2020届高考数学专题汇编：数列放缩方法

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2020届高考数学专题汇编：数列放缩方法

数列放缩法常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，基本结构有4种：1.形如i=1nai<k （k为常数） 2.形如i=1nai<fn3.形如i=1nai<k （k为常数） 4.形如i=1nai<fn例1.求证：12+122+123+12n<1nN*变式1求证：12+222+323+n2n<2nN*变式2求证：12+1+122+1+12n+1<1nN*变式3求证：12+1+222+2+n2n+n<2nN*例2.求证：11×3+13×5+12n-12n+1<12nN* 变式1求证：11×3+13×5+12n-12n+113nN*变式2求证：12×3+13×5+1n+12n+1<512nN*例3.求证：1+122+132+1+n2<2nN*变式1求证：1+122+132+1+n2<74nN*变式2求证：1+122+132+1+n2<53nN*变式3求证：1+132+152+1（2n-1）2<54nN*例4.已知数列an，an=2n2n-1nN*求证：i=1naiai-1<3变式.已知数列an，an=2n2n-1nN*求证：i=1naiai-1<259例5. 求证：13-2+132-22+13n-2n<32nN*变式.求证：13-2+132-2+13n-2<1714nN*例6. 求证：2n+1-1<1+12+13+1n<2nnN*变式.求证：1+12+13+1n<22n+1-1nN*例7. 求证：12×34×562n-12n<12n+1nN*变式.求证：1+11+141+171+13n-2>33n+1nN*常见放缩公式：平方型：1nn+1<1n2<1nn-1 n2 1n2<1n2-1=121n-1-1n+1n21n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+112n-12<14nn-1=141n-1-1nn2立方型：1n3<1nn2-1=12n1n-1-1n+1=121n-1n-1nn+1 n2根式型：2n+1-n=2n+1+n<1n=22n<2n+n-1=2n-n-11n=2222n<222n-1+2n+1=22n+1-2n-11n+2=22n+2<2n+2+n=n+2-n1nn+1<1n+n-1=n-n-1指数型：1an-bn1an-1a-ba>b1证：1an-bn=1an-1a-bban-11an-1a-bba0=1an-1a-b1an-b1an-1a-ba>b1证：1an-b=1an-1a-ban-11an-1a-ba0=1an-1a-b13n<13n-213n-114n<14n-314n-114n<14n-1134n-1奇偶型：2n-12n<2n-12n-12n+1<2n-12n+1

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