高考一轮数列复习教案

数列第一节数列的概念与简朴表达法基本知识梳理:1数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：数列：按照 排列的一列数.数列的项：数列中的 .(）数列的分类:分类原则类型满足条件项数有穷数列项数 无穷数列项数 项与项间的大小关系递增数列an1 n其中n*递减数列an+1 an常数列a1()数列的通项公式:如果数列an的第n项与 之间的关系可以用一种式子来表达,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.2数列的递推公式：如果已知数列an的首项(或前几项），且任一项a与它的前一项a1（)(或前几项)间的关系可用一种公式来表达,那么这个公式叫数列的递推公式.数列是按一定“顺序”排列的一列数，一种数列不仅与构成它的“数”有关,并且还与这些“数”的排列顺序有关.2.易混项与项数两个不同的概念,数列的项是指数列中某一拟定的数，而项数是指数列的项相应的位置序号试一试1已知数列n的前项为1,3,，1,写出数列an的一种通项公式为_.2已知数列an的通项公式是a=则a4·a3=_.1.辨明数列与函数的关系:数列是一种特殊的函数,即数列是一种定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所相应的一列函数值，就是数列2明确an与Sn的关系:a=练一练1若数列an的前n项和S=n10n(n=1,2，3，)则此数列的通项公式为= 2已知数列n的通项公式为anp，且2，a4，则a8=_.考点一由数列的前几项求数列的通项公式1.下列公式可作为数列an:，2,1,2,1,2，的通项公式的是( )Aan=1.an= Can= Dan=2根据数列的前几项,写出各数列的一种通项公式:（）4，6,8,10,;(2),，-,;（3)，b,a，,a,b,(其中a,b为实数）;（4)9,99,99,9 99，.类题通法 用观测法求数列的通项公式的技巧（）根据数列的前几项求它的一种通项公式,要注意观测每一项的特点,观测出项与n之间的关系、规律,可使用添项、通分、分割等措施,转化为某些常用数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用(-1)n或(1)n1来调节（)根据数列的前几项写出数列的一种通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想.考点二由n与Sn的关系求通项an典例 已知下面数列an的前n项和Sn,求n的通项公式：(1)Sn2n2-3n；（2）S3nb.类题通法已知数列an的前n项和,求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先运用aS1求出;(2)用n-替代Sn中的n得到一种新的关系,运用nnSn1(2)便可求出当n2时an的体现式；(3）对=时的成果进行检查，看与否符合时an的体现式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应当分1与n2两段来写针对训练已知各项均为正数的数列an的前n项和满足Sn1，且6Sn（a+1)(an+2)，nN*，求的通项公式.考点三由递推关系式求数列的通项公式递推公式和通项公式是数列的两种表达措施，它们都可以拟定数列中的任意一项，只是由递推公式拟定数列中的项时，不如通项公式直接.归纳起来常用的命题角度有：(1)形如an1anf(n)，求an；(2)形如an1anf(n)，求an；(3)形如an1AanB(A0且A1)，求an.角度一 形如an+1=an(n),求a1.(·大纲全国卷)已知数列an中，a11，前n项和Sn=an.(）求a2，a3;(2)求a的通项公式.角度二 形如an+1+f()，求an2 已知a1=2,n1n+n2,求n.角度三形如n+1=AanB(A0且A1），求an已知数列an满足a11,an1an,求an.类题通法由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an+=anf(n）或a+1f(n）·a,则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，此外,通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二），注意:有的问题也可运用构造法,即通过对递推式的等价变形，(如角度三)转化为特殊数列求通项.课堂练通考点1数列1，,，的一种通项公式an是()A. B C. .数列n的前n项积为2,那么当n2时，an（ )A2n1 B2 . D.3已知数列n满足st=asat(s,tN*)，且=2，则a8=_.4.已知数列n中,1=1，a1(-1)n(a+1）,记n为an前n项的和，则S2 013_5已知数列an的前n项和Sn=2，数列bn的前n项和T2-n.求数列an与n的通项公式6在数列,0,，中,0.08是它的第_项第二节等差数列及其前n项和1等差数列的有关概念(1)定义:如果一种数列从 ,每一项与它的前一项的差都等于同一种常数,那么这个数列就叫做等差数列符号表达为 (nN*，为常数)(2)等差中项:数列a，A,b成等差数列的充要条件是A，其中 叫做，b的 2等差数列的有关公式（)通项公式:an= ()前n项和公式：Sn= 要注意概念中的“从第2项起”.如果一种数列不是从第项起,而是从第3项或第4项起,每一项与它前一项的差是同一种常数，那么此数列不是等差数列2.注意辨别等差数列定义中同一种常数与常数的区别试一试在等差数列an中，已知a4a8=,则该数列前11项和S1(）A.58 8 C.43 .2已知a是等差数列,a11，公差d0，Sn为其前项和,若a1,a2，成等比数列，则S8_.等差数列的四种判断措施(1)定义法：an+1an=（d是常数）n是等差数列.(2）等差中项法:2an+a2(nN)an是等差数列(）通项公式:an=pnq(p，q为常数)a是等差数列.(4）前n项和公式:n=2Bn(、B为常数）a是等差数列2.巧用等差数列的常用性质(1）通项公式的推广：am+(nm）d，(n，mN*)(2)若a为等差数列，且kl=m+n,（k，l,m，N）,则akal=ama.()若a是等差数列，公差为d,则ak,akm,ak2m,（,N*)是公差为d的等差数列.()数列Sm，2Sm,Sm-S2m,也是等差数列. 3.活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为1和d等基本量,通过建立方程(组)获得解练一练设Sn为等差数列n的前n项和,4a3,a7=2,则a9=( ).6 B4 C.-2 D22已知等差数列an的前n项和为Sn,45,S5=55,则数列n的公差是( )A B C.- D.-考点一等差数列的基本运算1.(·全国卷)设等差数列an的前n项和为S，若Sm1，Sm=0,S+=3，则=( ）A.3 4 C.5 62已知an为等差数列，S为其前n项和.若a=,S=a3,则a2=_Sn_3已知等差数列an中，1，3.(1)求数列a的通项公式;（2)若数列a的前k项和k-35，求的值.类题通法1.等差数列的通项公式及前n项和公式共波及五个量a，an,d,n,Sn,知其中三个就能求此外两个，体现了用方程组解决问题的思想.数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表达已知和未知是常用措施.考点二等差数列的判断与证明典例已知数列a的前项和为Sn,且满足a1,a=2nSn(2且nN*).(1)求证：数列是等差数列.（2）求Sn和an.若将条件改为“a=2,Sn(n2)”,如何求解.类题通法1.判断等差数列的解答题,常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法重要合用于选择题、填空题中的简朴判断.2用定义证明等差数列时,常采用两个式子n+1=d和anan-d，但它们的意义不同,后者必须加上“n2”，否则n1时，a0无定义针对训练在数列an中，1=-3，a=2an12n+3(n2，且n*)（1） 求a2，a的值;（2）设b(nN*),证明：bn是等差数列.考点三等差数列的性质及最值典例 （）(·武昌联考)已知数列n是等差数列，a3+a5=105,a2a=9,n的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的是（ )A1 B.9 C20 D1(2)设数列an,bn都是等差数列，若11=，a3+b3=21，则a5+b_.类题通法1.等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列an中，aman（m-n)d=d(n),其几何意义是点(，)，（m,)所在直线的斜率等于等差数列的公差.(）和的性质:在等差数列a中,Sn为其前n项和,则2n=(a1a2n）=n(a+a);S2-1(2n1)n.2求等差数列前n项和S最值的两种措施(）函数法：运用等差数列前n项和的函数体现式an2+bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的措施求解(2)邻项变号法：a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn获得最大值为S;当a<,d>0时，满足的项数m使得Sn获得最小值为Sm针对训练1.设数列an是公差d<0的等差数列，Sn为其前n项和，若S5110d,则S取最大值时，n( ).5 B6 C5或6 D6或.(·广东高考)在等差数列a中,已知a3a8=10，则3aa7=_.课堂练通考点1.(·海淀质检）等差数列中,a2=3，a34=9,则aa6的值为( ).14 .18 C1 D.272.设等差数列an的前项和为n，若a11a8=3,S118=3,则使an0的最小正整数n的值是( )A.8 B.9 10 D11.已知数列an为等差数列,Sn为其前项和，a-a5=,11=21，S=，则k=_.4.已知一等差数列的前四项和为24,后四项和为56，各项和为2,则此等差数列的项数是_.5各项均为正数的数列an满足a=4Sna1（N*),其中Sn为a的前n项和()求a1,2的值;(2)求数列an的通项公式第三节 等比数列及其前项和1.等比数列的有关概念(1）定义：如果一种数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于 （不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的 ，一般用字母q表达,定义的体现式为 ()等比中项:如果、G、b成等比数列,那么 叫做a与的等比中项.即:是a与b的等比中项a,，b成等比数列 2等比数列的有关公式(1)通项公式:a .(2)前n项和公式：Sn在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.在运用等比数列的前n项和公式时,必须对q1与q1分类讨论,避免因忽视=这一特殊情形导致解题失误.试一试1.（·江西高考)等比数列x，+3，6,的第四项等于( )A-2 B 12 D.24.若等比数列an满足2+420，a+a540，则公比q=_前n项和n=_等比数列的三种鉴定措施(1)定义：=q（q是不为零的常数,nN)an是等比数列.(2）通项公式：an=qn-（c、q均是不为零的常数，N*)an是等比数列.(3)等比中项法:aan·a+2（an·a1·20,nN)an是等比数列.2.等比数列的常用性质()若mnp+q=2k(m,n,p，q,kN*），则a·n=ap·aq=a;（2)若数列an、bn（项数相似)是等比数列，则an、a、n·b、()仍然是等比数列；（3)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一种等比数列,即n,a，an2,an+，为等比数列,公比为q;(4)公比不为-1的等比数列a的前n项和为Sn，则,n-Sn，SnS2n仍成等比数列，其公比为q，当公比为-1时,S，S2n-Sn，nS2n不一定构成等比数列3求解等比数列的基本量常用的思想措施()方程的思想:等比数列的通项公式、前n项和的公式中联系着五个量：a1，q，,n，Sn,已知其中三个量,可以通过解方程(组）求出此外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立有关与q的方程或者方程组，是解题的核心(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当q时，Sna1;当时,Sn；在判断等比数列单调性时,也必须对a1与分类讨论练一练1.已知等比数列a满足a1=2,3a5a，则a3的值为( ）A. 1 C.2 D.2已知数列an是公比q±1的等比数列,则在a+an1，a+1，,na这四个数列中,是等比数列的有(）A个 B2个 个 4个考点一等比数列的基本运算1.在等比数列a中,a=,前3项之和S2,则公比q的值为( )A.1. C1或- D.-1或2设首项为1,公比为的等比数列的前n项和为Sn，则( ).S=2an-1 BS=3n2 C.San .Sn=-n3设等比数列a的公比q<1,前n项和为Sn,已知a32，S45S,求n的通项公式类题通法1.对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行,在解方程组的过程中要注意“相除”消元的措施，同步要注意整体代入(换元)思想措施的应用在波及等比数列前n项和公式时要注意对公比与否等于进行判断和讨论考点二等比数列的鉴定与证明典例已知数列a的前n项和为Sn,且n+nn(1)设nan1,求证:c是等比数列；(2)求数列an的通项公式在本例条件下，若数列n满足=a1,b=an-n-1（2), 证明bn是等比数列.类题通法：证明一种数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其她措施只用于选择、填空题中的鉴定；若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在持续三项不成等比数列即可.针对训练已知数列a满足:a1=，(a0）,n+2·(其中p为非零常数,nN*).(1）判断数列是不是等比数列；(2）求a考点三等比数列的性质典例 （1)在等比数列中，已知a1aa1243,则的值为(） B9 C.27 D.()(·长春调研)在正项等比数列a中，已知a12a3=，4a562,an-1anan+=324,则n( )A11 1 C4 D.16类题通法等比数列常用性质的应用等比数列的性质可以分为三类:通项公式的变形,等比中项的变形，前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特性即可找出解决问题的突破口针对训练1.设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S312,则9S3等于()A12 B.3 C34 D32 已知a是公比为的等比数列，若a=6,则a1=_;+=_课堂练通考点1.已知等比数列n的公比为正数，且公比·=9a，a2，则a的值为( ).3 B C- D.2已知数列a满足an+1+n=0，a2，则an的前10项和等于( )A.-6(1-310) .(130) 3(-10) .3(1+30）.设等比数列n的各项均为正数，其前n项和为,若a=1,a4，k=6，则k=_.第一列第二列第三列第一行102第二行6144第三行9184已知数列an是等比数列,a1,2，a3依次位于下表中第一行,第二行，第三行中的某一格内,又a1，a2,a3中任何两个都不在同一列,则n_(nN)5设数列an的前n项和为，a1=,且数列Sn是以2为公比的等比数列.（)求数列n的通项公式;（2）求3+a21第四节数列求和1.等差数列的前项和公式Sn=na1+d；2.等比数列的前n项和公式S3.某些常用数列的前n项和公式(1）+2+3+4+n;(2)+5+2n1=2；(3)2+8nn2+n1.使用裂项相消法求和时,要注意正负项相消时，消去了哪些项,保存了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点2在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种状况求解试一试数列an的通项公式是an=,前n项和为9，则n等于（）.9 C10 D1数列求和的常用措施(1)倒序相加法:如果一种数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一种常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前项和即是用此法推导的(）错位相减法：如果一种数列的各项是由一种等差数列和一种等比数列的相应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和就是用此法推导的.(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的某些项可以互相抵消,从而求得其和.()分组求和法：一种数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列构成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减.(5）并项求和法:一种数列的前n项和,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如a=(1）n(n)类型，可采用两项合并求解.练一练1.若n=-2+3-45+(-1）n-1·n，则50=_.2.若数列an的通项公式为a2n+2n1，则数列a的前n项和为_.考点一分组转化法求和典例 (·安徽高考）设数列a满足a1=2，a2+a4=8,且对任意N*,函数f()=aa+n-an+1sin-an2cs x.满足f.(1)求数列a的通项公式；(2)若bn,求数列bn的前项和Sn类题通法分组转化法求和的常用类型()若anbn±cn,且n，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和；（2)通项公式为an的数列,其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和针对训练已知数列an的首项=,通项an2np+nq（nN*,p，q为常数),且,a4，a成等差数列.求：（）p,q的值;(2)数列an前n项和Sn的公式.考点二错位相减法求和典例设等差数列an的前项和为S，且S2,a2n=2a1.（1)求数列an的通项公式；(2）若数列bn满足+-，nN*，求bn的前n项和Tn类题通法用错位相减法求和的注意事项(1)要善于辨认题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形；()在写出“”与“qSn”的体现式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步精确写出“Sn-qSn”的体现式针对训练(·武昌联考)已知数列n的前n项和为Sn,且n2a-1；数列bn满足bn-1bnbnbn-1（n，*）,1.()求数列an,bn的通项公式;(2)求数列的前n项和Tn考点三裂项相消法求和裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于运用裂项相消的基本思想，变换数列an的通项公式，达到求解目的归纳起来常用的命题角度有：(1)形如an型；(2)形如an 型；(3)形如an型角度一 形如an=型1在等比数列a中，1>0,nN*，且a3a=8,又a、a的等比中项为1(1)求数列a的通项公式;（2)设blog4a,数列bn的前n项和为Sn，与否存在正整数k,使得+<对任意n恒成立.若存在,求出正整数k的最小值；不存在，请阐明理由角度二形如an 型2已知函数f（x)=xa的图像过点(4,)，令an=,nN记数列an的前n项和为S，则2 013( ）A.-1 B. C-1 D1角度三 形如=型 3.正项数列的前项和n满足：-(n2n-1)Sn(n2n）0.（)求数列an的通项公式an；（2)令b,数列b的前n项和为Tn.证明：对于任意的nN*,均有T<.运用裂项相消法求和的注意事项（1)抵消后并不一定只剩余第一项和最后一项,也有也许前面剩两项，背面也剩两项；(2）将通项裂项后，有时需要调节前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等如:若n是等差数列,则=,=.课堂练通考点1.数列，3，,，（2n1）,的前n项和Sn的值等于（ )n2+1 B2n2n1 n21- D.n2n+-2.数列an中，an+(-1)n=1，则数列a前1项和等于( )A6 B78 C8 .82.若数列an的通项公式是an=（-1)n·(n2)，则a1+a2+a10=( )A15 B2 C2 D.154.已知等比数列a中，a1=,4=81，若数列满足bnlg3a,则数列的前项和n_.5已知向量p（n,2n）向量q=(+1,a+1)，nN*，向量p与q垂直且a1=1.()求数列an的通项公式；(）若数列bn满足bn=log2an1,求数列an·bn的前项和S.