行列式的计算技巧与方法总结讲解

行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计 算量大，有一定的局限性0001例1计算行列式f703004000解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4! = 24项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少具体的说，展开式中的项的一般形式是a a a a .显然，如果j丰4，那么a = 0,1j1 2 j2 3j3 4 j411j1从而这个项就等于零.因此只须考虑j= 4的项，同理只须考虑j二3, j二2, j二1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有234a a a a，而e（4321）= 6，所以此项取正号.故14 23 32 4100010020=（-1丄（4321）a a a a = 24 030014 23 32 4140002.2利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形该 方法适用于低阶行列式.2.2.1化三角形法 上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：aaa1112130aa222300 a33 a1na2na = a a . a ,000anna 0011a a 02122a a a3132330 = a a . a1122nn例2a a an1n 2n3ann计算行列式D二1n+1a1a + b11a2a2anan3 n1122 nn1 a a . a + b12n n解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对 应相同，故用第一行的（-1）倍加到下面各行便可使主对角线下方的元 素全部变为零即：化为上三角形解：将该行列式第一行的（-1）倍分别加到第2,3-（ n +1）行上去,可得7P一一Q O 7PO:. a20 O Q1 & 1O 1 0*10一一1nD2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计 算这类计算行列式的方法称为连加法例 3 计算行列式 Dn解：£ x 一 mii=1工x 一 mix -m21xx2n(£ x1x m x一 m2nI i=丿:.:1x x一 m2i1x x2n(£ xI i=、一 m0一 m 0=(-m h11£n x一 m丿: ：i=1i丿00 一 mn2i=12.2.3 滚动消去法123n 一 1n212 n 一 2 n 一 1例4计算行列式D =n321 n 一 3 n 一 2(n > 2).nn 一 1n 22 1当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法解：从最后一行开始每行减去上一行，有123n-1n1 23 n - 1n1-1- 1 -1-12 0002D = 1n1- 1 -11 =2 2002111 1-11 11111 2 3n-1n +11 0 000= 2 n-21 1000=(- 1)n+1 (n+ 1)2 n - 2 .1 11 102.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n行的和全相同，但却为零.用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法例5计算行列式D =ai00a1a20a2a3新的第二列加到第三列，以此类推，得：a00 0010a0 00200a 00:3:000 a0123nnn +1解：将第一列加到第二列，D =n=C 1)2n+2(- 1)n(n + 1)a a -a=C » (n + 1)a a a .1 2 n2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解2.3.1 按某一行(或列)展开x-10.000x-1.00例6 解行列式D =n00x 00000.x-1anan-1an-2.a2a1解：按最后一行展开，得D = a xn-i + a xn-2 + . + a x + an12n-1n2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D中任意选定了 k(L < k < n -1)个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的 和等于行列式 D. 即D 二 MA + MA + + MA1122，其中 A 是子式 M 对应的代数余子式i解：从第三行开始，AnnCnnA0BnnCB=A B ，nnnn=A B .nn九aaa abYPPPbPYPPbPPPYnnnn0例7解行列式Dnnnnn每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得九aaaabyPPPD = 0n卩-y y-卩000000y -卩九(n - l)aaaaby + (n - 2)PPPP=00y-P000000y-P九(n - 1)a /-P00by + (n - 2 )P:.00y卩=Ly + X(n 一 2)P - (n 一 1)ab P -2.2.4 升阶法就是把 n 阶行列式增加一行一列变成 n+1 阶行列式，再通过性质 化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法升阶法 的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利 用行列式的性质把绝大多数元素化为 0，这样就达到简化计算的效果其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末 行首列，末行末列以及一般行列的位置例 8 解行列式 D=011 11101 11110 11111 01111 10从第二列开始，解：使行列式D变成n +1阶行列式，即1111100111010110110101110D =111 11-1-10 00-10-1 00-100 -10-100 0-1再将第一行的(-1)倍加到其他各行，得:D=-(n -1)11 110-10 0000-1 00000 -10000 0-1每列乘以(-1)加到第一列，得:D =(- 1丄+1 (n -1).2.5 数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法例 9 计算行列式 D =nCOS P10 0012cosp1 00012cosp00000 2cos p100012cosp解:用数学归纳法证明.当 n 二 1 时，D = cos p .当n二2时，D二2COS P112cos二 2cos2 p -1 二 cos2p .猜想， D = cos n p . n由上可知，当n二1, n二2时，结论成立.假设当n = k时，结论成立.即：Dk= cos k p .现证当n = k +1时，结论也成立.COS P100012cosp100r丄012cosp00当 n = k +1 时，D =k+1: :000 2cos p100012cos P将 D 按最后一行展开，得 k+1COS P10 012cosP1 0D = (- 1)k+1+k+1 2 cos P 012 cos P0k+1:. ：000 2 cos PCOS P10012cosP10+ ( 1)k+1+k012 cos P0000 1=2 cos PD 一 Dkk-i因为D = cos kp , kD = cosk-i=cos (kp-p) =cos kP cos P + sin kP sin P ,所以D = 2 cos PD - Dk+1kk-i= 2cos P cos kP - cos kP cos P - sin kP sin P= cos k P cos P - sin k P sin P= cos(k + 1)P .这就证明了当n = k +1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自 然数，结论都成立即： D = cos nP .n2.6 递推法技巧分析：若n阶行列式D满足关系式aD + bD + cD = 0.nn-1n - 2则作特征方程ax 2 + bx + c = 0 . 若、丰0，则特征方程有两个不等根，则D = Axn-1 + Bxn-1 .n 12 若A = 0，则特征方程有重根x = x，则D =（A + nB）xn-1.12n1在中，A, B均为待定系数，可令n = 1,n = 2求出.例 10 计算行列式 D =n9500 0004950 0000495 0000000 4950000 049解：按第一列展开，得=9Dn -1- 20Dn-2D - 9 D + 20D = 0 .nn -1n - 2作特征方程x = 4, x = 5 .12解得则D = A 4 n-1 + B 5 n-1 .n当 n = 1 时，9 = A + B ；当 n 二 2 时，61 二 4A + 5B.解得A = 16, B = 25 ,所以D = 5 n+1 4 n+1 n3、行列式的几种特殊计算技巧和方法31 拆行（列）法311 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两 个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值拆行（列）法有两种 情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项； 二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不 变，使其化为两项和312 例题解析1 aa0 001211aa 0023例11计算行列式D =n011a003000 1aan 1n000 11a解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得1 aa0 00121 + 01aa 00230 + 011a00D 二n3 ：0 + 0001aan 1n0 + 000 11a1 aa0231a03D = 1 a: ：n100 1an 100 1上面第一个行列式的值为 1，所以=1 a D1 n 100an1 an1a200011aa0023011a300000 1aan1n000 11 anaa0001201aa0023011a00+ .3000 1aan1n000 11 an这个式子在对于任何n（n > 2）都成立，因此有D = 1 a Dn1 n 1=1-a (1-a D12 n - 2)=1 -a + a a +(- 1丄-1 a a a11 21 2n=1 + 工(-1) Hai=1jj=13.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求 解的行列式，从而求出原行列式的值3.2.2 例题解析例 12求行列式 D =nx1x211X2X221XnX 2nXn - 21Xn1Xn-22Xn2X n-2n X nn解：虽然D不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造n +1阶的范德蒙德n行列式来间接求出D的值.n构造n +1阶的范德蒙德行列式，得1111XXXX12nX 2X2X 2X2f (x )=12nXn - 2Xn-2X n-2Xn-212nXn-1Xn-1X n-1Xn-112nXnXnX nXn12n将f (x)按第n +1列展开，得f (x )= A + A x HF AXn-1 + A Xn ,1,n+12, n+1n, n+1n+1, n+1其中，XnT的系数为A = ( 1)n+(n+1)D 二D .n ,n +1n n又根据范德蒙德行列式的结果知n1< j <i<nf (x )= (x x )(x x ) (x x ) n(x - x ).12nij由上式可求得xn1的系数为 (x + x x ) n (x x ).12nij故有1< j<i<n + x + x)n C x).12nij1 < j < i < n3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设九,九，九是n级矩阵A的全部特征值，则有公式12 n|A| = w九.12n故只要能求出矩阵A的全部特征值，那么就可以计算出A的行列 式3.3.2 例题解析例13若九，九，九是n级矩阵A的全部特征值，证明：a可逆当且12 n仅当它的特征值全不为零证明：因为|A| = 九，贝U12nA 可逆 o A|丰0 o 九九 九 丰0 o 九 丰oG =1,2 n).12ni即A可逆当且仅当它的特征值全不为零.4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念aaa.aa11 12131niiaa.aaa22232 n2122形如a.a,aaa333n313233aaaannn1n2n3形状像个三角形，故称为“三角形”行列式这样的行列式，ann4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知aaaa1112131n0aaa22232 n00aa=a a.a ,333n11 22nn 000 anna00 011aa0 02122aaa0=a aa .31323311 22nn aaaan1n2n3nn4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如a0c1c2b1a1b2a2bn，bn b2a2caannncaannnca，a222caa111abbbbbb012nn21ba10aciic ,2cncnc这样的行列式，形状像个2c1a0爪”字，故称它们为“爪”字型行列式4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横4.2.3例题解析例 14计算行列式ai11，其中a 丰0,i二1,2,n.i分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第1i(i二2,3,n.)列元素乘以-丄后都加到第一列上，原行列式可化为三ai角形行列式a111a -L丄111i1a1 a202ia1a230a31an0a解:nna 一乙14.3么”字型行列式caacnn01bac112形如ca,ba,2222cac11nabb bba012nnnbbbaabban210nnnnacc:c11nnac,ab,ba222222cabbac211112accaacnn1001abbbacca012nnn10cacab11211ca,ac,ab222222accb11n1cabbbaabnnn210nn概念4.3.1这形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式样的行列式，4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角 形行列式此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用 a 消n去c，然后再用a消去c ，依次类推.nn-1n-14.3.3 例题解析1 -11 -1 b1例15计算n +1阶行列式D =.n+1bn -1bn1 -1-1解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得-1 + 工 bi-1工;ii=1.n+1-1b +bn -1nbn=(-1中丄d(-1+h b''i=1 丿=(-1片(_ 1 + 丫 J4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如ai00bnb01ab220000 0:这样的行列式叫做“两线型”行列式.bn-1 a4.4.2 计算方法 对于这样的行列式，可通过直接展开法求解4.4.3 例题解析例16求行列式Dnb1a2bn -1aa2b2 0b10 0D = a: :+ b (1+1a2b2 0n+11 00.bn: :n100 a00.b解：按第一列展开，n-1nn得n=a a . a + ( 1+i b1 2 n4.5.1 概念a + bab000001a+bab000001a+bab000形如.:00000a+bab000001a + b型行列式4.5 “三对角”这样的行列式，叫做“三对角型”行列式4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形 进行两次递推或利用数学归纳法证明4.5.3 例题解析a + bab000001a + bab0000例17求行列式D n01a + bab0 0000000a + bab000001a + b解：按第一列展开，得ab000 001 a+ bab0 00D =(a +b )D01a + bab 00nn1:a+ b:0000 a + bab0000 1a + b-(a+ b )D-abDn 1n2变形，得D aD b(D aD).nn-1n-1n - 2由于 D = a + b, D =a 2 + ab + b 2,12从而利用上述递推公式得D aD bCD aD )nn -1n -1n - 2b2(D aD )bn-2(D aD )- bn.n -2n-321故D = aD H b n = a Cd + bn-1 )+ bn =an-1D + an - 2 b 2 + + abn-1 + bn nn -1n - 21=an + an-lb HF abn-1 + bn .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如a1a21a2a22a3a23ana2n这样的行列式，成为n级的范德蒙德行an-11列式a n -12a n -13a n -1n111 1a1a2a3 an=n Ci - aa 2a2a2 a 2123nijan-11a n -12a n -13an-1n1< j<i<1通过数学归纳法证明，可得例题解析解：虽然D不是范德蒙德行列式, n但可以考虑构造n +1阶的范德蒙德4.6.2 计算方法11 1xxX12nx 2x2X 2例18求行列式D =12nn: :Xn - 2xn-2 X n212nXnxnX n4.6.312n行列式来间接求出 D 的值n构造n +1阶的范德蒙德行列式，得f (x )= A1,n+1+ A x + + Axn-1 + A2,n+1n,n+1n+1,n+1其中，Xn-1的系数为1111xx xx12nx 2x2 x 2x2f (x )=12nxn2xn2 x n2xn212nxn1xn1 x n1xn112nxnxnx nxn12n将f (x)按第n +1列展开，得= (- 1)n+(n+1) D = -D . nn故有An,n+1又根据范德蒙德行列式的结果知n1< j <i<nf (x )= (x x )(x x ) (x x ) n(x - x ).12ni j由上式可求得 xn1 的系数为 (x + x x ) n (x x ),12 ni j1< j<i<n + x + x)n C x).12ni j1< j<i<n5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行面就列举几种行列式计算方法的综合应用5.1 降阶法和递推法例19计算行列式D =n分析：乍一看该行列式，210 00121 00012 00000 21000 12并没有什么规律但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到n -1阶的形式.解：将行列式按第一行展开，得D = 2 D Dnn 1n 2D -D = D - DDDnn -1n -1n - 2D = D D =D D = 3 2 = 1. n -1n -1n - 221=1 + D = = 1 +1 + + C + D ()n 1n (n 1)=(n -1)+ 2 = n +1.5.2逐行相加减和套用范德蒙德行列式例 20 计算行列式11 + sin p1sin p + sin 2 p1 1sin2 p + sin3 p1111 + sinp2 sinp +sinp222 sin2p +sin3p 2211 + sinp3sinp +sinp233sin2p +sin3p3311 + sinp4sinp +sinp24sin2p +sin3p44解：从第一行开始，依次用上一行的(-1)倍加到下一行，进行逐行相加，得1sin p1sin 2 pisin3 p11sinp2sin2p2sin3 p2再由范德蒙德行列式1sinp3sin2p3sin3 p3得1sinp4sin2 p4sin3 p41sin p1sin 2 p1sin3 p11sinp2sin2p2sin3 p21sinp3sin2p3sin3 p31sinp4sin2p4sin3 p4=n (in p - sin p )ij1< j<i<45.3 构造法和套用范德蒙德行列式11X1X2例21求行列式D =nX 21X22Xn21Xn1Xn22Xn2解：虽然D不是范德蒙德行列式,n行列式来间接求出D的值.n构造n +1阶的范德蒙德行列式，得 1 xnX 2n .X n2nXnn但可以考虑构造n +1阶的范德蒙德11 11XXXX12nX 2X2X 2X 2f 6 )=12nXn2Xn2X n2Xn212nXn1Xn1X n1Xn112nXnXnX nXn12n将f (x)按第n +1列展开，得f (x)= a + A X HF A Xn-1 + A Xn ,1,n+12, n+1n, n+1n+1, n+1其中，Xn-1的系数为A = ( 1)n+(n+1) D = D .n,n +1n n又根据范德蒙德行列式的结果知n1< j <i<nf (X )= (X - X )(X - X ) (X - X ) n(X - X ).12ni j由上式可求得 Xn-1 的系数为- (X + X X ) n (X - X ).12 ni j故有1< j<i<n + x + x)n C - x).12ni j1 < j < i < n