大学专业课程《线性代数》试题及答案

大学专业课程线性代数试题及答案(五)1填空题(1)设A为n阶奇异矩阵，则A 一定有特征值0 解：方法一：|A|二|A-0E二0二0是A的特征值；方法二：|A|二九九九二0二日九二0，即o是A的特征值.1 2 ni(2) n阶矩阵A的元素全为1，则A的特征值为n-1个0和n 厂111、1 11解：A=111丿1 X1 1n Xn X n X,c,11 X1.11 X 1方法：IA = 1 的特征向量为(A E)x = 0 的非零解，dimS= 3 R(A E)>31 = 2 ,AE El=+j11.1 Xh1 1 X1 1 11 1 1(n X)11 X1=(n X)0X 0=(n X)(X)1 -1 = 0111 X00X3九=0 ( n 一 1重)或九=n，即A的特征值为n 一 1个0和n；方法二：|A| = |A一0 = 0 n 0 是 A 的特征值，易知R(A)=1，dimS = n一R(A一0E)A=n -1 n 0是A的n -1重特征根，设A的另一特征值为x，由P122性质1(2)有 tr(A)= n = 0 + 0 +.+ xx = n， /. A 的特征值为 n 1 个 0 和 n.(3)已知3阶矩阵A满足A2 = A,R(A) = 2,则A的相特征值为0，1，1<解：设 Ax = X x，A2 = A n A2 x = Ax即 X 是 A 的 特征值， x 是 A 的 对应于 X 的 特征向量，X2 x = Xx n(X 2 x)x = 0 n X (X 1) x = 0.x 丰 0，.X(X-1)= 0 nX = 0, X = 1A2 = AnA(A E)= 0，由 P110 例 9 有：R(A)+ R(A E)< n = 3， R(A)= 2 nR(AE)< 3 2 = 1， X = 0 的特征向量为 Ax = 0 的非零解，dimS = 3 R(A)=1,Aak = 0,1,1.74 1、(4) A =4 x 1 ,已知A的特征值为2, 3, 3,则x为.-441)123解：由 P122 性质 1 有 A = 3x+12 =九九九=2x3x3 = 18ax = 2,1 2 3tr(A)=7 + x+1 =九+九+九=8 a x = 0，故此题有问题.1 1 112,6,4123(5)已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, 3,则(2A*)-1的特征值为 解: A 的特征值为 1, 2, 3,则行列式 | A =1x 2 x 3 = 6 ； Ga)=(2 "(a)' 2=丄A =乙), 由P123性质2的推广知：申(九)=-2九是申 (A) 的特征值，即(2A*)-1的JL厶JL厶1 1 1 特征值为12,6,4.(6)已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, -2，则I A + E I值为-6解：设®(A)= A+E，则矩阵申(A)对应的特征值为申(九)=九+1 = 2,3,1，则行列式 |A| = 2 x 3x(-1)=-6.7(7)已知矩阵x432 )4相似，则x为4丿相似，则A与B特征值相同，得|A| = |B|且tr(a)= tr(B),解： A =(4 23 4丿即= 7y -5x = B = 10, tr(A)= 7 + y = tr(B)= 4+4 = 8，得 x = |, y = 1.(8) A,B为n阶矩阵，AB有特征值2,则BA + 3E一定有特征值.解: AB有特征值2,则北丰0使ABg = 2g , Bgz 0 (否则A - 0 = 0 = 2g丰0 ,矛盾)， 两边左乘B 得: BABg= 2Bg ,2是BA的特征值，Bg是BA的2对应的特征向量，由申(九) 是申(A)的特征值知：2+3=5是BA + 3E的特征值.（9）已知A相似于B，且Am二A（m g N），则Bm = b解：A相似于B，则存在可逆阵P使B = PiAP , Bm = P-1AP-PiAPP-1AP=P-1 AmP = P-1 AP = B .r 0a1 (10) A 020可相似对角化，则a与b的关系为a bt42b0 J-九a1解：A九E02-九0(2 九)2 (2 九)一0 n九一2,2,242b九因为A相似于对角阵，所以必有3个线性无关的特征向量，其中九=-2对应于一个特征向 量，对应于九二2必有2个线性无关的特征向量，九二2的特征向量是（A-2E）x = 0的非 零解，dimS = 3R（A2E）= 2nR（A2E）=1，A-2Er2a1 r2a1、A2E00000 0t 42b-2 Jt02 (a + b ) 0 丿只有当a + b = 0时，R（A 2E）= 1,故a与b之间的关系是a + b = 0.2选择题（1）与可逆阵 A 必有相同特征值的矩阵是（ C ） .（A） A1 （B） A2 （C） AT （D） A*解：九是A的特征值n（X）是P（A）的特征值，故（A） （B） （D）均错误;（C）： |A 九E （A 九EX AT 九E，故A与AT有相同特征值，正确.（2）设A为2阶实矩阵，|A| < 0，则矩阵A （ A ）.（A）可对角化 （B）不可对角化（C）与反对称阵相似 （D）以上都不对解：方法a 一九bd 一九九2 (a + d )九 + ad be|A|ad 一 be < 0，A (a + d )2 - 4 (ad - be ) > 0 n A有两个不同的特征值，由P128推论2知A与对角阵相似，故（A）正确；方法二：凶毗< ZE < OP或尢2< 0 P n A有两个不同的特征值.（3）已知A是3阶方阵，乂九3是A的互不相等的特征值，对应特征向量分别为a1，a 2, a3，3=a1 +a 2 +a3，则向量组卩，A 卩，A2 卩（B）（D）以上都不对a)3（A）线性相关 （B）线性无关（C）可能线性相关，可能线性无关解：Aa =Xa ,i = 1,2,3,九,九,九 互不相同，卩=a +a +a =(ai i i1231231A卩=A(a +a +a )= Aa + Aa + Aa =Xa +九a +九a =(a1231231 12 23 31A2 卩=A2 (a +a +a123)=A 2a + A 2a + A 2a =九 2a + 九 2a + 九 2a1 12 23 3=(a1aa23仏2 ')22九2丿I 3丿B =(卩 A 卩 A2 卩)=(a1向量a,a2,a线性无关n|A住0, |A| =123、仝AA，由九,i丿九 L 0 n |bi j3>i > j >1X2X22X236 =|A|*|A|h 0 n 向量组卩,A卩,A2卩线性无关，故（B）正确.（4）设九,九是A的特征值，a ,a分别是九,九的特征向量，贝C ）1 2 1 2 1 2（A）九=九时，a ,a 一定成比例1 2 1 2（B）m 时，若九+九=九是特征值，则对应的特征向量是a +a1212312（C）九H九时，a +a不可能是特征向量1 2 1 2（D） = 0,有 a = 0解：（A）：九=九=九时，九是A的二重根，A对应于九的特征向量可能是二维的，即A 12对应于九可能有两个线性无关的特征向量，故（A）错误；（C）：九鼻九，设a +a是A对应于九的特征向量，即A（a +a ）=（a +a ），1 2 1 2 1 2 1 2Aa + Aa =Xa +九a n（X 一九）a +（X 一九）a = 0，九 h九，.a ,a 线性无关,1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 12九九=九九=0，则九=九=九与已知矛盾，故a +a不是A的特征向量，（C）正确.1 2 1 2 1 2(5)设A,B为n阶方阵，且A与B相似，贝9( D )(A) kE A = XE B(B) A与B有相同的特征值与特征向量(C) A与B都相似于同一对角阵(D)对任意常数t，有tE- A与tE-B相似解：A与B相似，则存在可逆阵P使B = P-1AP :(A) ： RE A| = kE-B|，但一般 XE A 工九E B，故(A)错误;(B) ： A与B有相同特征值，但一般特征向量不同，A的特征向量是(A XE)x = 0的 非零解，B的特征向量是(B XE)x = 0的非零解，故(B)错误；(C) ： A与B相似，但它们可能都不能相似于对角矩阵，故(C)错误；(D) ： B 二 P-1AP，P-1 (tEA)P = tP-1P P-1AP = tE B，故 tE A相似于 tE B，故(D)正确.(6)设A为n阶实对称矩阵，P是n阶可逆阵，已知n维列向量a是A的属于特征值X 的特征向量。则(P-1 AP)t属于特征值X的特征向量是(B )( A) P1a( B) PTa ( C) P a( D) (P1a解: Aa 二 Xa，(P-1 APP =XP，设0是(P-1 AP)的属于X的特征向量，当卩=PTa时，(P1 AP0 =Pt At (P1) Pt a 二 Pt A 6p-1a = Pt Aa 二 Pt Xa 二 X Pt a 二 X0 ,故(B)正确.(7) n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的(B )(A)充分必要条件(B)充分而非必要条件(C)必要而非充分条件(D)既非充分又非必要条件解: A有n个不同的特征值n A有n个线性无关的特征向量o A相似于对角阵，故(B) 正确.'0 0 1、(8) 设矩阵B = 010，A与B相似，则R(A + E)与R(A E)的和为(B )11 0 0 丿(A)2(B)3 (C)4 (D)5X 01解：|B Xe| = 01 X 0 =(X +1)2(X 1)2 = 0nX = 1， 1， 1，10XA仝B仝A n A仝A，则存在可逆阵阵P使P-1 AP = A =（-1 （1 (0 、1+1=2< 1 >< 1 ><2丿1，1丿221 1 2P-1（A+E ）P = P-1 AP + P-1P =（-1 （1 （-211-1=0< 1 >< 1 >< 0丿，22R（A-E）= R（P-1（A-E）P ）= 1,2 2 2 2 2 2同理 P-1（A-E）P = P-1 AP -P-1P2 2 2 2 2 2R（A + E）= R（P-1（A + E）P ）= 2 ,22R（A+E）+ R（A一E）= 2+1 = 3，故（B）正确.(9)设A为2阶方阵，a ,a是二维线性无关列向量，Aa = 0，Aa = 2a +a，则A1 2 1 2 1 2 的非零特征值为 ( B )( A) -1( B) 1 ( C) -2( D) 2解：Aa = 0 = 0，a，故0是A的特征值，Aa = 2a +a丰0 (否则a ,a线性相关，1 1 2 1 2 1 2矛盾)，A(Aa )= A(2a +a )= 2Aa + Aa = 0+Aa = 1-Aa，则是 A 的特征值,2 1 2 1 2 2 2Aa为A的属于1的特征向量，故(B)正确.2(10)如果3阶实对称阵A满足Ak = 0(k e N)，则R(A)为(C)( A) 2 ( B) 1 ( C) 0( D) 3解：设九是A的特征值，则九k是Ak的特征值，k e N，则九k二0 n九二0，即A只有特征值0，A是实对称矩阵，则存在正交阵P使P-1 AP = A = O n A = O n R(A)= 0 ,故(B)正确.3求下列矩阵的特征值及相对应的特征向量（-1 1 01（-2 1 1 1（ 5 -6 -6 1（2 1 1 11)-4 3 0；( 2)0 2 0；( 3 )-142；( 4)2 3 2< 1 02 丿厂413丿< 3-6-4<3 3 4>解：(1) A 的特征多项式为：故A的特征值为：九=2 ；九=九=1123'-3 1 0r0 1 0r0 0 0r1 0 0当 X = 2 时，A 2 E 14 1 0r + 3 r130 1 0r1r20 1 0:分丫30 1 01j 100 丿r + 4 r23j 100 丿j 100 丿,0 0 0?r210r012r101当 X X 1 时，A E 23420r 2r21000rr13012,101Jr + 2r13,101Jr a r23j 000丿故对应于九=2的特征向量为k 0 （k丰0）；1 1 1U丿-1-九1|A 九 E 43 九10002 九-（2-九）1九41=（2-九）（九一 1）23 人（0 得基础解系为011丿r 0 （k2主0）r 1 得基础解系为2 ，故对应于九2<17r 1 =九=1的特征向量为k A的特征多项式为:321丿2-九A X E 0412X1103X-（2-X）4=（2 X）2（X +1）故A的特征值为：X = 1 ； X = X = 2r 1 得基础解系为oj 1丿r 1 123r111r111r111r 101 当 X = 1 时，A + E 1030r3-4r1030r3+r20300101j-414 Jj 030Jj 000Jj 000 Jr411r4111r11一 41 一 4当 X = X = 2 时， A 2 E =0003 1000r4100023j-411Jj 000J000故对应于x =1的特征向量为k 0伙丰0）；1 1 1j 1丿丿(110 1得基础解系为49110丿1 1丿全为 0).(3) A的特征多项式为:,故对应于X =X = 2的特征向量为k223(1 (0 4+k1< 0丿3丿k , k 不25-X665 X065 X06|A X E = 14X2c c12X2=(2 X ) 112364 X3X24 X314 X5 九(2-九)0c32c2011602 X(2九匕(九1)= 1 ；X = X = 223厂4661062110311r 0311132r + 4 r12132丄r21132101< 365丿r +3 r32,031丿r r31,000丿< 000丿2故对应于九1的特征向量为k 1丫 3 当 X = 1 时， A E =1故A的特征值为：X1(3 得基础解系为-1 ,I 3丿伙1主0)；厂3661厂36-61 1(12212时， A 2E =122r3 r1122r + r2 3 1000,366丿,000丿17 r31< 000丿11丫 2 丫 2 13丿当 X = X =232121得基础解系为19010丿11丿全为 0) .(4) A的特征多项式为:故对应于 X2=X3-2的特征向量为k 1 +k 0k , k 不232 X112 X012 X0123X2c c21X2=(1 X )212334 X3X14 X314 X|a九 E =2 九(1-九)0c32c2011106X=(1 X)2(7 九)故A的特征值为：X1 = 7 ;=X3511r511r 121242r3 + 厶 + r2242032,33-3丿,000丿,000丿得基础解系为2，故对应于九=7的特征向量为k 2 (k丰0)；(1 当 X = 7 时，A 7 E =1得基础解系为1I 0丿不全为 0).r1r1r10，故对应于x =x =2的特征向量为k2321+k30,1丿JJ厶,0丿J,1丿4证明：如果方阵A满足A2 = A，则A的特征值等于0或1.k , k23r111r111222r22r1000,333丿r 3 r31,000丿11当X =X = 1 时，A E =23证明：方法一：A2 = A n A2 A = 0 n A (AE )= 0，两边取行列式得:|A(A一E) = |A|A一E = 0 n |A一0E = 0或 |A一E = 0，即 X = 0 或 X = 1 是 A 的特征值; 方法二：设 Ax = Xx，则 A2 = A n A2x = Ax n X2x = Xx n62 X)x = 0，x 主 0，九2九=九(九一1)=0，X = 0, X=1.5证明：如果X是可逆阵A的特征值，则?为A*的特征值.X证明：A*=|A卜A-1，由已知九是可逆矩阵A的特征值，则九H 0，Ax = x，x主0,两边左乘|A|A-1 得: |A| A-1 Ax = XA*x，.凶x = A*x，.凶 是A*的特征值.XX6在第3题的 4个矩阵中，哪些可以相似对角化？哪些则不能相似对角化？解：A能否相似对角化关键是A的二重根是否对应两个线性无关的特征向量，由第3题解 答知：除第一个矩阵外，其余三个矩阵均能相似对角化.(1,07 证明：矩阵A =(1 1,0 J与二阶单位矩阵E=证明：A的特征多项式为：|A XE =1-九011-九有相同的特征值，但不相似.=(1X)2 = 0故A与E有相同特征值，均为九=1 (2重)，E是对角阵，A要相似于E o A有两个 线性无关的特征向量.方法一：(0 )，得基础解系11丿，故对应于九=1的特征向量为k；(k丰0),1U丿1即A只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化.方法二：dimS = 2 R(A E) = 21 =1，故对应于九=1的特征向量只有一维，故AA-E不能相似于对角阵.8设A，B都是n阶方阵，且|A|主0，证明AB与BA相似.10当(5 九)2 x 九4204=(5 九)九 2 +(3 x)九一3 x 83 九1)r 124、r500 )设方阵 A =2x2与对角阵A =0y0相似，求 x<-421 >1004丿证明： IAI 工0， A-1 存在，又 BA = A-1 (AB)A, BA与 AB 相似.9y.解：方法一： A 的特征多项式为：1-九245-九0九-5101|A 九 e = 2x 一九22x 一九2=(5 X) 2x 一九2421九421九421九由题知：九=5，九=4，九=y ；代入(1)式得：1239 16 4 (3 x) 3 x 8 = 0兀=4(5 y ) y 2 +(3 x) y 3x 8 = 0 y = 5方法二： A与人相似，二A与人特征值相同，J人的特征值为5，y，-4,424/. |5E A| = 2 5 x 2 = 0，4245|4 E A| = 24244 x 2 当25 尸2+2 尸3501244 x 0 = 9 (4 x )= 041二 x = 4 ； 又tr(A) = 1 + 4 +1 = 5 + y 4， y = 5 .10.设 A =求 A 101.解： A 的特征多项式为：-九30|a九 E =01尢322332323九九=九3 +九=0故A的特征值为：片=0 =-1 ,全不相等，故可相似对角化；(102、102-33-33012r3+2r10123333220024< 33丿33丿(10<0(2 当九广0时，A =3-220丿故对应于九=0的特征向量为-2 ;当九=1时,2厂42、44 00-333_3022r1+2r3022_33_33222211< 33丿< 33丿11丿A E =厂20<0-110丿(1 故对应于九=1的特征向量为2212丿当九=-1时，A + E = 0321342r3 23003丿0丿故对应于导1的特征向量为-1(21-2、(000、(21-2、-22-1010-22-1< 122丿< 00-1丿< 122丿:.A 二 pap-1 二(221、-19-99122,其中 P-1 =999Aioi = PAP-1 - PAP-1 PAP-1 = PA ioiP-1(21-2、(000、-22-1010,122丿< 00-1丿2919292, ,929191 92929 J(012 021.02-2丿11.设矩阵A =19厂21、一2-22-12、20丿-1B03，其行列式|A| = -1,又A的伴随矩阵A*有一个特征值九,A丿属于九的特征向量为a =(-1 -1 1片，求A,B, C和九的值.解：A* = |A| - A-1, |A = |A|n-1 =(1-1 主 0，故 A* 可逆，则九乂 0,AA*a =九Aa n |A| Ea =九Aa n -a =九Aa n Aa = -1 a，则(a1c、(-15b31b一c0一 a丿I 1 J(11Xa + c =一 1rX1Xn71Cb = 7- + 2<X11 .c a = 7- +1IXJa = cb = -3c=c-1-1cccx=1-1IA=33c + 53c + 33c + 5 3c + 31ccX = 1, a = 2, b = 3, c = 2.12试用一个正交相似变换矩阵，将下列实对称矩阵化为对角阵.(1 2 3( 1 30 (1 2 21）2 1 3；（ 2）3 2 1；（3）2 1 2:3 3 6J<0 -1 1 丿2 2 1 二厶丄丿(222(2204）254； （5 ）212I-245J< 020J解：（1） A 的特征多项式为：1 X2|ax e =21X3333=X(1 X)(9 X)= 0(1(111,0丿，标准化为耳1 =1,0丿6 X(2 2 3(2 2 3(1 1 0 A+E=2 2 3r2r10 0 00 0 13 3 7 Ln/丿3 3 7,0 0 0丿故A的特征值为：X=T ,九=0 ,九=9 ；123当九1=-1时,(123(123(123 (101 当 X = 0 时， A=2213r22r1033011011,336丿r 3 r31,033丿,000丿,000丿故对应于=-1的特征向量为g 1f-1故对应于于2 = 0的特征向量为为2二-1厂-823、当九=9 时，A - 9E = 2-833* 33-3 丿r3、3、1-41-422-8230-301511-1055*丿*2丿，标准化为耳21丿-400000，标准化为n32丿*2丿r 11<31)故正交阵 P 111忑<3760*123T6丿故对应于九孑=9的特征向量为3(2) A的特征多项式为:1-九|A X e 3030-2 X-1 （1-九）（一4 - X）（3 - X） 0-11 -X故A的特征值为：X1 -4，X 2 = 1，X3 = 3；r530、当 X -4 时，A + 4 E 32-10-1 5 丿r530、r 530、r 103、01-101-501-55000000*0-15丿*丿*丿标准化为n 1故对应于X1-4的特征向量为匚1- 511厂03当九=1 时，A - E = 3 32I0 -1(1)101)1-10 )33-10100100 J000000丿丿故对应于九2 =1的特征向量为(1 ，标准化为H Jr 1 00<丿2 価<3丿213厂一230、当九=3 时，A - 3E 二 3-5 -13I 0 j -2 丿(13032120r 103、10-1012012一 2000.0000-1-2丿丿丿-4100 -2 1 0 100000故对应于=3的特征向量为为3丿丿r-3 1，标准化为H r-3、-2-2V 1丿3 加V 1 >故正交阵P =-21而丿（3） A的特征多项式为：1-九2|A-九 E 21-九22故A的特征值为：九=九=1,九=5；1231<1003而( 2 2 2)(1 1 1)1 时，A + E =2 2 20 0 0J2 2 2；J0 00)当九二九12故对应于九1巳一1的特征向量为勺(1)(1)1，7 二21<0丿<0丿，正交化为n 1(1)1< 0丿(1)1(1)1(1)0112一 211J< 0丿<-2丿5 ,耳)1(1)(1)11< 0丿，P2飞1<-2丿1标准化可得广占故对应于九二5的特征向量为3(1)1(1)1，标准化为P - -J=1丄3寸3丄故正交阵P =(111?61762<61 1忑1忑丿(422 )(112 )(112、(101)242121033011< 22-4丿<-211丿103-3丿1000丿当九=5时，A 5 E =故A的特征值为：九广导】，4) A 的特征多项式为：2-九2225-九4245 九-(九-1)2 (九-10 )= 0|A 九 E|(122)(122、AE-244000<-244 J<000丿=10 ；九3当九 1二九2二1时,r 2 -4r-2 1r 2 014< 1丿-丁<0丿=5< 5丿r-8 2 -2r 0 -9 -9、r 2 -5 -4 r 2 0 1 2-5 -42 -5 -40 1 10 1 1严-4 -5,0 -9 -9 ?,0 0 0 丿,0 00丿3、呂A -10 E =15丿p2r 223J5-1 -3故正父阵 P =142-302,33丿故对应于九孑（5） A的特征多项式为：故对应于九巳r-2 r 2 r-2 1，=20，正父化为U =110丿11丿10丿二1的特征向量为1 =标准化可得p1r-1r-1-21，标准化为P =才33-2,2丿,2丿二10的特征向量为勺=2 -九-2A 九 E| = -21 九0-2 =（九 + 2 ）（1九）（九4 ）= 0-九0-2故A的特征值为：九=-2，九=1，九=4；123r 4 -20 r 04-4 r2-32 当九=-2时，A + 2 E =1-23-2-23-201-11,0 -22丿l0-22丿l000 Jr1 =1r1故对应于九- 2的特征向量为2 -2，标准化为n211l2丿13l2,/-2 °、'1 -2 °、厂 1-2°、1 ° 1、A - E =-2° -2° -4 -2° 2 1° 2 1,°-2-1 < ° 一2 -1 丿j°°° ?,°° ° ?当导1时,13-设3阶方阵A的特征值为叫=-1七=°，九3二1，对应的特征向量依次为厂2、(2、(1 、1,P =-2,P =223<-2丿< 1丿J 2丿求 A .解：记P=(ppp)，A = diag (九,九，九)，则 P-1AP = A，所以123123(221、( -1 、( 2 21、-1( -2 °1、(221、-1A 二 PAP-1 二1-22°1-22二-1 °21-2212丿< 1 >j-212丿1 2 °2丿j-212丿(221、-1_ 1(21-2、1-222-21-9212丿、122丿J丿J7(-2°1、121-2、_ 1(-1°2、A =-1°22-21°129_ 3,2°2丿J122丿,22°丿故对应于导1的特征向量为2(2、1厂2、1，标准化为n 2 = 31<-2丿<-2丿2 -2°、厂 11°、'1 1 °、厂 1°-2、A - 4 E =-2 -3 -2°-1-2° 1 2° 1 2,°-2 -4 丿< ° -2 -4 丿< ° ° ° 丿.° ° ° 丿当二4时,(、21二4的特征向量为为3 =厂2、-2，标准化为n3-2故正交阵P=(13232< 32313-2T3-214设3阶实对称阵A的特征值为1, 1, -1,且对应于特征值1的特征向量为p1解：方法P-1AP 二 Aijkr-1、111 =1221i0丿2、112p = p x p3-1、p2p3)=P-1 =V 2 -1、(1、1 2 11A 10丿、 一1丿A = PAP-1 =0、T 为正交阵1n = p =1，t =11111忑1方法二：T-1 AT = A(2、=P2，耳(n ,n)l-2丿=n xijk1、1r-1、111 = 31，t3 P1221i 0丿i0丿1211丿(3n )=2l-2丿11丿-1一<2丄<20 丄V6丄V6-2一V6 13丄V313a =)t3t2(t1=A = T AT -1 = T AT'=15.设3阶实对称阵A的特征值为6,3，3，且对应于特征值 6 的特征向量为p1=解：由定理知P2, P3与P1正交,设匕，p3 = (x yz )t，则 x + y + z = 0，(-1(-11，0、0 ,、1丿解得基础解系为23(-1(-11， p =0、0丿3、1丿，所以可取p2 =(1-1-14(111110，P-1 = 3-12-1A01 ,-1-12丿1 P = (pp p ) =123， AP = PB)60 0 0 60 0 0 Ax A2x)1 03= PB , .B =1 03< 01-2 >< 01-2 >（2） A二PBP-1，则A与B相似，B的特征多项式为九0B-X E = 1九0 103 =X(X + 3)(X 1)= 0-2 X故A与B有相同特征值为X = 0, 3,1,则A+E的特征值为X = 1,2,2 ,A + E = 4.17.设3阶实对称矩阵A的各行元素之和为3,向量Q = （1 2 1）t ,Q =（0 1 1）t12 是线性方程组 Ax =0的解.（1）求A的特征值与特征向量；解：（1） A的各行元素之和为3,616361则A1=3=31,Aa = 0-a11丄< 3丿丄Aa = 0a，故22（2）求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QtAQ = A.A的全部特征值为X = 3,X =X = 0 ,123对应于X = 3的全部特征向量为k 1 （k丰0）,1 1 1U丿对应于X2 =X3 = 0的全部特征向量为k2再单位化得：2 丿 +k丿361( 6061612（a，耳丿3210,耳 a(耳22 m，"丿 116=2J-1丿11J 1丿J-1丿J 1丿I 1丿(k , k不全为0)；23对匕,出正交化:q=a1q21(-12q31610(111、忑爲忑(Iq3)3点务0，QTAQ_A_0、 0丿1 2 1 丿-J6V2丿Q (q q1218某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 1/ 6熟练工支 援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有2/5成为熟练工。设第n年一月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为x和 n( 、记成向量xnI y丿n1)(x )n+1(4 (-1(2)验证耳11丿,n 11丿12yn+1 丿3)当1时，求I y1xn+1解：1)由题设得$2 y _- n+1|(2) A的特征多项式为：xxn+1=AnI yn+1 丿(y丿n的关系式并写成矩阵形式：是 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；n +1yn+1 丿5_ x + 6n(yI n(1 ) y + xV n 61 )+ x 6 n丿92 x + y5 n10 nn丿13x + yn 5 n10，即(xn+1I yn+1 丿(9101102、535丿厂x、nI y丿n|A 九 E 故A的特征值为：九1 _ 2，29z10111；I-入_(2 九一1)(九一1) _ 0 2当九-时，A - E 1 2 210丿故对应于九1 _ 2的特征向量为勺当九二1时，A-E =2101105丿故对应