天津科技大学线性代数2008~2009(A)试题及部分答案

2008-2009学年第二学期本科试卷 学 院: 专 业: 学号: 姓名: 装订线 学院课程名称:线性代数(A）题号一二三四五六七八九总成绩得分阅卷人复核人得分一、填空题（共15分，每小题3分）1. 设方阵，则行列式 .2. 元线性方程组无解的充分必要条件是 .3. 设向量能由线性表示，且表示法唯一，则向量组的秩为 .4. 设阶方阵满足，则的所有可能的特征值是 .5. 设为阶实对称矩阵，分别是矩阵属于不同特征值的特征向量，则内积 .得分二、选择题（共15分，每小题3分）1. 设三阶行列式，元素的余子式为，则方程的解为（ ）.(A) ； (B) ； (C) ； (D) .2. 设、为两个阶反对称矩阵，则下列说法错误的是（ ）.(A) 是反对称矩阵； (B) 是反对称矩阵； (C) 是反对称矩阵； (D) 是反对称矩阵的充分必要条件是.3. 向量能由线性表示是向量组线性相关的 ( ).(A) 必要条件； (B) 充分条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分也非必要条件.4. 下列所给矩阵中为正交矩阵的是（ ）.(A) ； (B) ； (C) ； (D).5. 设、为阶方阵，若存在可逆矩阵，使得，则 ( ).(A) 且； (B) 但；(C) 且；(D) 且.得分三、（10分）求解矩阵方程，其中，.得分四、（10分）求矩阵的特征值和特征向量.得分五（10分）求非齐次线性方程组的通解（用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解）. 解 对方程组的增广矩阵施行行的初等变换： 可见，齐次方程组的基础解系中含有3个解向量.矩阵所对应的方程组为 令得特解基础解系为 故原方程组的通解为 其中为任意常数.得分1. 六、（12分）设，求.1. 解：得分七、（8分）设向量组线性相关，其中任意个向量均线性无关，证明存在一组全不为零的数，使.证明 因为线性相关，所以存在不全为零的数，使2分假设，则6分由于为个向量，由题设知它们线性无关.所以同时为零，即全为零与它们不全为零相矛盾.9分故.10分得分八、（8分）用施密特正交化方法把向量组 ，标准正交化.得分1. 九、（12分）求向量组， ，的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.2. 解：对进行初等行变换，得于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为，且有，.第 7 页 （共 7 页）