比值 .通过学生的研究和电脑的演示能够得到椭圆、双曲线上点的性质：椭圆、双曲线上的点到焦点与到准线的距离的比为曲线的离心率 .抛物线、椭圆、双曲线有专门多共同的地点，如：卫星以在不同的速率范畴内时的运行轨道分不是椭圆、双曲线、抛物线；它们都能够由圆锥面截得 .在轨迹的形成方式上是否也有相通之处呢？（二）观看实验、合理猜想联想上述椭圆、双曲线上点的性质及类比抛物线的定义猜想：椭圆、双曲线能够看作到定点与到定直线距离的比为常数的点的轨迹.依旧类比抛物线标准方程的推导，提出咨询题：求到定点 F 的距离与到定直线 L 距离比为常数 e（ e0 ）的点的轨迹 .设 F 到 l的距离为 p，建立直角坐标系，使F（ p ,0) ，直线 l ： xp222轨迹上p任一点2（ x,y）（投影）按照几何条件列出代数式子：xy2p2 e2p22e ，化简整理得， e21 x2pe2p x yx p044如此我们求得了到定点距离与到定直线距离的比为常数e 的点的轨迹2方程 .我们发觉它并不是椭圆、双曲线的标准方程，那个方程表示什么曲线呢？由于方程形式复杂，同学们认识它有一定困难，我们能够借助图形运算器来关心我们分析 .下面我们调用运算器中的程序.学生只要取定一组e 和 p，图形运算器就会自动画出现在方程所表示的曲线 .你能够试着给定一个p，输入不同的 e；再给定一个 e，输入不同的 p，看有什么不同的结果 .通过运行程序， 学生发觉：e>1 时，是双曲线； e=1 时，是抛物线； 0<e<1 时，是椭圆 . 再通过几何画板的动态演示，使学生观看到曲线由双曲线变到抛物线再到椭圆的动态变化过程.由此猜想：0e 1到定点距离与到定直线距离的比为常数e1的点的轨迹是椭圆抛物线.e1双曲线（三）推理论证，揭示原理1、教师引导学生探求上述结论的数学证明 .对方程 e21 x2pe2p xy 2 p2e2p 20 配方后，结合圆锥曲线的标44准方程就能够讲明方程所表示曲线的类型.由此得到圆锥曲线的统一定义：0e1椭圆到定点距离与到定直线距离的比为常数e1的点的轨迹是抛物线.e1双曲线2、对定义的进一步认识：教师引导学生对椭圆、双曲线的第二定义进行更深入的摸索：（ 1）、椭圆、双曲线的第一定义和第二定义从不同角度认识了曲线的形成；（ 2）、第二定义可将圆锥曲线从轨迹形成的角度统一起来，也称为圆锥曲线的统一定义，这也是圆锥曲线统一性的一种体现；（ 3）、用第一定义比较容易得到椭圆、双曲线的标准方程，而标准方程的几何意义明显，更有利于我们用方程去研究曲线；（ 4）、在利用第二定义求曲线方程时按常规建系方法无法得到圆锥曲线的标准方程，必须要按照定点和定直线建立一个专门的坐标系才能得到标准方程，因此椭圆、双曲线的第二定义多数情形作为曲线上的点的性质使用，利用曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离的关系，解决一些与距离有关的咨询题 .（四）练习反馈，巩固落实（略）【评析】圆锥曲线的统一定义是高中数学教学中的重点也是难点 .按照传统教学的方法，容易得到椭圆、双曲线上的点到其焦点及准线距离的比为其离心率，从而教材赶忙将焦点、准线抽象成定点和定直线，得到椭圆双曲线的第二定义 .实际上学生对这一定义的明白得是一知半解的，对任意的定点、定直线只要给定一个01 之间的值就能得到椭圆，给定一个大于1 的值就能得到双曲线，学生对这一结论感到怀疑.采取本例的教学设计学生利用图形运算器从一样的求轨迹的方法动身，通过对方程的分析，对圆锥曲线的第二定义有了深刻的明白得，较好地突破了这一教学上的难点.2、探究式学习在学生探究新知识中的作用在学生学习新知识的过程中，为学生提供了一个开放的宽松的环境还原知识的本来面目，使学生经历知识的产生过程，在自主探究中发觉新规律，获得新知识 .典型案例：复合函数的性质【教学过程】（一）咨询题的提出：我们差不多研究了指数函数和对数函数，今天我们要来研究复合函数。面对一个函数我们都要研究它的哪些方面呢？定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数。对复合函数的研究也从这几方面入手。复合函数形式多样我们研究哪个呢？选择的函数应符合以下原则：构成复合函数的函数应该是我们熟悉的简单函数，一次、二次、指数、对数的复合；（可行性）只需选择两层的复合函数即可（为了得到通性）不阻碍探究本质的情形下，选择尽量简单的函数。x22x按照这几个原则，给出四个函数：y2x 2 2x ， y1， ylog 2(x 2 2x ) ，x 22x2y1， ylog 2(x2 2 x) ， y4x2x 1 加以简单分析，这几个复合函数中2有几类函数？几个简单函数？明确了这些咨询题同学们就能够开始自己的研究了，研究过程中同学们注意体会一下研究复合函数与研究简单函数有什么相同和不同之处，研究复合函数要紧采纳什么方法， 需22 x( x 2 2 x )y 4x2x 1x22xxy log 2要解 析 式y 21注意什么咨询题。2y内层函数（二）学生研究外层函数学生利用图形定 义 域运值域算器进行探究，完成下草图表。内层函数单 调 性外层函数单 调 性复合函数单 调 性奇 偶 性反函数（是否存在）（三）总结交流：请 34 名学生展现研究成果。教师小结：值解 析 式数内层函数单 调 性常外层函数单 调 性复复合函数值单 调 性1.定义域、x2 2xy log( x 2 2 x )y 4x2x 1212域等性质：y 2 x2xy21，增1，增2，增R上增复合函，1，1，0 减值域咨询题通减减用换元的方法；u>1, 增R 上增R上减定义域内在研究增u<1, 减1，增 1，减2，增0，增合函数定义域、，1 减，1 增，0 减，0 减域、奇偶性、反函数咨询题时通过函数图象对这些咨询题有了直观的认识，但通过对图象的观看和归纳得出的结论是不可靠的有时也是不准确的，因此同学们在这几个方面又利用函数解析式和简单函数的性质，进行了求解。这讲明研究咨询题时我们往往从数和形两方面入手，相辅相承。2.复合函数单调性的规律通过对几个函数图象的研究得到：通过这几个函数的单调性发觉什么规律了吗？总结复合函数单调性规律：内外层函数单调性相同时，复合函数为单调增函数；内外层函数单调性相反时，复合函数为单调减函数. 注意外层函数在定义域上的单调性不一致时，如何利用外层函数的单调性确定复合函数的单调区间，复合函数单调性的规律是通过图象观看再结合解析式分析得到的，能否进行严格的证明？（幻灯片演示证明过程）求证：若函数 ug( x) 在区间 A 上是增函数，且在A 上的值域为 B，函数 yf ( u )在区间 B 上是减函数，则复合函数yf g(x) 在区间 A 上为减函数。证明：设 x1 , x2 为区间 A上的任意两个变量，且x1x2 ，u g( x) 在区间 A 上是增函数g( x 1 )g( x 2 )且g( x1 ) 、g( x 2 )B又函数 yf ( u ) 在区间 B 上是减函数，f g( x1 )f g( x 2)即：函数 yf g( x) 在区间 A 上为减函数。（四）、例题：判定函数的单调区间：1、 y2x2 4x2、 ylog 1 (x22x)(五)、小结：21.研究函数的一样过程和方法：要紧通过函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等方面来研究函数；数形结合，解析式和图象相辅相成；2.研究复合函数的性质要紧使用了换元的方法；3.复合函数单调性的规律。(六)、摸索：1.复合函数单调性规律的证明。2.复合函数奇偶性与内、外层函数奇偶性的关系，并对结论进行证明。【评析】本课例改变了传统的教学方法，在进行复合函数单调性概念教学时，在学生现有的知识水平上，通过学生的自主探究，及教师的持续设咨询，形成了新的概念 .在整个过程中，图形运算器充分发挥了“学具”的作用，使学生的自主探究成为可能.因此本课例采纳了教师引导下学生自主探究的教学方法 .力求通过如此的教学设计使讲授概念的过程变为学生对知识的主动建构过程 .从而最大限度地提升学生的思维水平，同时使学生对概念的明白得正确而透彻 . 课例二 正切函数的性质本课例从教材的内容看，不管是知识的明白得、性质的把握、应用的技巧，难度都不大，而且正切函数在正、余弦之后学生已差不多把握研究的方法，因此确立本节课的教学模式为学生独立探究，自主学习.利用图形运算器培养学生独立探求新知识，得到结论.由于正切函数是高中课本中最后一个具体函数，本节课力求让学生充分体验研究函数的一样过程及研究函数时图象与性质相辅相承的关系，体现数形结合的数学思想，因此整个的教学设计一直是图象与性质的研究相伴而行 .图形运算器的作图功能在学生探究过程中起到了重要作用. 课例三 抛物线的焦点弦本课例的内容来源于全日制一般高级中学教科书（试验修订本必修）信息技术整合本142、151 页.期望借助“抛物线焦点弦”的研究，将所学知识在那个地点进行整理，归纳.性质本身的得出并不是本课的唯独关注点，渗透研究一个数学咨询题的方法是本节课的另一重点.这节课在培养数学思维活动中的数学探究能力上做了一点尝试.在数学中，探究能力表现在提出数学咨询题，探求数学结论，探究解题途径，查找解题规律等一系列有意义的发觉活动之中 .本节课让学生通过研究 “抛物线的焦点弦”，借助图形运算器能够将自己的猜想赶忙进行试验，使大胆想像成为可能，更能激发学习的爱好 .同时在探究中让学生了解到探究的过程确实是一个持续提出设想，验证设想，修正和进展设想的过程，从而逐步形成善于质疑、乐于探究、勤于动手、努力求知的主动态度，产生主动情感，激发他们探究、创新的欲望 .（二）、探究式学习在课外学习中的作用除了课堂教学以外，我们还在研究性学习和课外活动课中引导学生进行探究式的学习 .指导学生进行了一些研究性学习的课题研究，并形成了论文.下面举例讲明 . 案例 艺术作图在使用图形运算器的过程中，学生对图形运算器的作图功能产生了爱好，结合课堂的函数知识，学生在教师的引导下通过输入不同的分段函数解析式，画出了各种富有意义的图像 .如：改变一下正弦函数的周期，再加上余弦函数，能够画出海上的景象 .第一是海浪y1=sinxy2=sin(x+1)y3=sin(x+2)然后是船身y4=-1.5x-3-3x-2y5=1.5x-32x3y6=x*0+1.5 -3x3 （注 2）然后是船尖y7=x+3-1.5x0y8=-x+3 0x1.5还能够加海鸥，是由两条抛物线和一条直线组成的.（三）、探究式学习下的教学内容与教学模式的探讨1、探究式学习方式适应的学习内容学生的学习方式是多样的，传统的学习方式是一种同意式的学习方式，现在倡导学生进行探究式学习，合作交流式的学习，在教学中应当引导学生采取适当的学习方式进行学习。通过实践得出，与探究式的学习方式相适应的学习内容可分为两类：第一类为咨询题具有较强的开放性，具有较大的探究空间，此类咨询题多为课本知识的进一步拓展；第二类咨询题为涉及内容较有深度，咨询题较为明确，解决咨询题的过程体现了思维的深刻性，此类咨询题多为较难明白得的课本知识.2、探究式学习方式适应的教学模式通过教学实践可将探究式学习下所用的教学模式总结为“咨询题解决”的教学模式 .“咨询题解决”的教学模式确实是从咨询题动身，以数学思维方法为主线，以咨询题解决为目的，使数学教学成为数学活动的教学，数学思维的教学，再发觉、再制造的教学.针对某些教学内容，采取这种教学模式对培养学生发散思维、制造性思维能力等方面有更好的成效.关于上述与探究式学习方式相适应的两类学习内容，总结出“咨询题解决”教学模式的两种操作过程：适用于开放性咨询题的操作过程提 出 开 放性咨询题实验观看合理猜想讨论探究理论证明反思交流拓展研究 适用于较有深度的数学咨询题的操作过程：提 出 咨 询题实验观看分析发觉推理论证揭示原理概念深化，练习反馈引发摸索三、引导学生进行探究式学习的体会与反思（一）、咨询题的创设探究式学习方式的关键是从激活咨询题动身，利用启发法引导学生进行“探究学习” .教学中教师的主导作用要紧在把学生带入咨询题情形后，让学生在咨询题解决的过程中，猎取知识，形成技能，进展思维，提升能力 .这种学习方式是围绕咨询题展开的 .因此，关于探究式的学习方式，教师应创设有价值的咨询题，咨询题应是学生通过分析摸索，能够差不多解答出来，既能让学生得到，又不能轻取 .只有如此才能起到启发学生动脑、锤炼思维能力的作用 .（二）、因材施教学生的思维能力是各不相同的，高中数学教育的最终目的也不是要将所有学生培养成数学专业的人才 .钱学森教授曾指出：“教育工作的最终机智在于人脑的思维过程 .”思维活动的研究，是教学研究的基础，数学教学与思维的关系十分紧密，数学教学确实是指数学思维活动的教学，数学教学实质上确实是学生在教师指导下，通过数学思维活动，学习数学家思维活动的成果，并进展数学思维，使学生的数学思维结构向数学家的思维结构转化的过程 .然而数学思维能力中不是只有 “数学推理能力”，如果从解析式入手因为代数恒等变形能力的差异，使部分学生的学习进程受阻，什么缘故不能够关心他（她）换个角度摸索，一方面激发探究的爱好，另一方面得出结论后再证，使目标明确，也同样能够达到锤炼理论推导的目的 .在学生对咨询题进行探究的过程中，由教师提出咨询题，不规定研究方法，学生可按照自己的情形选择不同的途径研究咨询题，承诺学生采纳不同的探究方式，如此使不同的学生在探究活动中都会得到锤炼 .（三）、情感体验关注学生学习数学过程中的“情感体验” .调查表明，学生学习数学的感受大致分为以下几类：第一，对学习内容和过程感到有味；第二，尽管谈不上对学习有味的感受，但完成学习任务或者取得好的成绩感受到愉快和满足；第三，对考试和测验的焦虑，对考试成绩专门担忧；第四，对数学学习活动的厌倦 .而且后三类占绝大多数学生 .事实上学生对某一学科爱好的建立除学生自身因素以外，教师在本学科上的引导也是起专门大阻碍的.做为一名数学教师，即使不能让所有的学生热爱数学，也不能作“灭火器”，令学生恐惧数学， 厌恶数学 .探究式学习方式考虑到学生在解决咨询题中的情感体验，努力使学生在解决咨询题的过程中充分体验发觉数学规律的愉悦 .（四）、信息技术的介入在上述课例中所展现的学生的探究活动中，学生利用了图形运算器对咨询题进行研究。实际上，学生还能够利用几何画板等软件进行探究。图形运算器的介入要紧作用在于给学生研究咨询题提供一个更宽敞的平台，改变原有的一支笔，一张纸的旧有模式，通过运用图形运算器能够将数学实验引进课堂，使学生在数学实验的探究中，凭借自己的观看、推测、探究，他们的聪慧以及对数学的明白得去“作数学” .我们期望通过让信息技术的介入，鼓舞学生对数学过程的观赏，成为主动的学习者 .终止语：新的教育理念下的教学活动不仅是要教学生学会知识，更要紧的任务是教给学生学习知识的方法，培养学生主动猎取知识的能力，为学生成为一个终生学习者打好基础 .为了达到创设一个观赏数学、探究数学的学习环境，做了一些初步的尝试和探究，学生学习方式的转变需要长期的实践与探究，今后还将在教学实践中坚持不懈地努力，使得学生通过我们的数学教育不仅能够猎取知识而且能够拥有学习的聪慧。参考文献1.郅庭瑾教会学生思维教育科学出版社2001 年 12 月第 1版2.李果民中学数学教学建模广西教育出版社2003 年 5 月第 1版3.王尚志数学教学研究与案例高等教育出版社2006 年 12 月第 1 版