麦克斯韦速率分布律的推导与验证

麦克斯韦速度分布律的推导与实验验证摘要：本文对麦克斯韦速度分布律的内容及其历史来历做了简略概述，重点是用初等方法推导了麦克斯韦速度分布律，同时简单地描述了一下它的实验验证。关键词：速度分布函数，实验验证。内容1、麦克斯韦速度分布律的内容当气体处于平衡态时，气体分子的速度在vv + dv间隔内，及分子速度分量在 v - v + dv ， v v + dv ， v - v + dv间隔内的分子数dN(v)占总分子数Nxxxyyyzzz的比率为：dN(v), m V"" "P =(帀)2 2-m(VX + 2 WkTdvx叭忙其中"为分子的质量，T为气体温度，艮为波尔兹曼常数，2叭+v2+v2)=2mv2 为气体分子平动能。WO表示速度矢量的端点在速度体元dT内的分子数占总N分子数的比率，换言之，一个分子取得vv + dv间隔内速度的几率。2、分子速度分布函数dN(v) / m 、3f (v)二=()2em(vX+v2+v?)z2kTNdv dv dv2兀 kTx y zf(v)的物理意义是：分子速度在v附近，单位时间间隔内的分子数占总分子数的比率。3、速度分量分布函数(v)x(v)y(v)zdN(v )/ m 、i=x = () 2 2 _ mv2 / 2 kTNdv2 兀 kTxxdN(v )/ m 、i二=()2 e _mv2/2 kTNdv2 兀 kTydN(v )/ m 、丄=b ()2 2_mv2/2kTNdv2 兀 kTzz3、麦克斯韦速率分布律将以v , v , v为轴的笛氏坐标进行坐标变换，变为球坐标x y z v ,v ,v Tv,0，申x y zdv dv dv Tv2 sin0 d0 ddvx y z分子速度在vv + dv，00 + d0,申申+ d申内的分子数占总分子数的比率dN(v)Nm=(2兀kT3)2 e_mv2 /2kT V2sin 0 d0 d 申 dv对0 ,申积分，得分子的速度在vv + dv内分子数占总分子数的比率为dN(v)m 3=4兀()2 e-mv2/2kTV2dvN2 兀 kT4、分子速率分布函数f (v) =dN(V) = 4 兀(且)2 e - mv2/2 kTV 2Ndv2 兀 kT物理意义:分子速率在v附近，单位速率间隔内的几率。二. 历史1859年4月，麦克斯韦偶然的读到克劳修斯关于平均自由路程的那篇论文， 很受鼓舞，重燃了他原来在土星卫环问题上运用概率理论的信念，认为可以 用所掌握的概率理论对动理论进行更全面的论证。1859年麦克斯韦写了气体动力理论的说明一文。接着他用概率方法找出 粒子速度在某一限值内的粒子的平均数，即速率分布律。麦克斯韦的这一推导受到了克劳修斯的批评，也引起了其他物理学家的怀 疑。这是因为他在推导中把速度分解为x, y和z三个分量，并假设他们相 互独立的分布。直到1866年，麦克斯韦对气体分子运动理论做了进一步的研究以后，他写 了气体的动力理论的长篇论文，讨论气体的输运过程。其中有一段是关 于速度分布律的严格推导，这一推导不再有“速度三个分量的分布相互独立” 的假设，也得出了上述速度分布律。它不依赖于任何假设，因而结论是普遍 的。三. 麦克斯韦速度分布律的推导设容器内有一定量的气体处于平衡态，气体总分子数为N，分子速度在x, y，z三个方向上的分量为v ,v ,v。处于平衡态的气体分子速度分布应该是各向x y z同性的，在速度区间vv + dv ， v v + dv ， v - v + dv内的分子数xxxyyyzzzdN显然与总分子数N和速度间隔体元dv dv dv成正比x y z即 dN = NF(U 2)dv dv dv( U2 = v2 + v2 + v2)(1)x y zx y z这里比例系数F (U 2) =dNNdv dv dvx y z为速度分布函数由于速度分布函数的各向同性，速度的任一分量的分布于其它量无关, 设F(U2)= f (v ) + f (v ) + f (v )Xyz(2 )故可(3)对上式两边取对数的InF(U2) = Inf (v ) + Inf (v ) + Inf (v )上式分别对求偏导先对vXdFF(U2) dU2dU =1dvf(v )xxdf(v )dv且竺=2vdvx整理后可得同理有1dF =11df(v )F (U 2)dU 22vf(v )dvxXX1dF =11df(v )F (U 2)dU 22vf(v )Jdvyyy1dF 11-df(v )F (U 2)dU 2” 2vf(v )zdvxzzz以上三式左边相同，故右边也相等可令 11 df(v)112v f(v ) dv2v f(v )xxxyydf(v )dvy2v f(v )zzdf(v ) Xdvz对上式积分得f（v）=AeXvx f（v）=AeXvy f（v）=AeXv2yz将其带入（3）式有F(U2 )=A3e(vX +v2 +v2)(5)考虑到具有无限大速率的分子出现的几率极小，故九应为负值有归一条件有:JJJ F(U2)dv dv dv = A J e -讥 dvX y z-gxg+pea2v2 dv Jygea2vf dv = 1z+g仃由积分公式J e-a2x2dx = 可知z上式 A3（±l）3 二 1a得A=a于是aF(U2)=()3 e- * " "x +Vy +"z)兀3在利用分子平均动能等于3 kT2mU 2 = 3 kT2 2口3kTm3kTJJJ (U2)F(U2)dv dv dv =x y z m(7)JJJ(V 2 + v 2 + v 2z3e-a2(v2+vy+v2)dv dv dvx y zv2e-a(vX+v；+vZ)+ v2e-a(v2+vy+v2)+ v2e-a(v2+vy+vZ)dv dv dvxyzx y z仅取上积分式中一项 JJJ v2e-a(v2+v2+vZ)dv dv dvxx y zJJJv2e-av：e-avye-av；dv dv dvx' x y z=J v2e-av：dv Je-avydv Je-av；dv yz由积分公式J2 a 3J e - a2 x2 dx =a可得原式=1"兀兀°2 a3 a22 a5JJJ v 2 e -a2( v2+v2+v2)dvy.JJJ v 2 e - a2(v2+v2+v2)dv =z3兀2z 2 a53代入（7）式有（旦）3 （3x-匕）二型 兀2 a5 ma 二m2kT代入（6）式有dNN可得:m2兀kT3)2e - mv2/2 kTv 2 dvf (u)=NdVm 、3)2 e-mv2 /2kTv22兀kTF (U 2)=(m 、3 )2 e 2兀kT通常说的速率分函数，f (u)指的是不论速度方向如何，只考虑速度的大小点的 分布，在这种情况下，自然应该用球坐标系表示速度区间球坐标空间r、0> 屮dV=r1 2 sin0d0ddr球速度空间v、0、屮 dT =v2 sin0d0ddvv、v、v TV、0、9x y zdv dv dv Tv2 sin0d0d9dvx y z(爲)2 e-mv2/2 kTv 2sin 0 d0 如dv实验验证在麦克斯韦从理论推导速度分布律后的近半个世纪，由于当时的技术条件， 主要是高真空技术和测量技术的限制，要从实验上来验证麦克斯韦速度分布律是 非常困难的，直到1920年，英国物理学家斯特恩才做了第一次的尝试。虽然实 验技术曾经有许多物理工作者做了进一步的改进，但直到1955年才由哥伦比亚 大学的密勒和库士提出了这个定律的高精确的实验证明。1、实验装置简介实验装置接抽气泵(3) 、D是根据电离计原理制成的检测器，用来接收原子射线，并测定其强 度(4) 、整个装置都放在抽成真空的容器内2、实验原理实验时，圆柱体R以一定的角速度转动，由于不同的速率的分子通过 细槽所需的时间不同，各种速率的分子射入入口狭缝后，只有速率严格限定 的分子才能通过这些细槽，而不和细槽壁碰撞。分子沿细槽前进所需的时间为t = ，从而有v =-v 申只有速率满足上述关系的分子才能通过细槽，其它速率的分子将沉积在细槽 的内壁上。因此旋转主体起到了速率选择器的作用，改变角速度3,就可以 使不同的分子通过。3、实验过程与结果改变圆柱体转动的角速度3，依次测定相应分子射线的强度，就可以确 定分子射线的速率分布情况。试验表明，射线强度确为速率v的函数，强度大，表明分布在该速率区 间内的分子数所占的比率较大，反之亦然。实验还表明，在相同条件下，各相等速率区间内的分子数比率不同，多 次实验得到同一速率区间内的分子数比率大致相同。这就说明分子速率确实 存在一个恒定的分布律。1955年密勒与库士测定了从加热炉内发射出来的铊原子速率分布，实验 温度为1400K,并由实验数据会出了铊原子速率分布的试验曲线(见下图)。(1) 、f (v)值两头小，中间大，f (v)有一极大值(2) 、可认为大量原子(或分子)的速率是连续分布的，当Av取得很小时，则有 dN = f (v)dvNf (v)这一函数，麦克斯韦首先从理论上找到了密勒与库士于1955年在实验上比较精确的证明了麦克斯韦速度分布律。 总结：应用麦克斯韦速率分布律可以求与速度有关的函数的各种平均值；可以计算速率在vv + dv内的分子数dN ；可以计算速率在有限间隔v - v内的分子数AN1 2或者百分数AN/N；也可以推导理想气体的压强公式、温度公式、状态方程及几 个实验定律；还可以推导能量均分定理。麦克斯韦速度分布律对于研究气体无规则热运动有重要意义，找到了微观量 求统计平均值的途径，为气体分子运动论奠定了基础。参考文献：(1) 、张兰知著，热学，哈尔滨工业大学出版社，1998、11(2) 、言经柳，麦克斯韦速率分布律的推导，南宁师范高等专科学校校报，1999年第2期(3) 、吴瑞贤 章立源著，热学研究，四川大学出版社，1987、4