椭圆性质总结及习题

椭 圆重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程；会用定义法、待定系数法求椭圆标准方程。 难点：椭圆标准方程的推导与化简；用椭圆的定义求椭圆的方程。1 椭圆的两种定义：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长的点的轨迹，即点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|；（时为线段，无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M=P| ，0e1的常数。（为抛物线；为双曲线）2 标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：（ab0）；焦点F1（c，0）， F2（c，0）。其中（一个）（2）焦点在y轴上，中心在原点：（ab0）；焦点F1（0，c），F2（0，c）。其中注意：在两种标准方程中，总有ab0，并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A0，B0，AB），当AB时，椭圆的焦点在x轴上，AB时焦点在y轴上。3参数方程 ：椭圆的参数方程 4.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：（ab0）有以下性质：坐标系下的性质： 范围：|x|a，|y|b； 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）； 顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；（半长轴长，半短轴长）； 准线方程：；或 焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0;平面几何性质： 离心率：e=（焦距与长轴长之比）；越大越_，是_。 焦准距；准线间距二、焦点三角形结论一：若、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，当点P位于_时最大，cos=_.|PF1|PF2|的最大值为_. 结论二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为_。三中点弦问题是椭圆的一条弦，中点M坐标为，则直线的斜率为 。四弦长问题. (1)斜率为的直线与圆锥曲线相交于两点，则所得的弦长 或 .(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为利用 ，往往比利用弦长公式简单。五X轴正半轴到椭圆的最短距离问题：已知椭圆，则点(m ，O)到椭圆的最短距离为：_.六过椭圆上点切线问题若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.习 题1、 求椭圆的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标。2、已知椭圆的焦点为和，P是椭圆上的一点，且是与的等差中项，则该椭圆的方程为_。3、 椭圆上的一点M到左焦点的距离为2，N是的中点，则ON的长是_。4、 如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是_。5、 过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P，为右焦点，若，则椭圆的离心率为_。6、 设是椭圆的两个焦点，以为圆心且过椭圆中心的圆与椭圆的一个焦点为M，若直线与圆相切，则该椭圆的离心率为_。7、点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为_. 8、（2009年上海卷理）已知、是椭圆（0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=_.9、（2009北京文）椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 .10、已知椭圆的左、右焦点分别为、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为_。 11、设点P（x，y）在椭圆，（1）试求点P到直线的距离d的最大值和最小值。(2) 求x+2y的最小值。12、已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则_。（A）1 （B） （C） （D）213、（2007四川理）设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围. 14、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，点（是其左顶点，点在椭圆上，且，（）求椭圆的方程；（）若平行于的直线和椭圆交于两个不同点，求面积的最大值，并求此时直线的方程 15、 已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线 交椭圆于不同的两点，（）求椭圆的方程；（）若，且，求的值（点为坐标原点）；（）若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值16、在直角坐标系中，点到F1、F2的距离之和是4，点的轨迹 与轴的负半轴交于点，不过点的直线：与轨迹交于不同的两点和（1）求轨迹的方程；（2）当时，求与的关系，并证明直线过定点 17、已知点是椭圆上的一点，,是椭圆的两个焦点,且满足.()求椭圆的方程及离心率; ()设点,是椭圆上的两点,直线,的倾斜角互补,试判断直线的斜率是否为定值?并说明理由. 18、已知椭圆(0)的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱的面积为4()求椭圆的方程；()设直线与椭圆相交于不同的两点已知点的坐标为(-，0)，点(0，)在线段的垂直平分线上，且=4求的值