微积分学的实际应用

T0 x xo xy )(xfy C NM的斜率为割线MN 00tan xx yy ,)()( 0 0 xx xfxf 的斜率为切线MT 0 0 00( ) ( )lim ( ),x x f x f xk f xx x 曲线的切线问题 1.自由落体运动的瞬时速度问题0t tttsv 平均速度00tt ss ).(2 0 ttg ,0时当tt 取极限得瞬时速度 0 0 0 00lim lim limt t t t ts s sv v t t t 2. 交 流 电 路 :电量对时间的导数为电流强度.lim)( 0 dtdqtqti t 3. 非 均 匀 的 物 体 :质量对长度(面积,体积)的导数为物体 的线(面,体)密度. ?,05.0 ,10问面积增大了多少厘米半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径解 ,2rA 设.05.0,10厘米厘米 rr rrdAA 2 05.0102 ).( 2厘米 00 xxxx dyy .)( 0 xxf 1 边际函数的应用定义1 ：如果函数f(x)在区间I可导，则称导函数f(x)为f(x)的边际函数。在经济应用上相应地有边际收益，边际利润，边际成本等。由导数的定义知，f(x)是f(x0)在x点的变化率。即当x=x0时，x改变一个单位，y改变了f(x0)个单位。如边际成本C(x 0)表示生产x0个单位产品时，再生产一个单位产品，成本增加C(x0)。 这表明当生产第901台时所花费的成本为1.5元。同时也说明边际成本与平均成本有区别。 2 极值在经济中的应用利用微积分理论中求极值的必要条件和充分条件，可以解决求最小成本，最大利润等经济问题。某厂每天生产某商品x单位的总成本函数为C(x)=0.5x2+36x+9800（元），那么每天生产多少个单位的产品时平均成本最低？平均成本: C(x)=0.5x+36+9800/xC(x)=0.5-9800/x 2 令C(x)=0，x=140又C(140)=1/1400，最小平均成本存在，因此当生产140个单位时平均成本最低。 设某生物种群在其适应的环境下生存，试讨论该生物种群的数量变化情况。 ( ) ( ) ( )N t t N t N t t 文字方程改写为符号方程在t时段种群数量的净增加量=在t+t时刻的种群数量在t时刻的种群数量。 00( ) ( )( )dN t N tdtN N Malthus模型0( ) tN t N e 易 拉 罐 问 题 :分 析 和 假 设 ：首 先 把 饮 料 罐 近 似 看 成 一 个 直 圆 柱 体 . 要 求 饮 料 罐 内 体 积 一 定 时 , 求 能 使 易 拉 罐 制 作 所 用 的 材 料 最省 的 顶 盖 的 直 径 和 从 顶 盖 到 底 部 的 高 之 比 . 实 际 上 , 用 几 何 语 言 来 表 述 就 是 : 体 积 给 定 的 直 圆 柱 体 , 其 表 面 积 最 小 的 尺 寸 (半 径 和 高 )为多 少 ? 表 面 积 用 S 表 示 , 体 积 用 V 表 示 , 则 有2 2 22 2( , ) 2 2 , / . S r h r h r r r rhV r h h V r 0, 0min ( , ) r h S r h 2( , ) 0 g r h V r h于 是 我 们 可 以 建 立 以 下 的 数 学 模 型 ：其 中 S 是 目 标 函 数 ,是 约 束 条 件(V 已知, 即罐内体积一定),. 即 要 在 体 积 一 定 的 条 件 下 , 求 罐 的 体 积 最 小 的 r, h. 2 22( ) 2 2 V VS r r r rr r 3 302 220 ( ) 2 (2 ) (2 ) 2 V V VS r r r rr r 2 2 33 3 3 0 02 2 2 20 4 4 8 22 V V V Vh r dr V V 2/ h V r ( , )S r h把 代 入 , 得 到求 驻 点 (临 界 点 ,critical point) , 30 2 Vr 230 0( ) 6 62 VS r r知 道是 一 个 局 部 极 小 值 点 . 实 际 上 ,它 也 是 全 局 最 小 值 点 , 因 为 临 界 点 是 唯 一 的 . 最 小 面 积 为 0 0 032( ) 2 (2 ) 0 0 r rVS r rr 又 由 于 几何：平面图形的面积； 体积； 平面曲线的弧长；物理：功； 水压力； 引力和平均值等 在已知边际函数情况下，利用定积分求总量函数在某区间的总量。