高考数学复习点拨 幂函数学习方法点拨

幂函数学习方法点拨 一、掌握定义、善用归纳、学会探究：1 幂函数的概念：形如的函数，其中为非有理数幂函数的共同特征：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，自变量在底数的位置上说明：不是幂函数注意：幂函数的解析式必须是的样子，不能有一点差异分清幂函数的解析式与指数函数的解析式 的区别例1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？ （1） （2）（3） （4） （5）提示：只有（1）是幂函数，其余都不是请同学们对照幂函数的定义及相关注意点，认真辩析，仔细体会2幂函数的有关性质（探究要求）：结合函数 ，的图象，了解它们的情况，探索并了解幂函数的有关性质定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在上是增函数在上是减函数，在上是增函数在上是增函数在上是增函数在上是减函数，在上是减函数定点（1，1）和（0，0）（1，1）和（0，0）（1，1）和（0，0）（1，1）和（0，0）（1，1）由特殊性归纳得到幂函数的性质:（1）所有的幂函数在都有定义,并且函数图象都通过点(1,1)（2）如果,则幂函数的图象过点(0,0)和(1,1),并在上为增函数 在第一象限内， 随的增大，图象上方越来越靠近 y 轴（3）如果,则幂函数的图象过点(1,1),并在上为减函数在第一象限内，图象向上与 y 轴无限接近图象向右与 x 轴无限接近（4）当为奇数时,幂函数为奇函数； 当为偶数时,幂函数为偶函数3 基本幂函数的性质若能熟记证明，并加以应用，并且有所推广，则在解题中定能得心应手 如：把就可知在（0，）上为增函数；又如：知在（0，+）为增函数且为偶函数 进一步可以探索出幂函数的性质如下：（再探究）（1）除原点外，任何幂函数图象与坐标轴都不相交，任何幂函数图象都不经过第四象限；（2）任何两个幂函数的图象最多有三个公共点，除(1，1)，(0，0)，(-1，1)，(-1，-1)外，其它任何一点都不是两个幂函数的公共点 4 由上述图像可归纳出幂函数在第一象限内图像的特征是：（再归纳）当时，图像位置在区域I；当时 ，图像位置在区域II；当时，图像位置在区域III；当时，图像位置在区域IV；以上情况也可略记为“图像经过（1，1）点后，在直线x=1右侧的部分按区域I、II、III、IV，n 的值总是由小到大增大通过探究使同学们在这一过程中加深了对定义域、值域、奇偶性、单调性的理解，掌握了从这几个方面研究函数的方法例2 如图是函数的示意图，试求的值解：函数不过原点 当时，即，函数为奇函数，图象关于原点对称，显然与题意不符；当时，即适合题意 二、一题多思、激活思维、大胆创新本节的例题很典型，希同学们在学习过程中不能停在表面，要善于联想、归纳、创新，不断提高自己的思维素质比如从本题中除了学会函数的单调性的证明之外，你是否能联想到如下几点：证明过程中使用了一种很重要的“非正常”处理的数学方法分子有理化，它在不等式的证明过程中经常用到补例：设函数，其中，判断并证明函数在区间上的单调性（低起点，高落点）变式：根据函数的单调性定义，证明函数在上是减函数（91年高考试题）提示：本题至少有三种方法，请同学们自己探究具体的证明方法引申：如果两个幂函数复合以后，那么它的图象与性质又将呈现什么结果呢？例如：请同学们自己研究函数的性质提示：自己可请教老师或上网查找