第一讲凸函数与琴生不等式(带解答)

第一讲:凸函数与琴生不等式一、函数的凹凸性:定义:设持续函数的定义域为(a,b),如果对于（a，b)内任意两数x1，x2,均有则称为 (a，b)上的下凸函数.注:若把式的不等号反向，则称这样的为区间(a，b)上的上凸函数(或凹函数) 下凸函数的几何意义:过曲线上的任意两点作弦,则弦的中点必在该曲线的上 方(或曲线上）. 的二阶导数，则为下凸函数;的二阶导数,则 为上凸函数。常用的上凸（凹)函数,常用的(下)凸函数,二、琴生不等式性质:若在区间为下凸函数,则对，总有；当且仅当时取到等号。若在区间为上凸函数,则对，总有。当且仅当时取到等号。三、加权形式:附:应用,此时是下凸函数,可得倒数平方和的不等式,等号成立条件。而与此相应的另一种倒数和再平方的不等式,是运用调和平均和平方平均的关系，得到的，等号成立条件。常用不等式:例1 证明:(1) 在上是上凸函数(）在上是上凸函数(3) 上是下凸函数 证明:(1) 对(2) 对即:(3） 当时 （)即:.例2 设是锐角的三个内角,求证：例3 ,且a + b + c= 3，求证:.证明：设，则上的凹函数.由琴生： .例4 设是的三个内角,是非负常数，求的最大值。例5 用琴生不等式证明均值不等式,即:.证：设,则为上的上凸函数由琴生不等式：即例6 已知,求证:证: 例7 已知：求证：.例8 设均不小于0，证明：,其中,且.例9例10 (, 湖北)（)已知函数求函数的最大值;()设均为正数,证明:(i）若,则(ii）若，则。解：（）ma=f()0(）证明（i)令g(x)ln(x>),则g”(x）=g(x） 在（,+）上是凹函数,对于a(0, +）, (k1,2,，n)，由琴生不等式:（ii) 由(i)知，g()在 上是凹函数，由琴生不等式: 10 对于bk(0,1）,且 (*)例11 (,湖北题)(）已知函数，其中为有理数，且.求的最小值；()试用（)的成果证明如下命题:设,为正有理数. 若,则；（）请将（）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注:当为正有理数时,有求导公式.解析： (II） 证明：令(x)nx(>0）, 则g(x） 在上为凹函数(1题已证）0 当，中至少有一种为0时，则成立;0 若,>0时,由琴生不等式： ln综上，原不等式成立。(II)命题形式： 设 则证明：10当,a中至少有一种为0时，原不等式显然成立。20 当k>0时，由琴生不等式:综上,原不等式成立。 例12 设半径为的半圆上依次有个点线段的长度分别记为，求证：,其中例13 设是圆的内接边形,且点在此边形的内部。又设,其中求证: