中考常考的旋转、折叠、翻转等几种经典类型

中考常考题型(一)正三角形类型在正AC中,P为B内一点，将ABP绕A点按逆时针方向旋转600,使得AB与A重叠。通过这样旋转变化，将图（-a）中的PA、B、PC三条线段集中于图(1-1-b）中的一种C中，此时P'A也为正三角形。例1. 如图:（1）:设是等边ABC内的一点，PA=3，PB4，C=5,AB的度数是_.(二)正方形类型在正方形ABCD中,为正方形D内一点，将AP绕B点按顺时针方向旋转90，使得与BC重叠。通过旋转变化,将图（2-1-）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-b）中的CPP中,此时P' 为等腰直角三角形。例  . 如图（2-):P是正方形ABCD内一点,点P到正方形的三个顶点、B、C的距离分别为A=,PB=2，P=3。求此正方形ABC面积。  (三）等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形ABC中， Ct ，P为ABC内一点,将AC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与C重叠。通过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一种 CP为等腰直角三角形。 例.如图,在ABC中， C =900，BC=AC，P为AC内一点,且A=3，PB=1,C=2。求 BPC的度数。平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。所谓几何变换就是根据拟定的法则,对给定的图形(或其一部分)施行某种位置变化,然后在新的图形中分析有关图形之间的关系.此类实体的特点是:结论开放，注重考察学生的猜想、摸索能力;便于与其他知识相联系，解题灵活多变，可以考察学生分析问题和解决问题的能力在这一理念的引导下,近几年中考加大了这方面的考察力度，特别是中考,这一部分的分值比前两年大幅度提高。   为协助广大考生把握好平移，旋转和翻折的特性,巧妙运用平移，旋转和翻折的知识来解决有关的问题，下面以近几年中考题为例阐明其解法，供人们参照。一.平移、旋转平移：在平面内，将一种图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移“一定的方向”称为平移方向,“一定的距离”称为平移距离。平移特性：图形平移时，图形中的每一点的平移方向都相似，平移距离都相等。旋转:在平面内,将一种图形绕一种定点沿某个方向转动一种角度成为与本来相等的图形,这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心,图形转动的角叫做旋转角旋转特性:图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等,都等于图形的旋转角。例（绵阳市中考试题）如图，将ABC绕顶点A顺时针旋转60º后得到AB´C´，且C´为的中点，则C´D:DB´( ）.：2 B： C1: D.1：3分析： 由于B´C´是绕顶点A顺时针旋转0º后得到的,因此,旋转角AC=0º，B´C´AB,AC´=AC,CC=60º,AC´是等边三角形，AC´=C´.又´为C的中点，C´=CC´，易得A´C、AC是含30º角的直角三角形,从而AC´D也是含30º角的直角三角形点评：本例考察灵活运用旋转前后两个图形是全等的性质、等边三角形的判断和含30 º角的直角三角形的性质的能力，解题的核心是发现AC´是等边三角形二、翻折 翻折:翻折是指把一种图形按某始终线翻折180º后所形成的新的图形的变化。翻折特性：平面上的两个图形,将其中一种图形沿着一条直线翻折过去，如果它可以与另一种图形重叠，那么说这两个图形有关这条直线对称，这条直线就是对称轴。解此类题抓住翻折前后两个图形是全等的，弄清翻折后不变的要素。    翻折在三大图形运动中是比较重要的，考察得较多.此外，从运动变化得图形得特殊位置摸索出一般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要的,值得人们留意。例2.(江苏省宿迁市)如图，将矩形ABD沿AE折叠,若BAD30°，则AED等于（ ) 30° B.5°C.60°.7°分析:由已知条件BA=0°,易得D=0º，又D、D有关AE对称，D=EAD=0º，AD=AD6º 故选C 点评:本例考察灵活运用翻折前后两个图形是全等的性质的能力，解题的核心是发现EAD=ED，AD=AE 点评：图形沿某条线折叠,这条线就是对称轴,运用轴对称的性质并借助方程的的知识就能较快得到计算成果。   由此看出，近几年中考,重点突出,试题贴近考生,贴近初中数学教学,图形运动的思想(图形的旋转、翻折、平移三大运动)都一一考察到了因此在平时抓住这三种运动的特性和基本解题思路来指引我们的复习，将是一种事半功倍的好措施。平移与旋转事实上是一种全等变换，由于具有可操作性,因而是考察同窗们动手能力、观测能力的好素材,也就成了近几年中考试题中频繁浮现的内容。题型多以填空题、计算题呈现。在解答此类问题时,我们一般将其转换成全等求解。根据变换的特性，找到相应的全等形，通过线段、角的转换达到求解的目的。例:如图，直角梯形AB中，DB,ABC，AD,C=3，将腰C以D为中心，逆时针旋转9°至ED,连结A、C，则ADE的面积是（ ） A 1 B 2 C 不能拟定分析：解题的核心是求ADE的边AD上的高。可先求作直角梯形的高DF,想到将CDF绕逆时针旋转90°至DG,由EGGF，只要C的长,就可以求出DE的面积。解：过D做FBC于,过做EG,交AD的延长线于G9°,DC四边形ABD为矩形=-D=321,DC=FD =90°FDC =D，又D =G =90°,D=DDG,=C1 因此，选择点评：明确A的边A上的高的概念不要误写成DE,作梯形高是常用的解题措施之一。变式题1：如图,已知B中AB=AC,BAC =9°，直角EPF的顶点P是C中点,两边，P分别交AB、AC于点E、F，给出如下五个结论： （)A=（)APE=CPF（3)EF是等腰直角三角形(）EF=AP(5）S四边形AEPF=SBC÷，当EPF在AB内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重叠)上述结论中始终对的的序号有_例2D、E为B的中点,将ABC沿线段DE折叠,使点A落在点F处。若B=0°,则BD=_分析：通过折纸实验，多次尝试，得出结论。解：D、E为B的中点,DBC，ADE=B=50°由折纸实验得:ADE=FEDF=180°-ADE-FE10°2×50°=80°点评:几何变换没有可套用的模式，核心是同窗们要善于多角度、多层次、多侧面地思考问题，观测问题、分析问题。变式题2:如图,矩形纸片AC,2，ADB=30°，将它沿对角线B折叠（使ABD和落在同一平面内)则A、E两点间的距离为旋转具有如下特性:（）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；()相应点到旋转中心的距离相等;(3）相应角、相应线段相等；（4）图形的形状和大小都不变。  运用旋转的特性，可巧妙解决诸多数学问题，如一.求线段长.例:如图，已知长方形ACD的周长为，AB=4，点在C上，且AEEF,E=EF,求C的长。【解析】:将 以点E为旋转中心，顺时针旋转9°，此时点旋转到点' 处，AE与重叠,由旋转特性知:B'EBC ,四边形'EC 为长方形，E=F'AB CF+CE=BE+CEE+ECC=6F=B-=62二.求角的大小例:如图，在等边 AB中，点E、D分别为B、C上的两点，且BCD，AD与CE交于点M，求AME的大小。 【解析】:由于BC=AC ,ABC=ACD=60°，=CD,因此以AB的中心(等边三角形三条中线的交点)为旋转中心,将ADC顺时针旋转10°就得到了EB，AME180°-A80°-20°0°三进行几何推理例：如图,点F在正方形ACD的边BC上，AE平分DA ，请阐明DE=FBF成立的理由 。  数学思想是解数学题的精髓和重要的指引措施，在平移和旋转中的应用也相称的广泛,一般可以归结为两种思想对称的思想和旋转的思想,具体的分析如下: 1 、对称的思想:在平移、旋转、对称这些概念中，对称这一概念非常重要它涉及轴对称、旋转对称、中心对称.对称是一种种要的思想措施,在解题的应用非常广泛. 例： 观测图中所给的图案，它可以当作由哪个较基本的图形通过哪些运动变换产生的?它是不是轴对称图形？旋转对称图形?中心对称图形?                 分析: 这是一种波及轴对称平移、旋转的综合性例子。解题思路重要通过直观观测获得。 这个图案较基本的图形是正方形,一种小正方形沿对角线方向平移一种对角线长、两个对角线长后得一正方形串,然后在串的轴线上找一点O为旋转中心,旋转三个90°后得到题目中给出的图案,整个过程如图所示。   这个图形是轴对称、旋转对称.中心对称图形。措施探究：这里的较基本图形也可以当作线段。一线段经平移、旋转后得一正方形,然后反复上面的过程。2、旋转的思想：旋转也是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换,从而将某些简朴的平面图形按规定旋转到合适的位置,使问题获得简朴的解决，它是一种要的解题措施。 例：如图，正方形ABC内一点P,AD=PDA°,连结PB、C,请问：PB是等边三角形吗？为什么？           分析：本题核心是阐明PCD=PB=30°,运用条件可以设想将PD绕点D逆时针方向旋转90°,而使与C重叠,此时问题得到解决. 解:将AD绕点D逆时针旋转°，得DPC,再作DPC有关DC的轴对称图形DQC,得CQ与ADP通过对折后可以重叠。 PD=    DQ=°-5°-15°=0°， DQ为等边三角形，    PQ=6°. DQC=PD=80°-15°15°=150°， PC=36°60°-150°150°=DQC，, PQ=D=CQ ,   PCQDCQ=1°                  C0°         PCB=0°       P=BCD    PBC为等边三角形 观测思考：旋转是几何变换中的基本变换,它一般先对给定的图形或其中一部分,通过旋转，变化位置后得新组合，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，进而揭示条件与结论之间的内在联系，找出证题途径。