微积分学PPt标准课件15-第15讲导数概念

高等院校非数学类本科数学课程 脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民 第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求： 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。 熟悉一阶微分形式不变性。 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。 第 一 节 导 数 的 概 念一 .导 数 产 生 的 背 景二 .导 数 的 概 念三 .导 数 存 在 的 必 要 条 件四 . 函 数 的 增 量 与 导 数 的 关 系 一 .导 数 产 生 的 背 景 1. 物 理 背 景 2. 几 何 背 景 1.物 理 背 景在 真 空 中 , 当 时 间 由 t 变 到 t+t 时 , 自 由非 匀 速 运 动 物 体 的 速 度 问 题落 体 所 经 过 的 路 程 为 22 21)(21)()( gtttgtSttS )2(21 2tttg 例1物 体 由 t 到 t + t 一 段 的 平 均 速 度 是ttt tSttStV )( )()()( t tttg )2(21 2tggt 21 求 物 体 在 时 刻 t 的 瞬 时 速 度 vt , 就 是t tSttStVV ttt )()(lim)(lim 00 gttggt t )21(lim0令 t0 的 极 限 过 程 ：从 物 理 学 看 , 当 t0 时 , 应 该 有 . 0)()( tSttS这 是 否 也 说 明 了 一 个 什 么 问 题 ? Pl l力 学 中 的 线 密 度 问 题设 有 一 根 可 视 为 直 线 的 棒 上 非 均 匀 地 分 布 着 质 量 .直 线 的 一 端 为 原 点 , 线 段 OP 的 长 度 为 l, 质 量 为 m,则 m 是 l 的 函 数 ： m = f (l ). 求 点 P 处 的 线 密 度 .例2 O P 给 l 一 个 增 量 l, 则 l 这 一 段 ( PP ) 的 平 均 密 度 是而 在 P 点 处 的 线 密 度 就 是 l 0 平 均 密 度 的 极 限 ： 0lim l lml 0lim l lfllfl )()(lim0 l lfllflm )()(比 较 两 个 极 限 式 ：l lfllfl )()(lim0 .)()(lim0 t tSttSt 与 PTPQ PLQ PL 的 极 限 位 置割 线 时趋 向 点沿 曲 线点 处 点 切 线 为在 点曲 线 平 面 曲 线 上 切 线 的 概 念L P Q T割 线 PQ 切 线 PT切 点 2. 数 学 背 景 平 面 曲 线 的 切 线 问 题 沿 曲 线 趋 近 于 点 A 时 的 极 限 位 置 .平 面 曲 线 y = f (x) 的 切 线 ：曲 线 在 点 A(x0, y0) 处 的 切 线 AT 为 过 曲 线 上点 A 的 任 意 一 条 割 线 AA 当 点 A(x0+x, y0+ y)O xy )(xfy A A Bx y T切 线 方 程 : , )( 00 xxkyy tank tanlim0 x其 中 , . lim0 xyx (1) 建 立 一 个 函 数 关 系 y = f (x) xI .(2) 求 函 数 由 x0 到 x0+ x 的 平 均 变 化 率 ：解 决 与 速 度 变 化 或 变 化 率 相 关 问 题 的 步 骤 :(3) 求 x 0 的 极 限 ： ;)()( 00 x xfxxfxy .)()(limlim 0000 x xfxxfxy xx 二 .导 数 的 概 念设 函 数 f (x) 在 U(x0) 有 定 义 , 且 x0+x U(x0).则 称 函 数 f (x) 在 点 x0 处 可 导 , 极 限 值 a 称 为 f (x) 在 ,| 0 ay xx ，axxf d )(d 0 . dd 0 axy xx 如 果 极 限 axyx xfxxf xx 0000 lim)()(lim 存 在 , 点 x0 处 的 导 数 . 记 为，axf )( 01. 导 数 的 定 义 k 0为 常 数 .x xfxxfxf x )()(lim)( 0000 x xxfxxfxf x 2 )()(lim)( 0000 xk xfxkxfxf x )()(lim)( 0000 ;)()(lim)( 0 00 0 xx xfxfxf xx 如 果 函 数 f (x) 在 点 x0 处 可 导 , 则 设 函 数 f (x) 在 x0 , x0+ ) 内 有 定 义 , 若存 在 , 则 称 a 为 f (x) 在 点 x0 处 的 右 导 数 . 记 为2.左 、 右 导 数 ax xfxxfxy xx )()(limlim 0000 .)( 0 axf 设 函 数 f (x) 在 (x0 , x0 内 有 定 义 , 若存 在 , 则 称 a 为 f (x) 在 点 x0 处 的 左 导 数 . 记 为ax xfxxfxy xx )()(limlim 0000 axf )( 0 axf )( 0 axfxf )()( 00好 像 见 过 面 啊 ！ 3. 导 函 数 x xfxxfxyxf xx )()(limlim)( 00若 x(a, b), 函 数 f (x) 皆 可 导 , 则 说 f (x) 在(a, b) 内 可 导 . 这 时 f (x) 是 关 于 x 的 一 个 新 函 数 ,称 之 为 f (x) 在 (a, b) 内 的 导 函 数 . 通 常 我 们 仍 称 之为 f (x) 在 (a, b) 内 的 导 数 ： 函 数 在 点 x0 I 处 的 导 数 : 0)()( 0 xxxfxf )( , )( bfaf 若 f (x) 在 (a, b) 内 可 导 , 且 存 在 ,则 称 f (x )在 a, b 上 可 导 , f (x) 称 为 f (x) 在 a, b 上的 导 函 数 , 简 称 为 导 数 . 先 求 导 、 后 代 值 . 4.导 数 的 几 何 意 义 )(tan 0 xfk 此 时 , 切 线 方 程 为 : )( 000 xxxfyy 函 数 f (x) 在 点 x0 的 导 数 f ( x0) 就 是 对 应 的 平 面曲 线 y = f (x) 在 点 (x0, y0) 处 的 切 线 的 斜 率 k : y O x x0 y = c f (x0) = 0 y O x f (x0) = x0 O xy x0 y O x x0f (x0)不 存 在 f (x0)不 存 在 切 线 平 行 于 x 轴 ： 0)( 0 xf曲 线 y = f (x) 在 点 x0 处 的 切 线 可 能 平 行 于 x 轴 、垂 直 于 x 轴 、 或 不 存 在 , 所 反 映 出 的 导 数 值 是 ：切 线 垂 直 于 x 轴 ： )( 0 xf （ 曲 线 为 连 续 曲 线 ）在 点 x0 处 无 切 线 ： f (x0) 不 存 在 . 在 任 意 一 点 x 处 , 有 x xxxxyk xx 2200 ) (limlim在 点 (1, 1) 处 故 所 求 切 线 方 程 为 ： 22 110 xx xkk求 曲 线 y = x2上 任 意 一 点 处 切 线 的 斜 率 , 并 求在 点 (1, 1) 处 的 切 线 方 程 . xxxx 2)2(lim0 即 y = 2x 1.y 1= 2(x 1) , 例3解 三 .导 数 存 在 的 必 要 条 件设 f (x) 在 点 x0 可 导 , 即 有于 是 ,)()()( 00 0 xfxx xfxf 0 000 )()(limlim)( 0 xx xfxfxyxf xxx )( 0 0 xx故 )()()()( 0000 xxxxxfxfxf )(lim0 xfxx )( 0 xf )()()(lim 00000 xxxxxfxfxx . )( , 0 处 连 续在 点函 数就 是 说 xxf 函 数 f (x) 在 点 x0可 导 的必 要 条 件 是 它 在 点 x0 连 续 .只 是 必 要 条 件 ！ y = | x | 在 点 x = 0 连 续 , 但 不 可 导 .xxf x |0|0|lim)0( 0 xxf x |0|0|lim)0( 0故 f (0) 不 存 在 . y = | x |O xy1|lim0 xxx 1|lim 0 xxx 例4解 . 0 | , 0 |lim 00 处 连 续在 点故但 xxyyx xx 在 点 x = 0 处 的 连 续 性 和 可 导 性 .,1|1sin | x 01sinlim0 xxnx00 xy又 当 nN 时 , 函 数 在 在 点 x = 0 处 连 续 .)( 0 , 0 0 , 1sin Znxxxxy n讨 论例5解)( Zn 当 n =1 时 , xxy xx limlim 00 不 存 在 ,故 n =1 时 , 函 数 在 x = 0 处 不 可 导 .当 n 1 时 , xxy xx limlim 00故 n 1时 , 函 数 在 x = 0 处 可 导 . 其 导 数 为 . 00 xy xx 1sinlim0 01sinlim 1 0 xxnx xx 1sin xxn 1sin f (x) 在 x = 0 处 可 导 ,从 而 f (x) = 1 + bx, x0e x, x 0 f (0) = 1 f (x) 在 x = 0 处 连 续 , f (0) = a .例6解 . 1 , 1lim)(lim 00 aexf xxx 故又 设 a + bx, x0求 a, b 之 值 .e x, x 0y = 在 x = 0 可 导 , 由 可 导 性 ：故 b = 1, 此 时 函 数 为f (x) = 1 x , x 0e x, x 0 x ex fxf xxx 1lim)0()0(lim 00 bxxbx fxf xx 1)1(lim)0()0(lim 00 1lim0 xxx .1 ,1 ba 四 . 函 数 的 增 量 与 导 数 的 关 系 可 表 示 为 y = f (x0) x + o(x) .若 函 数 f (x) 在 点 x0 处 有 ( 有 限 ) 导 数 f (x0), 则 函 数 f (x) 在 该 点 的 增 量 y = f (x0+ x) f (x0) ,lim)( 00 xyxf x 得 ,)( 0 xfxy 0 ) 0( 时x故 )o()()( 00 xxxfxxxfy 证由 则 函 数 f (x) 在 点 x0 处 有若 函 数 f (x) 在 点 x0 处 有 (有 限 )导 数 f (x0),可 近 似 表 示 为 ： y f (x0)x (1) 函 数 f (x) 在 该 点 的 增 量 y = f (x0+ x) f (x0)xxfxfxxf )()()( 000(2) ; ) )U( ( 00 xxx )()()( 000 xxxfxfxf )U( 0 xx 推论 , 2xy设则 )o(2)o( xxxxxyy 于 是 xxxyy 2例7 . 2)( 2 xxy