《高等数学曲率》PPT课件

第 七 节曲 线 的 弯曲 程 度 与 切 线 的 转 角 有 关与 曲 线 的 弧 长 有 关 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 主 要 内 容 :一 、 弧 微 分 二 、 曲 率 及 其 计 算 公 式 三 、 曲 率 圆 与 曲 率 半 径 MM M 平 面 曲 线 的 曲 率 第 三 章 一 、 弧 微 分)(xfy 设 在 (a , b)内 有 连 续 导 数 , 其 图 形 为 AB,弧 长 )(xsAMs xs MMMM xMM MMMM x yx 22 )()(MMMM 2)(1 xyxsxs x 0lim)( 2)(1 y xA B)(xfy a b xoy xM xx M y 1lim0 MMMMx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 则 弧 长 微 分 公 式 为 tyxs dd 22 )(xs 2)(1 y xys d)(1d 2 或 22 )(d)(dd yxs xx dxd xoy xM ydT几 何 意 义 : sd TM;cosdd sx sindd sy若 曲 线 由 参 数 方 程 表 示 : )( )(tyy txx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 二 、 曲 率 及 其 计 算 公 式在 光 滑 弧 上 自 点 M 开 始 取 弧 段 , 其 长 为 ,s 对 应 切 线, 定 义弧 段 上 的 平 均 曲 率s sK M Ms点 M 处 的 曲 率 sK s 0lim sdd注 意 : 直 线 上 任 意 点 处 的 曲 率 为 0 ! 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 转 角 为 例 1. 求 半 径 为 R 的 圆 上 任 意 点 处 的 曲 率 .解 : 如 图 所 示 , Rs sK s 0lim R1可 见 : R 愈 小 , 则 K 愈 大 , 圆 弧 弯 曲 得 愈 厉 害 ;R 愈 大 , 则 K 愈 小 , 圆 弧 弯 曲 得 愈 小 . sR MM 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 有 曲 率 近 似 计 算 公 式,1时当 y ytan )22( 设yarctan得 xy d)arctan(d xyy d1 2 xys d1d 2故 曲 率 计 算 公 式 为 sK dd23)1( 2yyK yK 又曲 率 K 的 计 算 公 式 )(xfy 二 阶 可 导 ,设 曲 线 弧 则 由 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 说 明 : (1) 若 曲 线 由 参 数 方 程 )( )(tyy txx 给 出 , 则 23)1( 2yyK (2) 若 曲 线 方 程 为 ,)(yx 则23)1( 2xxK 23)( 22 yx yxyxK 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 2. 我 国 铁 路 常 用 立 方 抛 物 线 361 xlRy 作 缓 和 曲 线 ,处 的 曲 率 .)6,(,)0,0( 2RllBO点 击 图 片 任 意 处 播 放 暂 停 说 明 :铁 路 转 弯 时 为 保 证 行 车平 稳 安 全 ,求 此 缓 和 曲 线 在 其 两 个 端 点 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 且 l R. 其 中 R是 圆 弧 弯 道 的 半 径 , l 是 缓 和 曲 线 的 长 度 , 离 心 力 必 须连 续 变 化 , 因 此 铁 道 的曲 率 应 连 续 变 化 . 例 2. 我 国 铁 路 常 用 立 方 抛 物 线 361 xlRy 作 缓 和 曲 线 ,且 l R. 处 的 曲 率 .)6,(,)0,0( 2RllBO其 中 R是 圆 弧 弯 道 的 半 径 , l 是 缓 和 曲 线 的 长 度 , 求 此 缓 和 曲 线 在 其 两 个 端 点 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 解 : ,0 时当 lx Rl2 0 xlRy 1 yK xlR1显 然 ;00 xK RK lx 1221 xlRy RByo x361 xlRy l 例 3. 求 椭 圆 tby tax sincos )20( t 在 何 处 曲 率 最 大 ?解 :故 曲 率 为 ba 23)cossin( 2222 tbta ;sintax ;costby tax cos tby sin23)( 22 yx yxyxK K 最 大 tbtatf 2222 cossin)( 最 小 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ttbttatf sincos2cossin2)( 2 tba 2sin)( 22 求 驻 点 : 的 导 数数 表 示 对 参tx ,0)( tf令 ,0t得 ,2 ,23 2,设 tbatf 2sin)()( 22 t)(tf 0 2 23 22b 2b 2a 2b2a从 而 K 取 最 大 值 .这 说 明 椭 圆 在 点,0 ab 时则 2,0t )0,( a 处 曲 率 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 计 算 驻 点 处 的 函 数 值 : y xb aba,)( 取 最 小 值tf最 大 . 三 、 曲 率 圆 与 曲 率 半 径 Ty xo ),( DR ),( yxMC设 M 为 曲 线 C 上 任 一 点 , 在 点在 曲 线KRDM 1把 以 D 为 中 心 , R 为 半 径 的 圆 叫 做 曲 线 在 点 M 处 的曲 率 圆 ( 密 切 圆 ) , R 叫 做 曲 率 半 径 , D 叫 做 曲 率 中 心 .在 点 M 处 曲 率 圆 与 曲 线 有 下 列 密 切 关 系 :(1) 有 公 切 线 ; (2) 凹 向 一 致 ; (3) 曲 率 相 同 .M 处 作 曲 线 的 切 线 和 法 线 ,的 凹 向 一 侧 法 线 上 取 点 D 使 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 设 曲 线 方 程 为 ,)(xfy 且 ,0y 求 曲 线 上 点 M 处 的曲 率 半 径 及 曲 率 中 心 ),( D设 点 M 处 的 曲 率 圆 方 程 为 222 )()( R 故 曲 率 半 径 公 式 为KR 1 23)1( 2yy满 足 方 程 组, 222 )()( Ryx ),( 在 曲 率 圆 上yxM )( MTDM y yx 的 坐 标 公 式 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 TCy xo ),( DR ),( yxM 由 此 可 得 曲 率 中 心 公 式y yyx )1( 2 yyy 21 (注 意 y 与 y异 号 )当 点 M (x , y) 沿 曲 线 )(xfy 移 动 时 ,的 轨 迹 G 称 为 曲 线 C 的 渐 屈 线 , 相 应 的 曲 率 中 心Cy xo ),( yxM ),( DR T曲 率 中 心 公 式 可 看 成 渐曲 线 C 称 为 曲 线 G 的 渐 伸 线 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 屈 线 的 参 数 方 程 (参 数 为 x). 点 击 图 中 任 意 点 动 画 开 始 或 暂 停 例 4. 设 一 工 件 内 表 面 的 截 痕 为 一 椭 圆 , 现 要 用 砂 轮磨削 其 内 表 面 , 问 选 择 多 大 的 砂 轮 比 较 合 适 ?解 : 设 椭 圆 方 程 为 tby tax sincos ),20( abx 由 例 3可 知 , 椭 圆 在 )0,( a oy x处 曲 率 最 大 ,即 曲 率 半 径 最 小 , 且 为 R 23)cossin( 2222 tbta ba 0t ab2显 然 , 砂 轮 半 径 不 超 过 ab2 时 , 才 不 会 产 生 过 量 磨 损 ,或 有 的 地 方 磨 不 到 的 问 题 . ab 例 3 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ( 仍 为 摆 线 )sin( a )cos1( a例 5. 求 摆 线 )cos1( )sin( tay ttax 的 渐 屈 线 方 程 . 解 : xyy ,cos1 sin tt xyy t )(dd 2)cos1( 1 ta 代 入 曲 率 中 心 公 式 , )sin( tta )1(cos ta 得 , t令 aa2 摆 线 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 yo xM o 摆 线半 径 为 a 的 圆 周 沿 直 线 无 滑 动 地 滚 动 时 ,点 击 图 中 任 意 点 动 画 开 始 或 暂 停M oy xt a 其 上 定 点 M 的 轨 迹 即 为 摆 线 . )sin( ttax )cos1( tay 参 数 的 几 何 意 义 摆 线 的 渐 屈 线 点 击 图 中 任 意 点 动 画 开 始 或 暂 停机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 内 容 小 结1. 弧 长 微 分 xys d1d 2 或 22 )(d)(dd yxs 2. 曲 率 公 式 sK dd 23)1( 2yy 3. 曲 率 圆曲 率 半 径 KR 1 yy 23)1( 2曲 率 中 心 y yyx )1( 2 yyy 21 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 思 考 与 练 习1. 曲 线 在 一 点 处 的 曲 率 圆 与 曲 线 有 何 密 切 关 系 ?答 : 有 公 切 线 ; 凹 向 一 致 ; 曲 率 相 同 .2. 求 双 曲 线 1yx 的 曲 率 半 径 R , 并 分 析 何 处 R 最 小 ?解 : ,12xy ,23xy 则 R 23)1( 2yy 234)1( 1x 32x 232)( 1221 xx 利 用 baba 222 2.21 为 最 小 值显 然 xR 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 11yo x 作 业 第 八 节 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 P175 4 ； 5 ； 7 ； 8 ； 9