上极限和下极限PPT

2021-5-7 1 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 2 一 上极限与下极限的定义1 数列的聚点 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 3 一 上极限与下极限的定义2 数列的聚点与点集的聚点的区别 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 4 一 上极限与下极限的定义3 数列的聚点的性质 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 5 一 上极限与下极限的定义3 数列的聚点的性质 上 一 页 下 一 页 主 页 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 7 一 上极限与下极限的定义4 数列的上下极限的定义 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 8 一 上极限与下极限的定义4 数列的上下极限的定义P175#1 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 9 一 上极限与下极限的定义4 数列的上下极限的定义求数列上下极限的一般方法： 找出数列所有可能的收敛子列的极限，再比较它们的大小 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 10 二 上极限与下极限的性质与判断方法1 数列的上下极限的关系 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 11 二 上极限与下极限的性质与判断方法1 数列的上下极限的关系lim limn nn nx A x A 证 明 ： 设 = ， =lim , , n nn x A x AA A A A ) 则 的 任 意 子 列 都 收 敛 于而 ， 为 收 敛 子 列 的 极 限 ， 所 以 = 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 12 二 上极限与下极限的性质与判断方法1 数列的上下极限的关系, , (n nA A xA AA M M x ) 则 只 有 一 个 聚 点 ，由 为 上 极 限 ， 知 对 任 意 0,大 于的 项 至 多 只 有 有 限 项 ，（ 否 则 ， 在 为 的 一 个 上 界 ） 中又 有 一 个 聚 点 ） . 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 13 二 上极限与下极限的性质与判断方法1 数列的上下极限的关系lim limn nn nx A x A 证 明 ： 设 = ， =, )AA A )同 理 ， 小 于 的 项 也 至 多 只 有 有 限 多 项 ，从 而 ( 之 外 含 数 列 至 多 有 限 项 ， 由 数 列 极 限 的 定 义 ， 得 证 。 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 14 二 上极限与下极限的性质与判断方法2 数列的上下极限的判断方法 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 15 二 上极限与下极限的性质与判断方法2 数列的上下极限的判断方法 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 16 二 上极限与下极限的性质与判断方法2 数列的上下极限的判断方法 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 17 二 上极限与下极限的性质与判断方法3 数列的上下极限的不等式性质 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 18 二 上极限与下极限的性质与判断方法3 数列的上下极限的不等式性质lim lim ,n nn na a b b a b 证 明 ： 设 =， =0,4a b a b 取 则, n n n na ab a b bb 中 大 于 的 项 有 无 数 多 项 ，而 所 以 中 大 于 的 项 也 有 无 数 多 项 ，由 于 为 上 极 限 ， (由 定 理 7.7） 矛 盾 。 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 19 二 上极限与下极限的性质与判断方法3 数列的上下极限的不等式性质lim lim lim lim k kn n n nn k k na a a a 特 别 地 ， 对 子 列 有 如 下 性 质 ： 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 20 二 上极限与下极限的性质与判断方法3 数列的上下极限的不等式性质 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 21 二 上极限与下极限的性质与判断方法3 数列的上下极限的不等式性质lim + ) lim +lim ( 176#2(2) n n n nn n na b a b p 类 似 地 ， 对 下 极 限 有 （lim +lim lim + lim + lim +limn n nn n n n n n n nn n n n n na b ba b a b a b a b 若 之 一 收 敛 ， 如 收 敛 ， 则（ ） （ ） 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 22 二 上极限与下极限的性质与判断方法3 数列的上下极限的不等式性质3 175#2)p例 （ 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 23 二 上极限与下极限的性质与判断方法3 数列的上下极限的不等式性质3 175#2)p例 （ 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 24 三 上极限与下极限的其它定义形式 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 25 三 上极限与下极限的其它定义形式 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 26 三 上极限与下极限的其它定义形式 上 一 页 下 一 页 主 页2021-5-7 27 四 非正常上极限与下极限