数字信号处理-数字信号习题

第三章习题讲解 1, 0 4() 0, nnxn n 其 他3设 4( ) ( 2)hn R n 令 ， ， 6( ) ( )x n x n 6( ) ( )h n h n 试求 与 的周期卷积并作图。 ()xn ()hn 解： 1 0 ( ) ( ) ( ) N m y n x m h n m 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 4 5 0 3 4 5 0 6 7 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 nm /x n m hm 1hm 2hm 3hm 4hm 5hm /h n m 14 12 10 8 6 10 ()yn 4. 已知 如图 P3-4（ a）所示，为 ，试 画出 ， ， ， ， ， 等各序列。 1,1,3,2()xn 5( )xn 66( ) ( )x n R n 33( ) ( )x R n 6( )xn 55( 3) ( )x n R n 77( ) ( )x n R n 5( )xn 6( )xn 66( ) ( )x n R n 55( 3) ( )x n R n 33( ) ( )x n R n 77( ) ( )x n R n 5. 试求以下有限长序列的 点 （闭合形式表 达式）： N DFT 0() cos( ) ()Nxn a nR n(1) 1 0 ( ) ( ) ( ) N nk NN n X k x n W R k 解： 00 21 0 1 ( ) ( ) 2 N j nk j n j n N N n a e e e R k 21 0 0 cos( ) ( ) N j nk N N n a n e R k 00 2211( ) ( ) 00 1 () 2 NN j k n j k n NN N nn a e e R k 00 00 22 ( ) ( ) 1 1 1 () 2 11 j N j N N j k j k NN ee a R k ee 0 0 0 0 0 0 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 ( ) 2 () N N N j j j j k j k j k N N N e e e a e e e 0 0 0 0 0 0 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 () () () N N N j j j N j k j k j k N N N e e e Rk e e e 00 11 22 00 sin( ) sin( )1 22 () 112 sin( ) sin( ) 22 NN j k j j k j NN N NN a e e R k kk NN 21 0 () N j n k n N N n a e R k (2) ( ) ( )n Nx n a R n 1 0 ( ) ( ) ( ) N nk NN n X k x n W R k 解： 2 1 () 1 N Njk N a Rk ae 21 0 () nN jk N N n a e R k 21 0 ( ) ( ) N j n k N N n x n e R k 21 0 0 ( ) ( ) N j nk N N n n n e R k 0 2 ()j n k N Ne R k (3) 0( ) ( )xn n n 00 nN 1 0 ( ) ( ) ( ) N nk NN n X k x n W R k 解： 1 ( 2 / ) 0 1( ) ( )N j N n k k x n X k eN 6. 如图 P3-6（ a）画出了几个周期序列 ，这 些序列可以表示成傅里叶级数 ()xn （ 1）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的 成为实数？ ()Xk （ 2） 哪些序列能够通过选择时间原点使所有的 （除 外）成为虚数？ ()Xk ( 0 )X （ 3） 哪些序列能做到 ， ( ) 0Xk 2, 4, 6,.k 为共轭对称序列，即满足实部偶对称，虚部 奇对称（以 为轴）。 ()xn 0n 即 是以 为对称轴的偶对称 ()xn 0n 解 : （ 1）要使 为实数，根据 DFT的性质 : ()Xk() () Re ()exn x n Xk() 0 Im () 0 ox n j Xk ()xn ()xn( ) ( )x n x n又由图知， 为实序列，虚部为零，故 应 满足偶对称： 故第二个序列满足这个条件 为共轭反对称序列，即满足实部奇对称，虚 部偶对称（以 为轴）。 ()xn 0n 即 是以 对称轴的奇对称 ()xn 0n （ 2）要使 为虚数，根据 DFT的性质 : ()Xk() 0 Re () 0 ex n Xk() () Im ()oxn x n j Xk ()xn ()xn( ) ( )xn x n 又由图知， 为实序列，虚部为零，故 应 满足奇对称： 故这三个序列都不满足这个条件 （ 3）由于是 8点周期序列，其 DFS: 2 3 8 1 0 44 1 1 ( 1)() 11 j k kj nk j k j kn eX k e ee 当 时， 2, 4, 6,.k1( ) 0Xk 序列 2: 3 2 4 4 2 0 4 1 () 1 jk j n k jkn e X k e e 217 8 00 ( ) ( ) ( ) N j nk nk N nn X k x n W x n e 序列 1: 当 时， 2, 4, 6,.k1( ) 0Xk 序列 3: 3 1 1() () ( 4)x n x n x n 根据序列移位性质可知 3 1 1 4 1 ( 1)X ( ) X ( ) X ( ) (1 ) 1 k jk jk jk k k e k e e 当 时， 2, 4, 6,.k3 ( ) 0Xk 综上所得，第一个和第三个序列满足 ( ) 0Xk 2, 4,.k 8. 下图表示一个 5点序列 。 ()xn （ 1）试画出 ； ( ) ( )x n x n （ 2）试画出 ； ()xn ()xn （ 3）试画出 ； ()xn ()xn ( ) ( )x n x n ()xn ()xn ()xn ()xn 9. 设有两个序列 ( ), 0 5 () 0,x n nxn n 其 他( ), 0 1 4 () 0,y n nyn n 其 他 各作 15点的 DFT，然后将两个 DFT相乘，再求 乘积的 IDFT，设所得结果为 ，问 的 哪些点（用序号 表示）对应于 应 该得到的点。 ()fn ()fn n ( ) ( )x n y n 解 : 序列 的点数为 ， 的点数为 ， 故 的点数应为 ()xn 1 6N ()yn 2 15N ( ) ( )x n y n 12 1 20N N N 0n 4( 1)n N L 0 19( 1)N ()fn ()xn ()yn又 为 与 的 15点的圆周卷积，即 L 15。 是线性卷积以 15为周期周期延拓后取主值序列 混叠点数为 N L 20 15 5 ()fn 5n 14n ( ) ( )x n y n故 中只有 到 的点对应于 应该得到的点。 15 4( 1)LN ()L 15 34( 1)LN ()L 10. 已知两个有限长序列为 1, 0 3 () 0 , 4 6nnxn n 1, 0 4 () 1, 5 6nyn n 试用作图表示 ， 以及 。 ()xn ()yn ( ) ( )f n x n ()yn -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 0 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 nm /x n m /y n m 77y m R n 771y mR n 772y m R n 773y m R n 774y m R n 775y m R n 7ym 7ym 776y m R n 0 4 -2 -10 -10 -8 ()fn -4 11.已知 是 N点有限长序列， 。 现将长度变成 rN点的有限长序列 ()xn ( ) ( )X k DFT xn ()yn ( ), 0 1() 0, 1 x n n Nyn N n rN 试求 rN点 与 的关系。 ()DFT y n ()Xk 解：由 21 0 ( ) ( ) ( ) ,0 1 N j nk N n X k DFT x n x n e k N 得 1 0 ( ) ( ) ( ) rN nk rN n Y k DFT y n y n W 21 0 () kN jn Nr n x n e 1 0 () N nk rN n x n W , 0,1,., 1k lrl N kX r 21 0 () N j n k rN n x n e 在一个周期内， Y (k)的抽 样点数是 X (k)的 r倍 ( Y (k) 的周期为 Nr)，相当于在 X (k)的每两个值之间插 入 r-1个其他值（不一定 为零），而当 k为 r的整数 l倍时， Y (k)与 X (k / r)相 等。 相当于频域插值 21 0 ( ) ( ) 0 1 N j nk N n X k x n e k N , 0,1,., 1k lrl N () kY k X r 12. 已知 是 N点的有限长序列， ， 现将 的每两点之间补进 个零值点，得到 一个 rN点的有限长序列 ()xn ( ) ( )Xk DFTxn ()xn 1r ()yn ( ), , 0,1,., 1() 0, x n r n ir i Nyn n 其他 试求 rN点 与 的关系。 ( )DFT y n ()Xk 解：由 1 0 ( ) ( ) ( ) ,0 1 N nk N n X k DFT x n x n W k N 1 0 ( ) ( ) ( ) rN nk rN n Y k DFT y n y n W 得 1 0 () N ir k rN i x ir r W 01k rN 1 0 () N ik N i x i W 故 ( ) ( ) ( )N rNYk X k R k 离散时域每两点间插 入 r -1个零值点，相 当于频域以 N为周期 延拓 r次，即 Y(k)周期 为 rN。 1 0 ( ) ( ) 0 1 N nk N n X k x n W k N 01k rN 1 0 ( ) ( ) N ik N i Y k x i W 14.设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须 为 2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理 措施，要求频率分辨力 ，如果采用的抽 样时间间隔为 0.1ms，试确定：（ 1）最小记录长 度；（ 2）所允许处理的信号的最高频率；（ 3） 在一个记录中的最少点数。 10Hz 解 : （ 1）因为 ，而 ，所以 0 0 1T F 0 10F Hz 0 1 10Ts 即最小记录长度为 0.1s。 （ 2）因为 ，而 311 10 10 0.1sf kH zT 2shff 1 5 2hsf f k H z 即允许处理的信号的最高频率为 。 5kHz 又因 N必须为 2的整数幂，所以一个记录中的 最少点数为 30 0.13 10 1000 0.1 TN T （） 102 1024N 19. 复数有限长序列 是由两个实有限长序列 和 组成的， 且已知 有以下两种表达式： fn xn 01y n n N fn x n jy n F k DFT f n 111 11 NN kk NN abF k j aW bW 21F k jN 其中 为实数。试用 求 ,ab Fk ,X k DFT x n ,Y k DFT y n ,xn yn 111 11 NN kk NN abF k j aW bW ( ) ( ) ( ) ( )F k DFT f n DFT x n jy n 解：由DFT的线性性 () ()DFTxn jDFTyn ( ) ( )Xk jYk() () Re()Xk DFTxn DFT fn ()epFk *1 ( ) ( ) ( ) 2 NNF k F N k R k 由共轭对称性得 * 1 1 1 1 1 () 2 1 1 1 1 N N N N Nk k N k N k N N N N a b a bj j R k aW bW aW bW * 1 1 1 1 1 () 2 1 1 11 N N N N Nkk kk NN NN a b a b j j R k aW bW a W b W *1( ) ( ) ( ) ( ) 2 NNX k F k F N k R k 1 () 1 N Nk N a Rk aW 1 0 () N n k n NN n a W R k 1 () 1 Nk N Nk N aW Rk aW ( ) ( )n Nx n a R n () () Im()Yk DFTyn DFT fn 1 () opFkj *1 ( ) ( ) ( ) 2 NNF k F N k R kj * 1 1 1 1 1 () 2 1 1 1 1 N N N N Nk k N k N k N N N N a b a bj j R k j aW bW aW bW * 1 1 1 1 1 () 2 1 1 11 N N N N Nkk kk NN NN a b a bj j R k j aW bW a W b W 1 () 1 N Nk N b Rk bW 1 0 () N n k n NN n b W R k 1 () 1 Nk N Nk N bW Rk bW ( ) ( )n Ny n b R n *1 1 1 ( )2 NjN jN R k 1 1 1 ( )2 NjN jN R k ()NRk ( ) ( )x n n () () Re()Xk DFTxn DFT fn ()epFk *1 ( ) ( ) ( ) 2 NNF k F N k R k 21F k jN *1 1 1 ( )2 NjN jN R kj 1 1 1 ( )2 NjN jN R kj ()NNR k ( ) ( )yn N n () () Im()Yk DFTyn DFT fn 1 () opFkj *1 ( ) ( ) ( ) 2 NNF k F N k R k 20. 已知序列 现对于 x(n) 的 变换在单位圆上 等分抽样，抽样值为 试求有限长序列 , 点。 IDFT Xk ,0 1,nx na u a z N 2 jkk NNz W e X k X z N () (), 0 1nxn aun a 解：由 1 0 1( ) ( ) 1 n n X z x n z az 得 1 1( ) ( ) 1kN k N zW zW X k X z az 1 1 kNaW 11 11 N N k N Nk N aW a a W 1 0 1 1 N n k NN n aWa 1 0 1 1 N n n k NN n aWa 1 ( ) ( )1 n NNIDFT X k a R na ( ) ( ( ) ( ) ) k N nk NzW n Xk N W z n X X z x 对在单位圆上点等间隔抽样，得周期序列： ()X k IDFS的：( ) ( ) N r x n x n rN ( ) ( ) ( )NN Xk XkR k点 () ()x n IDFTXk 1 () 1 n NN a R na ( ) ( )NNx n R n ( ) ( )n rN N r a u n rN R n 0 ()n r N N r a R n 0 ()rnN N r a a R n 26. 研究一个离散时间序列 ，由 形成两个 新序列 和 ，其中 相当于以抽样 周期为 2对 抽样而得到，而 则是以 2对 进行抽取而得到，即 xn xn pxn dxn pxn xn dxn xn , 0, 2, 4, 0, 1, 3,p x n n xn n 2dx n x n (a)若 如图 P3 26 (a)所示，画出 和 。 xn pxn dxn (b) 如图 P3 26 (b)所示， 画出 及 jX e DTFT x n j ppX e DTFT x n j ddX e DTFT x n ()jXe , 0, 2, 4, 0, 1, 3,p x n n xn n 2dx n x n 1 () 0 1( ) ( )sD jkj p k X e X eD ( ) ( )jj DdpX e X e ()jXe 3 4 5 4 2 2 3 4 5 4 22 3 2 3 2 ()jdXe 2 3 4 2 ()jpXe 3 4