数值分析试题及答案讲诉

数值分析试题一、 填空 （ 2 0 2）1.322A1, X23设 x=0.231 是精确 x*=0.229 的近似 ， x 有2位有效数字。2.若 f(x)=x7 x3 1， 则 f20,21,22,23,24,25,26,27= 1，f2 0,21,22,23,24,25,26,27,28=0。3. ， _5_， X_3_，AAX_15_ _。4.非 性方程 f(x)=0 的迭代函数 x=(x)在有解区 足 | (x)| <1， 使用 迭代函数的迭代解法一定是局部收 的。5. 区 a,b上的三次 条插 函数 S(x)在a,b 上具有直到 2 的 数。6. 当插 点 等距分布 ，若所求 点靠近首 点， 用等距 点下牛 差商公式的 前插公式 ，若所求 点靠近尾 点， 用等距 点下牛 差商公式的后插公式；如果要估 果的舍入 差， 用插 公式中的拉格朗日插 公式。7.拉格朗日插 公式中 f(xn1；所以当)的系数 a (x)的特点是： ai ( x)iii 0系数 ai(x) 足i， 算 不会放大i的 差。a (x)>1f(x )8.要使20 的近似 的相 差小于0.1%，至少要取4位有效数字。9. 任意初始向量(0)及任意向量 g， 性方程 的迭代公式x(k+1)(k) 收X=Bx +g(k=0,1, ) 于方程 的精确解 x* 的充分必要条件是(B)<1。10.由下列数据所确定的插 多 式的次数最高是5。x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.2511.牛 下山法的下山条件 |f(xn+1)|<|f(xn)|。12. 性方程 的松弛迭代法是通 逐 减少残差ri (i=0,1, ,n)来 的，其中的残差ri (bii1 1i22-inn ii，,n)。-a x-ax-a x )/a(i=0,1,13.在非 性方程 f(x)=0 使用各种切 法迭代求解 ， 若在迭代区 存在唯一解， 且 f(x)1的二阶导数不变号，则初始点 x0 的选取依据为 f(x0)f ”(x0)>0。14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。二、判断题（ 101）1、 若 A 是 n 阶非奇异矩阵，则线性方程组 AX b 一定可以使用高斯消元法求解。 ( )2、 解非线性方程 f(x)=0 的牛顿迭代法在单根 x* 附近是平方收敛的。()3、 若 A 为 n 阶方阵，且其元素满足不等式aiinaij (i1,2,., n)j1ji则解线性方程组 AXb 的高斯塞德尔迭代法一定收敛。( )4、 样条插值一种分段插值。()5、 如果插值结点相同， 在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。()6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。()7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AXb。()8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。( )9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差舍入误差。()10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。()三、计算题（ 5 10）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。x1x2x345x14x23 x3122x1x2x311解答：（1，5，2）最大元 5 在第二行，交换第一与第二行：25x14x23 x312x1x2x342x1x2x311L 21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4 方程化为：5 x14 x23x3120.2x20.4 x31.62.6x20.2 x315.8（-0.2,2.6）最大元在第三行，交换第二与第三行：5 x14 x23x3122.6x20.2 x315.80.2x20.4 x31.6L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：5 x14 x23 x3122.6x20.2x315.80.38462x30.38466回代得：x13.00005x25.99999x31.000102、用牛顿埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式 (设 f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。xi012f(x )1-13if (x )15i解答：做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1Fxi.xi+1.xi+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+43011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法均收敛， 写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的迭代 公式，并简单说明收敛的理由。2x1x2x41x1x35 x46x24x3x48x13 x2x33解答：交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：2x1x2x41x13x 2x 33x24 x3x48x1x35 x46雅克比迭代公式：2x1x2x41x13x 2x 33x24 x3x48x1x35 x46计算机数学基础 (2)数值分析试题4一、 (每小 3分，共15 分 )1 2 an 10s*1.已知准确 x* 与其有t 位有效数字的近似 (a10)的 差x 0.0a axx ()(A) 0.5 10 s 1 t(B) 0.5 10 s t(C) 0.5 10s 1 t(D) 0.5 10 s t2.以下矩 是 格 角占 矩 的 ()2100521012101410(A)121，(B)14101001200125210421114211410(C)141(D)14122001213153. 过 (0，1) ，(2， 4)， (3， 1)点的分段 性插 函数P(x)=()(A)3 x 10x 2(B)3 x 10 x 2223x 102x33x 2102 x 3(C)3 x 10 x 2(D)3 x 10 x 2223x 102x3x 42x 34.等距二点的求 公式是()f ( xk )(A)f ( xk 1 ) f ( xk )(C)f ( xk 1 )1yk 1 )f (xk )1yk 1 )( yk( ykh(B)h11yk 1 )f (xk 1 )yk 1 )( yk( ykhh1yk 1 )( ykh(D)1yk )( yk 1h5. 解常微分方程初 的平均形式的改 欧拉法公式是yk 11 ( y p yc )2那么 yp,yc 分 ()y pykhf (xk , yk )(B)y pykhf (xk 1 , yk )(A)ykhf (xk 1 , yk )ycykhf ( xk , y p )ycy pykf ( xk , yk )y pykhf ( xk , yk )(C)ykf ( xk , yp )(D)ykhf ( xk 1 , y p )ycyc二、填空 (每小 3 分，共15 分 )56. 近似 x1,x2 足 (x1)=0.05 ， (x2)=0.005 ，那么 (x1x2)=7.三次 条函数 S(x) 足： S(x) 在区 a,b内二 可 ， S(xk)=yk(已知 )，k=0,1,2, ,n，且 足 S(x)在每个子区 xk,xk+1 上是bnnAk f ( xk ) ， Ak 8.牛 科茨求 公式f ( x) dx.ak 0k09.解方程 f(x)=0 的 迭代法的迭代函数(x) 足在有根区 内， 在有根区 内任意取一点作 初始 ，迭代解都收 10. 解常微分方程初 的改 欧拉法 校正公式是 ： y k 1ykhf ( xk , yk ) ，校正 ： yk+1=三、 算 (每小 15 分，共 60 分 )11. 用 迭代法求 性方程 8x13x22x3204 x111x2x3336x13x212x336的 X(3)取初始 (0,0,0) T， 算 程保留4 位小数12. 已知函数 f(0)=6 ， f(1)=10 ， f(3)=46 ， f(4)=82 ，f(6)=212 ，求函数的四 均差f(0,1,3,4,6) 和二 均差f(4，1， 3)13.将 分区 8 等分，用梯形求 公式 算定 分31x 2 dx ， 算 程保留4 位小数114. 用牛 法求115 的近似 ，取x=10 或 11 初始 ， 算 程保留4 位小数四、 明 (本 10 分 )15. 明求常微分方程初 yf ( x, y)y( x0 )y0在等距 点a=x0<x1< <xn=b 的数 解近似 的梯形公式 hy(xk+1) yk+1=yk+f(xk,yk)+ f(xk+1,yk+1)2其中 h=xk+1 xk(k=0,1,2, n 1)计算机数学基础 (2)数值分析试题答案一、 (每小 3分，共15 分 )1. A2. B3. A4. B5. D二、填空 (每小 3 分，共15分 )6. 0.05x2 +0.005x17.3次多 式8. b a9.(x) r <1h10. yk+ f ( xk , yk ) f ( xk 1 , yk 1 ) hf(xk1, y k 1 ) 2三、 算 (每小 15 分，共 60 分 )11. 写出迭代格式6x1( k 1)00.375x2(k )0.25x3(k )2.5x2( k 1)0.363 6x1( k)00.0909x3(k )3x3( k 1)0.5x1( k )0.25x2(k)03X(0)=(0,0,0) T.x1(1)00.37500.2502.52.5x2(1)0.363 6000.090 9033x3(1)0.500.250033得到 X(1) (2.5， 3， 3)Tx1( 2)00.37530.2532.52.875x2(2)0.363 62.500.090 9332.363 7x3(2)0.52.50.253031.000 0得到 X(2)=(2.875 ，2.363 7， 1.000 0)Tx1( 3)00.3752.363 70.2512.53.136 4x2(3)0.363 62.87500.090 9132.045 6x3(3)0.52.8750.252.363 7030.971 6得到 X(3)=(3.136 4 ， 2.045 6， 0.971 6) T.12. 计算均差列给出xkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/151f(0,1,3,4,6)=15f(4, 1, 3)=613. f(x)= 1 x2,h=20.25 分点 x0=1.0，x1=1.25 ，x2=1.5 ，x3=1.75 ，x4=2.0，x5=2.25，x6=2.50 ，8x7=2.75， x8=3.0.函数值： f(1.0)=1.4142， f(1.25)=1.600 8 ， f(1.5)=1.802 8 ， f(1.75)=2.0156 ， f(2.0)=2.2361，f(2.25)=2.462 2 ， f(2.50)=2.692 6 ， f(2.75)=2.926 2 ，f(3.0)=3.162 3 f (x)dxh f ( x0 )f (x8 )3122( f ( x1 )f ( x2 )f ( x3 )f ( x4 ) f ( x5 )f ( x6 ) f ( x7 ) (9 分 )=0.25 1.414 2+3.162 3+2 (1.600 8+1.802 8+2.015 62+2.236 1+2.462 2+2.692 6+2.926 2)=0.125 (4.576 5+2 15.736 3)=4.506 1 14. 设 x 为所求，即求 x2 115=0 的正根 f(x)=x2 1157因 f (x)=2 x，f (x)=2 ， f(10)f (10)=(100 115) 2<0， f(11)f (11)=(121 115) 2>0取 x0=11有迭代公式xk+1=xkf ( xk )xk2115xk115f ( xk )= xk2xk2(k=0,1,2, )2xk11115x1=2 10.727 321110.727 3115x2=210.727 3210.723 8115x3=210.723 82x* 10.723 8 10.723 8 10.723 8四、 明 (本 10 分 )15. 在子区 xk+1,xk上， 微分方程两 关于x 分，得xk 1y(xk+1) y(xk)=f ( x, y(x)dxxk用求 梯形公式，有hy(xk+1) y(xk)= f ( xk , y( xk )f ( xk 1, y( xk 1 )2将 y(xk),y(xk+1)用 yk,yk+1 替代，得到hy(xk+1) yk+1=yk+f(xk,yk)+ f(xk+1,yk+1)( k=0,1,2, ,n1)2数值分析期末试题一、填空 （ 21020 分）152（ 1)设 A210， A_13_。382（ 2)2 x15x 21迭代法的迭代矩 是 BJ02.5 于方程 10x14x 2， Jacobi2.5。30（ 3)3 x*的相 差 是 x *的相 差的1 倍。38（ 4）求方程 xf ( x) 根的牛顿迭代公式是xn 1xnxnf ( xn ) 。1f ( xn )（ 5）设 f ( x)x 3x1，则差商 f 0,1,2,31。（ 6）设 nn 矩阵 G 的特征值是1 ,2 ,n ，则矩阵 G 的谱半径(G)maxi。1 in（ 7）已知 A12，则条件数 Cond( A)901（ 8）为了提高数值计算精度，当正数 x 充分大时 , 应将 ln( xx 21) 改写为ln( xx 21)。（ 9） n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n1 次。（ 10）拟合三点 ( x1 , f ( x1 ) ， ( x2 , f ( x2) ， ( x3 ,f ( x3 ) 的水平直线是 y13f ( xi ) 。3 i12x1 x2x31二、（ 10 分）证明：方程组x1x2x31使用 Jacobi迭代法求解不收敛性。x1x22 x31证明： Jacobi迭代法的迭代矩阵为00.50.5BJ1010.50.50BJ 的特征多项式为0.50.5det(IB j )11(21.25)0.50.5BJ 的特征值为10 ，21.25i，31.25i ，故(BJ )1.25 1，因而迭代法不收敛性。三、（ 10 分）定义内积( f , g)1f ( x) g( x)dx0试在 H 1Span 1, x中寻求对于 f ( x)x 的最佳平方逼近元素p( x) 。解：0 ( x)1 ， 1 ( x )x，( 0 ,0 )dx1 ，(1 ,0 )xdx1，(1 , 1 )1x 2 dx1，(0 , f )xdx2，1110020303912( 1 , f )xxdx。05法方程11c022311 c12235解得 c0412， c1。所求的最佳平方逼近元素为1515p x412 x ，0x 1()1515四、（ 10分）给定数据表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。解 : y( x) c0c1 x c2 x 2c3 x 31248501001111010034A1000， ATA034011111003401301248AT y( 2.9,4.2,7,14.4)T法方程AT AcAT y的解为 c00.4086 ， c10.39167 ， c20.0857 ， c30.00833得到 三次多项式y( x )0.4086 0.39167 x0.0857 x 20.00833 x 3误差平方和为3 0.000194五. (10 分) 依据如下函数值表x0124f (x)19233建立不超过三次的Lagrange插值多项式，用它计算f (2.2) ，并在假设f( 4 )() 1下，x10估计计算误差。解:先计算插值基函数l0 ( x)( x 1)( x 2)( x 4)1 x 37 x 27 x 1(01)(02)( 04)884l1 ( x)( x 0)( x 2)( x 4)1 x 32 x28 x(10)(12)(14)33l2 ( x)( x 0)( x 1)( x 4)1 x 35 x 2x(20)( 21)( 24)44l3 ( x)( x 0)( x 1)( x 2)1x31 x 21x(4 0)( 41)( 4 2)24812所求 Lagrange插值多项式为311 x 345 x 2 1 xL3 ( x)f ( xi )l i ( x)l 0 ( x) 9l1 ( x)23l 2( x)3l 3 ( x)1 从 而i 0442f (2.2) L3 (2.2)25.0683 。据误差公式R3 ( x)f (4 ) () ( xx0 )( x x1 )( xx 2 )( xx 3 ) 及假设f ( 4 ) ( x )1 得误差4!估计：R3 ( x)f ( 4 ) ( )0)(2.2 1)( 2.22)(2.2 4)10.0396( 2.20.95044!4!六. (10 分) 用矩阵的直接三角分解法解方程组1020x150101x 231243x 3170103x47解 设1020110200101l 211u22u23u241243l 31l321u33u340103l 41l42l43 1u44由矩阵乘法可求出uij 和 l ij1111l21101l31l 321121l41l 42l4310 1 0 110201020u22u23u24101u33u3421u442解下三角方程组1y1501y23121y3170101y47有 y1 5 ， y23 ， y3 6 ， y44 。再解上三角方程组1020x15101x 2321x 362x 44得原方程组的解为x1 1 ， x2 1 ， x32 ， x42 。七. (10 分)试用 Simpson 公式计算积分21e x dx1的近似值 ,并估计截断误差。解：111221 ( e 4e1.5e2 )2.0263e x dx6111236241( 4)e xf(8x7x6x5xmax f (4) ( x)f ( 4) (1)198.431 x2截断误差为R2(21)5(4 )( x)0.068902880max f1x 2八. (10 分)用 Newton 法求方程 x ln x2 在区间 ( 2,xkxk 18 。) 内的根 , 要求10xk12解：此方程在区间 ( 2,) 内只有一个根 s ，而且在区间（ 2， 4）内。设f ( x)xln x 2则f ( x)111，f ( x)2xxNewton 法迭代公式为x k 1xkln xk2xk (1 ln xk)0,1,2,xk1xk 1， k1xk取 x03 ，得 sx43.146193221 。九 . (10 分) 给定数表x-1012f ( x)10141615f (x)10.1求次数不高于 5 的多项式 H 5 ( x) ，使其满足条件H 5 ( xi )f ( xi ), i0, 1, 2, 3H 5 ( xi )f ( xi ),i 0, 2其中 xi1 i, i 0, 1, 2, 3 。解：先建立满足条件p3 ( x)f ( xi ) ， i0,1,2,3的三次插值多项式p3 ( x) 。采用 Newton 插值多项式p3 ( x)f ( x0 ) f x0 , x1 ( x x0 )f x0 , x1 , x2 ( xx0 )( x x1 ) +f x0 , x1 , x 2 , x 3 ( x x 0 )( x x1 )( xx2 )104( x1)( x 1) x11)( x 1) x( x61419 xx 21 x 366再设H 5 ( x)p3 ( x )(ax b)( x1) x( x 1)( x2) ，由13H 5 (1)p3( 1) (a b)(6)1H 5(1)p3(1)(ab)(2)0.1得ab118ab1760解得 a59， b161360。360故所求的插值多项式H 5 ( x)1419xx 21x 31(16159x ) x( x 21)( x2)6636014