2023年数学必修五第三章不等式单元质量评估二

学习必备 欢迎下载 第三章 单元质量评估(二)时限：120分钟 满分：150分 一、选择题(每小题 5 分，共 60 分)1若 ab0，则()A.1a1b B0abb2 D.baab 解析：abb2，故选 C.答案：C 2下列不等式中，解集为 R 的是()Ax24x40 B|x|0 Cx2x Dx2x140 解析：A 项 x2 时，x24x40，B 项 x0 时，不成立C项 x0 时不成立D 项，x2x14(x12)20.答案：D 3设 a2x2x1，bx2x，则()Aab Bab Cab Dab 解析：abx22x1(x1)20.答案：C 学习必备 欢迎下载 4满足不等式 y2x20 的点(x，y)的集合(用阴影表示)是()解析：取测试点(0,1)可知 C，D 错；再取测试点(0，1)可知 A错，故选 B.答案：B 5若 a，bR，则下列恒成立的不等式是()A.|ab|2|ab|B.baab2 C.a2b22(ab2)2 D(ab)(1a1b)4 解析：(ab2)2a2b22ab4 集合用阴影表示是解析取测试点可知错再取测试点可知错故选答案若则答案已知且那么下列不等式中正确的是解析三式相加可知学习必备欢迎值解析可行域为学习必备欢迎下载如图所示在点取得最小值在点取得最学习必备 欢迎下载 a2b2a2b24a2b22，当且仅当 ab 时取等号，a2b22(ab2)2.答案：C 6在 R 上定义运算，abab2ab，则满足 x(x2)0的实数 x 的取值范围为()A(0,2)B(2,1)C(，2)(1，)D(1,2)解析：根据定义得：x(x2)x(x2)2x(x2)x2x20，解得2x1，所以实数 x 的取值范围为(2,1)，故选 B.答案：B 7已知 a，b，cR，且 abbcca1，那么下列不等式中正确的是()Aa2b2c22 B(abc)23 C.1a1b1c2 3 Dabc(abc)13 解析：a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，三式相加可知2(a2b2c2)2(bcabac)，集合用阴影表示是解析取测试点可知错再取测试点可知错故选答案若则答案已知且那么下列不等式中正确的是解析三式相加可知学习必备欢迎值解析可行域为学习必备欢迎下载如图所示在点取得最小值在点取得最学习必备 欢迎下载 a2b2c21.a2b2c22ab2bc2ca12.(abc)23.答案：B 8 若不等式(13)x22ax33xa2恒成立，则 a 的取值范围为()A0a34 C0a34 Da34 解析：由题意得x22ax0 恒成立 所以 (32a)24a234，故选 B.答案：B 9已知变量 x，y 满足 x1，y1，xy30，目标函数是 z2xy，则有()Azmax5，zmin3 Bzmax5，z 无最小值 Czmin3，z 无最大值 Dz 既无最大值，也无最小值 解析：可行域为：集合用阴影表示是解析取测试点可知错再取测试点可知错故选答案若则答案已知且那么下列不等式中正确的是解析三式相加可知学习必备欢迎值解析可行域为学习必备欢迎下载如图所示在点取得最小值在点取得最学习必备 欢迎下载 如图所示：z 在 A点取得最小值，zmin3，z 在 B 点取得最大值，zmax5.答案：A 10若关于 x 的方程 9x(4a)3x40 有解，则实数 a 的取值范围是()A(，80，)B(，4 C(8,4 D(，8 解析：分离变量：(4a)3x43x4，得 a8.故选 D.答案：D 11设奇函数 f(x)在(0，)上为增函数，且 f(1)0，则不等式f x f xx0 的解集为()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(，1)(1，)D(1,0)(0,1)集合用阴影表示是解析取测试点可知错再取测试点可知错故选答案若则答案已知且那么下列不等式中正确的是解析三式相加可知学习必备欢迎值解析可行域为学习必备欢迎下载如图所示在点取得最小值在点取得最学习必备 欢迎下载 解析：f x f xx2f xx0 时，f(x)0，又 f(x)在(0，)上为增函数，f(1)0，0 x1.(2)当 x0，f(x)在(，0)上也为增函数，f(1)0，1x0，T1a1b1c，则()AT0 BT0 CT0 DT0 解析：解法 1：取特殊值，a2，bc1，则 T320，知三数中一正两负，不妨设 a0，b0，c0，则 T1a1b1cabbccaabc abc baabcabc2abc.ab0，c20，故 T0，即 x2x60，方程x2x60 有两个不相等的实数根分别为3,2.不等式x2x60 的解为3x2，函数的定义域为 x|3x2 答案：x|3xyz1，则 xyz，xy，yz，zx从大到小依次排列为_ 解析：取特殊值法，由 xyz1，可取 x4，y3，z2，分别代入得 xyz2 6，xy2 3，yz 6，zx2 2.故 xyz xy xz yz.答案：xyz xy xz yz 15已知不等式(xy)(1xay)9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为_ 解析：(xy)(1xay)1axyyxa1a2 a(a1)2，(a1)29，a4.集合用阴影表示是解析取测试点可知错再取测试点可知错故选答案若则答案已知且那么下列不等式中正确的是解析三式相加可知学习必备欢迎值解析可行域为学习必备欢迎下载如图所示在点取得最小值在点取得最学习必备 欢迎下载 答案：4 16(2012 江苏高考)已知正数 a，b，c 满足：5c3ab4ca，clnbaclnc，则ba的取值范围是_ 解析：由条件可得 3acbc5acbc4，bceac 令acx，bcy，则问题转化为约束条件为 3xy5xy4yex，求目标函数 zbayx的取值范围 作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分)，过原点作 yex的切线，切线方程为 yex，切点 P(1，e)在区域内故当直线 yzx 过点 P(1，e)时，zmine；当直线 yzx 过点 C(12，72)时，zmax7，故ba e,7 答案：e,7 集合用阴影表示是解析取测试点可知错再取测试点可知错故选答案若则答案已知且那么下列不等式中正确的是解析三式相加可知学习必备欢迎值解析可行域为学习必备欢迎下载如图所示在点取得最小值在点取得最学习必备 欢迎下载 三、解答题(共 70 分)17(本小题 10 分)已知 a，b 是不相等的两个正数，求证：(ab)(a3b3)(a2b2)2.证明：(ab)(a3b3)(a2b2)2(a4ab3ba3b4)(a42a2b2b4)ab(ab)2，a，b R且 ab，ab0，(ab)20，ab(ab)20.(ab)(a3b3)(a2b2)2.18(本小题 12 分)已知函数 f(x)3x2a(6a)xc.(1)当 c19 时，解关于 a 的不等式 f(1)0.(2)若关于 x 的不等式 f(x)0 的解集是(1,3)，求实数 a，c 的值 解：(1)由已知有：f(1)3a(6a)190，即 a26a160，解得：2a0 的解集是(1,3)可知：1,3 是关于 x 的方程 3x2a(6a)xc0 的两个根，则有 013a 6a313c3，集合用阴影表示是解析取测试点可知错再取测试点可知错故选答案若则答案已知且那么下列不等式中正确的是解析三式相加可知学习必备欢迎值解析可行域为学习必备欢迎下载如图所示在点取得最小值在点取得最学习必备 欢迎下载 解得：a3 3，c9.19(本小题 12 分)已知 1xy5，1xy3，求 2x3y的取值范围 解：解法 1：作出二元一次不等式组 1xy5，1xy3所表示的平面区域(如下图所示)考虑 z2x3y，把它变形为 y23x13z，得到斜率为23，且随 z变化的一组平行直线13z 是直线在 y 轴上的截距，当直线在 y 轴上的截距最大时，z 的值最小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数 z2x3y 取得最小值；当直线在 y 轴上的截距最小时，z 的值最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数 z2x3y 取得最大值 由图可知，当直线 z2x3y 经过可行域上的点 A时，截距最大，即 z 最小 集合用阴影表示是解析取测试点可知错再取测试点可知错故选答案若则答案已知且那么下列不等式中正确的是解析三式相加可知学习必备欢迎值解析可行域为学习必备欢迎下载如图所示在点取得最小值在点取得最学习必备 欢迎下载 解方程组 xy1，xy5，得 A的坐标为(2,3)，所以 zmin2x3y22335.当直线 z2x3y 经过可行域上的点 B 时，截距最小，即 z 最大 解方程组 xy3，xy1，得 B 的坐标为(2，1)，所以 zmax2x3y223(1)7.故 2x3y 的取值范围是5,7 解法 2：设 2x3ya(xy)b(xy)，则 2x3y(ab)x(ab)y，ab2，ab3，a12，b52，即 2x3y12(xy)52(xy)又 1xy5，1xy3，5212(xy)12，5252(xy)152.52x3y7，即 2x3y 的取值范围是5,7 20(本小题 12 分)已知 ，是方程 x2ax2b0 的两根，且 集合用阴影表示是解析取测试点可知错再取测试点可知错故选答案若则答案已知且那么下列不等式中正确的是解析三式相加可知学习必备欢迎值解析可行域为学习必备欢迎下载如图所示在点取得最小值在点取得最学习必备 欢迎下载 0,1，1,2，a，bR，求b3a1的最大值和最小值 解：a，2b，a ，b2.0 1,1 2，1 3,02.3a1，0b1.建立平面直角坐标系 aOb，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示 令 kb3a1，可以看成动点 P(a，b)与定点 A(1,3)的连线的斜率 取 B(1,0)，C(3,1)，则 kAB32，kAC12.12b3a132.集合用阴影表示是解析取测试点可知错再取测试点可知错故选答案若则答案已知且那么下列不等式中正确的是解析三式相加可知学习必备欢迎值解析可行域为学习必备欢迎下载如图所示在点取得最小值在点取得最学习必备 欢迎下载 故b3a1的最大值是32，最小值是12.21(本小题 12 分)某投资公司计划投资 A，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润 y1与投资金额 x 的函数关系为 y118180 x10，B 产品的利润 y2与投资金额 x 的函数关系为 y2x5，(注：利润与投资金额单位：万元)(1)该公司已有 100 万元资金，并全部投入 A，B 两种产品中，其中 x 万元资金投入 A产品，试把 A，B 两种产品利润总和表示为 x 的函数，并写出定义域；(2)试问：怎样分配这 100 万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？解：(1)其中 x 万元资金投入 A产品，则剩余的 100 x(万元)资金投入 B 产品，利润总和 f(x)18180 x10100 x5 38x5180 x10(x 0,100)(2)f(x)40(x105180 x10)，x 0,100，由基本不等式得：f(x)402 3628，取等号当且仅当x105180 x10时，即 x20.集合用阴影表示是解析取测试点可知错再取测试点可知错故选答案若则答案已知且那么下列不等式中正确的是解析三式相加可知学习必备欢迎值解析可行域为学习必备欢迎下载如图所示在点取得最小值在点取得最学习必备 欢迎下载 答：分别用 20 万元和 80 万元资金投资 A、B 两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为 28 万元 22(本小题 12 分)设不等式组 x0，y0，ynx3n所表示的平面区域为 Dn，记 Dn内的整点个数为 an(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)记数列an的前 n 项和为 Sn，且 TnSn3 2n1，若对一切的正整数 n，总有 Tnm，求实数 m 的取值范围 解：(1)由 x0，y0,3nnxy0，得 0 x1，解得 nTn1，且 T11T2T332，即 Tn的最大值为32.所以实数 m 的取值范围为32，)集合用阴影表示是解析取测试点可知错再取测试点可知错故选答案若则答案已知且那么下列不等式中正确的是解析三式相加可知学习必备欢迎值解析可行域为学习必备欢迎下载如图所示在点取得最小值在点取得最