数列求通项公式的五种重要方法

求通项公式的 5种重要方法一、Sn法，根据等差数列、等比数列的定义求通项an=Sn-Sn-1 例1已知数列a 的前n项为S , S = 1(a - 1)(n g N*)nn n 3 n(1求 a , a ;12求证:数列a 是等比数列.n二、累加、累乘法1、累加法适用于：a = a + f (n)n+1na - a 二 f (1)21 a - a = f (2)若 a a = f (n) (n > 2)，贝y32n+1na - a 二 f (n)n +1n两边分别相加得an+1 - a1f (n)k =1例2 已知数列a 满足a = a + 2n +1, a = 1，求数列a 的通项公式。nn+1n1n例3ai = 3 '求数列叮的通项公式。已知数列a 满足a = a + 2x 3n +1,nn +1n2、累乘法 适用于： a = f (n)an+1n若 n+1 = f (n)'则= f (1)_3 = f(2)， aaan12两边分别相乘得，匚 =a 打f(k)a11k =1例4已知数列a 满足a二2(n + l)5n x a , a二3，求数列a 的通项公式。nn+1n 1n例5已知"广1, "n = n(an+1 - J) ("，求数列n通项公式.例6已知数列a 满足a = 1, a = a + 2a + 3a + + (- 1)a (n > 2)，求a 的通项公式。n1n 123n-1n三、待定系数法 适用于a = qa + f (n)n+1n分析：通过凑配可转化为a +九f (n) = X a +九f (n)；n +112 n 1解题基本步骤：1、确定 f (n)2、设等比数列a +九f (n)，公比为九n 123、列出关系式a +九f (n) = X a +九f (n)n +112 n 14、比较系数求九，九125、解得数列a +九f (n)的通项公式n16、解得数列a 的通项公式n求数列a 的通项公式。n例7已知数列a 中，a 二 1,a 二 2a + 1(n > 2),n1nn-1例8已知数列a 满足a= 2a + 3 x 5,nn+1n丁 6，求数列an 的通项公式。例9已知数列a 满足a = 2a + 4 - 3nt,nn +1n丁 1，求数列吵的通项公式。四、变性转化法1、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项2a例10已知数列a 满足a =匸,a = 1，求数列a 的通项公式。nn+1 a + 2 1nn2、换元法 适用于含根式的递推关系例11已知数列a 满足a =丄(1+ 4a + J1 + 24a ), a = 1，求数列a 的通项公式。 nn+1 16n 宀n1n解：令b =J1 + 24a，则 a =丄(b2 -1)nnn 24 n故 a =(b2 -1)，代入 a =(1+ 4a + J1 + 24a )得n+1 24 n+1n+1 16nn丄(b2 - 1) = 11+ 41(b2 - 1) + b 24 n+11624 nn即 4b 2 = (b + 3)2n +1n因为 b =、；1 + 24a > 0，故 b 二丫'1 + 24a > 0n 吋nn+1*n+113则2b = b + 3，即b= b + ，n+1nn+1 2 n 2可化为 b 一 3 =(b 一 3)，n+12 n所以b -3是以b1 -3 = J1 + 24y -3 = J1 + 24x1 -3 = 2为首项，以丄为公比的等比数列，因此 " 1 12b - 3 = 2()n-1 = (；)n-2，则 b = ()n-2 + 3，即丄'1 + 24a = ()n-2 + 3，得n22n 2n 2（4）n+1n +练习：则这个数列（ ）1、若数列a 的前n项和为S 二n 2,nnA.是等差数列，且a = 2n -1nB.不是等差数列，但a = 2n -1nC.是等差数列，且a =-2n +1nD.不是等差数列，但a =-2n +12、数列a 的前n项和为S = 2annnA.等比数列则a 是（）nB.等差数列C.从第2项起是等比数列D.从第2项起是等差数列3、数列a 中,n2aa 二nn+1a + 2n,(n e N)，则 a5 二4、2A.5已知数列a 中,A. 3 - 2n-15、在数列a 中,nA. 4n 一 36、1B.-3C.1D.2a1 二一3 且 a 二 2an 一1则此数列的通项公式为（ ）B.C.2n 一 5D. - 2n - 1a1a >0,nB. 2n - 1在等比数列a 中，若a > 0,A. 2 n-2B. 2 8-na 2 = a 2 + 4，则 an+1nc. p4n - 3a a = 64 , a + a1 946C. 2n-2 或 28-nD.<2n -1=20，则 a =nD. 22-n 或2 n-2数列 a 中，a = 2 , a = an1nn -1+ 2n , （n > 1）,求其通项公式a .n求a ,n8、设数列（a 为等差数列，数列 为等比数列， a = b = 1 , a + a = b , b b = an n 1 1 2 4 3 2 4 3 b 的通项公式.n参考答案CABDCC7、解：. a - a = 2n ,nn-1a a= 2(n 1) ， a an 1n 221= 4 ， （叠加）113na =n 8.an a =12n +2(n -1)+4，于是：an= n(n +1)。解：. b =a + a = 2a = 2b b= 2b 2，. b =1-，q =3243 2 43322. b = 1，.b=n-1或 b =n-1。1n【2 Jn【2 JO ,8、又.* a = b 2 =，.: d =(a a )=，又a = 1,3 3 4 2 3 1 8 1