随机变量的数字特征()

第四章 随机变量的数字特性一.考研内容提纲1随机变量的数学盼望及性质(1)离散型随机变量及其函数数学盼望的定义;(2）持续型随机变量及其函数数学盼望的定义；(3)性质：(）线性性质:设、是随机变量,为常数,则；(ii）若、互相独立，则随机变量的方差及性质(1)随机变量方差及原则差的定义;（)性质（i)设是常数，则，特别地 ()若、互相独立，则（可推广到有限的情形)重要分布随机变量的盼望和方差（1)分布：,(）二项分布:，（3）Posson分布：,(4）几何分布：，(5）超几何分布：，（6）均匀分布:,（7）正态分布:,（8)指数分布:，二维随机变量的协方差、有关系数和不有关(1)协方差、有关系数和不有关的定义：（)性质：（)协方差的性质: ;；。(i)有关系数的性质: ； 若、互相独立，则；反之否则。 5矩的概念和关系6正态分布的几种重要成果(）设、互相独立,且都服从正态分布,则、的任一线性组合(不全为零)仍服从正态分布,且 ；（2）服从二维正态分布。则、不有关、互相独立；(3)服从二维正态分布对于任意不全为零常数，服从一维正态分布;（4）设、互相独立,且都服从正态分布,则服从二维正态分布；(5）若一多维随机变量是另一多维正态随机变量的线性变换,则该多维随机变量是多维正态随机变量。二考研题型解析1选择题例1 已知随机变量服从二项分布，则二项分布的参数的值为 （ ）。（A) （B） （） （D）解应选（)。例2 已知离散型随机变量的也许取值为,则相应于的概率为( )。（A) (B） （) ()解应选(）。例3 设随机变量的分布函数为，其中为原则正态的分布函数，则（ ）。（)0 （） （C） （）1解 应选(C）。例4 设随机变量独立同分布，且方差,令，则( ）。(A） （B) （C） （D）解应选（A)。例5 设随机变量和独立同分布,记 ，则随机变量和（ )。(A)不独立 (B）独立 （C）有关系数不为零 (D)有关系数为零解应选(D)。例6 设随机变量和的方差存在且不等于零,则是和( )。（A)不有关的充足条件，但不是必要条件 (B）独立的充足条件，但不是必要条件()不有关的充足必要条件 （）独立的充足必要条件解 应选（C)。例7 设随机变量与独立同服从上的均匀分布,则（ ）。（A） （) (C) （D)解 应选（C）。例8 设随机变量，且有关系数,则( )。（A） （B） （) （D） 解 应选(D)。例9 设随机变量与互相独立,且与存在,记,则（ ）。(A） (B) (C） (D）解 应选(B）。由于，,因此故选（B)。例1 将长度为1的木棒随机地截成两段，则两段长度的有关系数为( )。(A) () (） (D)解 应选(D)。设分别表达所截成两段木棒的长度,则，即，从而,故选(D)。例11 设持续型随机变量与互相独立,且方差存在，其概率密度分别为与。随机变量的概率密度为,随机变量。则( )。 (A) （B) （C) (D)解 应选（D)。由于因此又与互相独立,且方差存在，故由于，事实上假设，则,从而,即，不是不有关，这与，互相独立矛盾，因此，从而，故选()。2填空题例 已知随机变量的概率密度函数为,则的盼望为 ,方差为 。解 应填。例2 设表达10次独立反复射击中命中目的的次数,每次射击目的的概率为，则的数学盼望 。解 应填。例3 设随机变量,且已知，则 。解 应填。例4 设随机变量服从参数为的指数分布,则 。解应填。例5 设一次实验成功的概率为,进行100次独立反复实验,当 时，成功次数的原则差的值最大，其最大值为 。解应填，。例6 设随机变量，且，则 ； 。解 应填,。例7 设随机变量的概率密度为,已知,则 ， ， 。解 应填12,12，3。例8 投掷枚骰子，则浮现点数和的数学盼望为 。解应填。例9 设，则 。解 应填。例10 设和是两个互相独立同服从正态分布的随机变量，则随机变量的数学盼望 ；方差 。解 应填, 。由于和是两个互相独立同服从正态分布,因此，从而,于是，又，因此。例1 设随机变量服从原则正态分布,则 。解 应填。由于的概率密度为，因此例12 设随机变量独立同分布，,则行列式的数学盼望 。解 应填0。例13设随机变量的概率分布为，则 。解 由于,故,从而的分布律为即服从参数为1的Pisson分布,故,于是。例4设的联合分布律为 1.00.185008.32.20则 ， 。解 应填,。例15 设二维随机变量服从，则 。解 由于，因此互相独立,且，,从而。3解答题例 设是互相独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布律为,又设,，(）写出二维随机变量的联合分布律；()求出随机变量的数学盼望。解 (i）和的也许取值为。由于总有,故故的联合分布律为 231033(ii)由（i)中的联合分布律可得的边沿分布律123故的数学盼望。例 设某种商品每周的需求量是服从区间上均匀分布的随机变量,而经销商店进货数量为区间中的某一整数,商店每销售单位商品可获利元，若供不小于求则削价解决,每解决1单位商品亏损元,若供不应求，则可从外部调剂供应,此时单位商品仅获利30元，为使商店所获利润盼望值不少于280元,试拟定最小的进货量。解 设进货量为,则利润为盼望利润依题意，有，,解之得,故最小进货量为1单位。例3 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件不合格品，乙箱中仅有3件合格品,从甲箱中任取3产品放入乙箱后,求:（i）乙箱中次品件数的数学盼望;（i)从乙箱中任取一件产品是次品的概率。解 (i)的也许取值为0,1,3，的概率分布为，即0123故（)设表达事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式，有例 设二维随机变量的概率分布为 01且,求（i)常数;()。解 (i）,由,解得；再由,得。（i)由的概率分布可得的分布律分别为1001，,，故。例 箱中装有6个球,其中红、白、黑球的个数分别为1,2，个，现从箱中随机地取出2个球，记为取出的红球数,为取出的白球数。（i）求随机变量的概率分布;（i）求。解 ()的也许取值为,1,的也许取值为0，1，2，即的概率分布为 010(ii)由的概率分布可得的分布律分别为0101201,，故 例 设随机变量与的概率分布分别为且。（i)求二维随机变量的概率分布；（ii)求的概率分布;（iii)求与的有关系数。解 (i）由，得，因此故的概率分布为001(i)的也许取值，由的概率分布可得的概率分布为（iii）由及的概率分布，得，,因此，从而。例7 假设二维随机变量在区域上服从均匀分布,记，（)求和的联合分布;(ii）求和的有关系数 。解 (）由于二维随机变量在区域上服从均匀分布,故其联合概率密度为 和的也许取值为0，1即的联合分布律为 010(ii）由的联合分布律得的分布律分别为001故 从而 因此 例8 设随机变量的概率密度为，令，为二维随机变量的分布函数,求(i)的概率密度；(ii）；(）。解 (i)先求的分布函数当时,;当时，；当时,;当时，。再求的概率密度时。；当时,；当时,当时,，故的概率密度为（ii)，故 。(ii)例9 设二维随机变量的概率分布为 0000.0.00.1其中为常数，,记,求（i） 的值；(i）的概率分布;（ii)。解 （i） 由联合概率分布律的性质知，即由,得，即再由,即解以上有关的三个方程得(ii）的也许取值为0120.20.1.3301(ii)例10 设是随机事件，且，令,求(）的联合分布律;（i)；(i）分布。解(i）的也许取值为0，1，由题设,，故,即的联合分布律为 0101(i）由于都服从分布，因此，于是,又，故,从而(ii）的也许取值为。即的分布律为02例1 设随机变量的概率密度为,求（i);（i）,问与否有关;(iii）问与否独立,为什么？解 （i）（i)由于，因此从而不有关。（iii)由于，但,即事件与不独立，故不独立。例12 设随机变量,与的有关系数,令，求(i)；(ii)。解 （)（i),从而。例13 设随机变量与在以点为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量的方差。解设,依题设的联合概率密度为因此 同理可得 而 因此于是例14 设二维离散型随机变量的概率分布为22(i)求;(ii)求。解(i)由的概率分布得(ii）由的概率分布可得，的概率分布分别为010112因此,，,从而，又,故。例15 设随机变量与互相独立，且都服从参数为1的指数分布,记,。（i）求的概率密度;(i）求。解 (）由题设知与的分布函数均为由于与互相独立,因此的分布函数为故的概率密度为（ii）解法一：由于与互相独立，因此的分布函数为故的概率密度为因此解法二:由于，因此例16 设随机变量与具有相似的分布，且的分布律为,与的有关系数,试求:(i)的联合分布律；（ii）。解(1),的也许取值为0,且,，解之得从而即的联合分布律为 11（2）