巧数图形

巧数图形数图形涉及:数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形等，这看似简朴，其实其中学问可大了为了能精确地数出成果,我们必须有顺序、有条理地数,既不能漏掉,也不能反复.只要我们掌握了数的措施，就能数得又对又快例.   下图中有多少条线段？     （1）思路分析：每条线段均有两个端点,可以根据左端点进行分类以为左端点的线段为A、AC，共有2条;以点为左端点的线段为B，只有条；以C点为左端点的线段不存在.因此共有2(条).答：图中共有3条线段 (）这题中左端点是A的线段有:A、A、AD、AE,共有4条;左端点是B的线段有BC、BD、E,共有3条;左端点是的线段有、CE，共有2条；左端点是D的线段有D;左端点是E的线段不存在.因此共有4+2+10(条)答:图中共有0条线段.例2.  数出下面图中共有多少条线段？      思路分析:线段有一种重要特性：线段都是笔直的.因此我们在数的时候,必须将这幅图提成四个部分，每一部分分别采用以线段左端点分类数的措施，然后把四部分算得成果加起来例题解答：第一部分从A到共有43+2+11条线段.第二部分从G到J共有4+3+2=10条线段.第三部分是FG一条线段第四部分是JK一条线段 1010+1=22（条)答：这幅图共有2条线段措施指引: 数线段可以根据左端点将线段分类，数出每一类有多少条线段,然后再相加得出线段的总的条数例3   一条线段上共有10个点，以这0个点为端点的不同线段共有多少条？ 思路分析：将这条线段上的1个点从左到右依次标为、 、 、 以为左端点的线段为 、 、 、 、 、 、 共有条； 为左端点的线段为、 、 、 ,共有8条；;以 为左端点的线段为 ,只有1条;以 为左端点的线段不存在因此，共有线段:98+21=(91)×÷2=45(条)答:一共有45条线段.措施指引: 一般地,如果线段上有几种点(其中n是不小于或等于2的自然数）,那么以这n个点为端点的线段共有:(n1）+(n2)+3+1=n×(n-1）÷2例4.   下面图形中有几种角?        思路分析:数角的个数为了不漏掉、不反复，也需要按一定的顺序去数，可以采用与数线段相似的措施以O为一边的角有：B、AOC、OD，共3个;以B为一边的角有:BOC、BOD,共个.以C为一边的角有:CO,只有1个. +21=6(个)答：图中共有6个角例5  数出下面图中共有多少个三角形?        思路分析：数三角形个数的措施与数线段的措施差不多以AB为边的三角形有:BD、ABE、ABC，共有3个.以为边的三角形有:AD、AC，共有2个.以AE为边的三角形有：E，只有1个.因此，图中一共有三角形：2+16(个）.我们还可以发现，可以抓住底边BC来考虑,底边BC中所涉及的每一条线段都正好相应一种三角形底边左端点是B的三角形共有BDA、BA、BC三个.底边左端点是D的三角形共有EA、DA两个.底边左端点是E的三角形只有EA一种.因此一共有三角形：3+26(个)措施指引:数角的个数和三角形个数这些基本图形时，所采用的措施与数线段的措施相似.即角的个数射线数×(射线数-1)÷2.即三角形个数就是底边上的线段数例6   数一数图中共有多少个三角形？       思路分析：我们可以将这幅图提成三个部分来数,即下面三幅图.       在ABC中,一共有431=15(个)三角形,在AD中，一共有5+3+2+15(个)三角形;在BDC中，一共有5个三角形.151+5=35(个)答：图中共有35个三角形.例.   图中共有多少个不同的三角形?         思路分析：将本题提成(1)、()两部分来数:第(1)部分中共有三角形：31=6(个）；第()部分中共有3216(个）三角形.因此,共有三角形6+612(个) 例8.   数出下图中共有多少个三角形？       思路分析：这题我们可以采用按基本图形组合的措施来数把图中最小的一种三角形看作基本图形.由一种基本三角形构成的三角形共有个；由两个基本三角形构成的三角形共有个;由四个基本三角形构成的三角形共有4个.因此：+1（个)，因此，图中共有1个三角形.例.   数出下面图形中共有多少个三角形?       思路分析：这题采用把其中最小的三角形作为一种基本图形,然后分类相加的措施.由一种基本三角形构成的三角形共有9个；由四个基本三角形构成的三角形共有3个;由九个基本三角形构成的三角形只有1个因此9+1=13(个),因此,图形中共有3个三角形例0     下面两幅图中各有多少个长方形?       思路分析:(1)中长方形都是竖向的,可以运用相应的措施来数.由于每个长方形都和底边上的一条线段相应,因此用数长边上的线段条数来数长方形的个数因此,图中长方形共有4+3+21=0(个）. ()我们可用按基本图形组合的措施来数.由一种基本长方形构成的长方形共有6个;由两个基本长方形构成的长方形共有7个;由三个基本长方形构成的长方形共有个；由四个基本长方形构成的长方形共有2个；由六个基本长方形构成的长方形有1个;因此，图中共有长方形+7+22+18(个)本题还可以结合数线段的措施，这题中长方形的长被提成了3段,线段总数为3+2+1=条,宽被提成了2段，线段总数为1=3（条).由此可见，长方形的个数=6×18(个)于是,可以整顿出数长方形个数的措施:长方形的个数等于原长方形长上的线段数乘以宽上的线段数.例11.      数出各图中正方形的个数.      思路分析:(1)中最基本的正方形有9个，即边长为1的正方形有9个(93×3);由个基本正方形构成的正方形,即边长为的正方形有个（4=2×)；由9个基本正方形构成的正方形,即边长为3的正方形有1个(11×1)因此共有正方形94+=4(个). (2)中边长为1的正方形有1个，即16=4×边长为2的正方形有9个,即9=×3;边长为3的正方形有4个,即42×2;边长为的正方形有1个，即1=1×1因此共有正方形有16+94+1=(个)因此，如果一种正方形的各边被提成几种等份,那么正方形的个数便是1×1+×23×+n×n.措施指引：对的数出图形的个数，一方面要弄清图形中涉及的基本图形是什么，有多少个然后再从各图形中所涉及基本图形的个数多少出发,依次数出它们的个数，并求出它们的和是多少有些图形被提成了几种部分,可以先从各部分的基本图形出发，数出所含图形的个数,再求各部分的总和.例12.   图中共有多少个正方形？       思路分析：将正方形分类,将每一类的总数相加,就可得到所有正方形的个数.由两块小三角形构成的正方形有4个;由四块小三角形构成的正方形有4个；由八块小三角形构成的正方形有1个；由十六块小三角形构成的正方形有个.由一、三、五、七、六、九、十、十一、十二、十三、十四、十五块小三角形不能构成正方形.因此,图中共有+1110(个)正方形例      数出图中共有多少个正方形？      思路分析：根据正方形边长的大小，我们将它们提成四类:第1类:边长为1的正方形有4个;第2类:边长为的正方形有13个;第3类:边长为的正方形有4个;第4类：边长为4的正方形有1个.因此图中共有2+13=42(个)正方形.这题如果把四条边长多余的8个小正方形去掉,很容易得出共有1×+2×2+3×3+×430(个）正方形，添上了去掉的小正方形后，这个小正方形还能再和其她图形构成4个新的正方形因此,图中共有08+442(个)正方形.例14.      下图中共有多少个长方形?    思路分析：我们可以先将大长方形中的小块编上号:      这5块都是符合规定的长方形.然后数由两小块拼成的长方形，共有4个，即，+,+；再数由三小块拼成的长方形,共有2个，即+,；没有由四小块拼成的长方形;最后数由小块拼成的长方形只有最大的一种因此,图中共有41=12(个)长方形例15.     数出下图中共有多少个三角形?      思路分析:一方面将大三角形中六小块分别编上号.通过观测，我们可以发现这小块中，和不是三角形，因此,由一块形成的三角形有个;由两块拼成的三角形有5个，即分别是+，+，+,+；由三块拼成的三角形有两个,分别为+，+;由四块拼成的三角形有个,即是+;没有由五块拼成的三角形;由六块拼成的三角形有1个,即最大的三角形因此，图中三角形一共有452+1+113（个).措施指引:数长方形、正方形、三角形以及某些不规则的图形都可以采用编号数图形的措施,就是将本来图中的每一小块都编上号，先看每一小块与否符合规定的图形,接着数由两个小块相拼成的图形中有几种是符合规定的图形,再依次数由三小块、四小块拼成的图形中各有几种是符合规定的图形,最后将每一步数得的成果加起来