向量组与线性方程组的解的结构

第 4章 向量组与线性方程组的解的结构 4.1向量组及其线性组合 4.2向量组的线性相关性 4.3向量组的秩 4.4 线性方程组的解的结构 即 矩阵 4.1向量组及其线性组合 4.1.1 n 维向量的概念 1 维向量的定义 n n 12, , , na a a n n i ia i i 个有次序的数 维向量，这 个数称为该向量的分量，第 个数 称为第 个分量（或第 个坐标） T 12( , , , )na a a 行向量 1 2 n a a a 列向量 1 n 即 矩阵 1n 2零向量 ( 0 , 0 , , 0 )0 3负向量 1 2 1 2( , , , ) , ( , , , )nna a a a a a 4向量的相等 12( , , , ) ,na a a 12( , , , )nb b b ( 1 , 2 , , ) iia b i n 5向量组 同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合称 为向量组 4.1.2 n 维向量的线性运算 1加法与数乘 12( , , , ) ,na a a 12( , , , )nb b b k为任意实 数，则 1 1 2 2( , , , ) nna b a b a b 12( , , , ) ,nk k a k a k a 2加法与数乘的运算规律（略） 注 :利用向量的运算 ,对于方程组 A xb 12( , , , )nA 1 2 , ( 1 , 2 , , ) j j j mj a a jn a 1 2 n x x x x 1 2 m b b b b 1 1 2 2 1 2( , , , )n n nA x x x xb b x = b 则 4.1.3 向量组的线性组合与线性表示 1.定义 2 (1) 给定向量组 12: , , , mA ,对于任何一组实数 12, , , mk k k ,表达式 1 1 2 2 mmk k k 称为向量组 A 的一个线性组合， 12, , , mk k k 称为该线性组合的系数 . (2)给定向量组 12: , , , mA 和向量 ,如果存在一组实数 12, , , mk k k ,使 1 1 2 2 mmk k k 则称 是向量组的线性组合，或称 可由向量组 线性表示 . A 2.定理 1 可由向量组 线性表示 的 充分必要条件 是 A 矩阵 12( , , , )mA 的秩等于矩阵 12( , , , , )mB 的秩 注：设 可由向量组 唯一线性表示 的 充分必要条件 是 A 12( , , , )mA 12( , , , , )mB ( ) ( )R A R B m 例 1 T T T T 1 2 3( 1 , 2 , 3 ) , ( 2 , 3 , 1 ) , ( 3 , 1 , 2 ) , (0 , 4 , 2 ) 试问 能否由 1 2 3, 线性表示？若能，写出具体表示式 . 解 : 1 2 3 1 2 3 0 ( , , , ) 2 3 1 4 3 1 2 2 B 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 ( ) ( ) 3R A R B 所以 能否由 1 2 3, 惟一线性表示，且 1 2 3 ( 2 , 3 , 0 ) , (0 , 1 , 2 ) , (0 , 7 , 4 ) 例 2 T T T T 2 0 0 1 0 0 ( , ) ( , , ) 3 1 7 0 1 0 0 2 4 0 0 1 BA 因为 , ( ) 2 , ( ) 3R A R B ,所以 , 不能由 线性表示 . 解 : 试问 能否由 1 2 3, 线性表示？若能，写出具体表示式 . 4.1.4 向量组的等价 1.定义 3 设两个向量组 12: , , rA , 12, : , , , sB 若向量组 中的每个向量都可由向量组 线性表示， 则称向量组 可由向量组 线性表示 . A A B B 若向量组 与向量组 可以互相线性表示， 则称向量组 与向量组 等价 . A A B B 2.定理 2 12: , , rA , 12, : , , , sB 12( , , )rA , 12, ( , , , )sB 设 向量组 与向量组 等价 A B 向量组 可由向量组 线性表示 A B ( ) ( , )R B R A B ( ) ( ) ( , )R A R B R A B 推论： 维向量组 4.2向量组的线性相关性 4.2.1线性相关与线性无关的定义 n 12: , , , mA 12, , , mk k k mmk k k 1 1 2 2 0 12 0mk k k 1.定义 4 设有 ,若存在一组不全为 使 称向量组 线性相关 ,否则称为线性无关 . 线性无关 ,则上式当且仅当 时才成立 12: , , , mA 12: , , , mA 2.由定义 4可知， (1) 仅含一个零向量的向量组必线性相关 ; (2) 仅含一个非零向量的向量组必线性无关 ; (3) 任何包含零向量在内的向量组必线性相关 ; (4) 向量组 12: , , , mA 线性相关 齐次线性方程组 mmx x x 1 1 2 2 0 有非零解 12( , ,) ,)( mR A R m 换言之 ,若 ,则 零的数 4.2.2 向量组线性相关的充分必要条件 定理 3 向量组 12: , , , mA 线性相关 ()R A m 12: , , , mA 线性无关 ()R A m 向量组 例 3 讨论向量组 1 2 3 2 1 3 3 , 2 , 2 1 1 1 的线性相关性 . 解 : 13 1 2 3 2 1 3 1 1 1 ( , , ) 3 2 2 3 2 2 1 1 1 2 1 3 rrA 2312 13 ( 1 )( 3 ) ( 2 ) 1 1 1 1 1 1 0 1 5 0 1 5 0 1 5 0 0 0 rrrr rr 由于 ( ) 2 3RA ,从而 1 2 3, 线性相关 . 4 5 3 , 1 2 1 , 2 3 2 321 321 , 3)( AR 321 , 例 4：已知向量组 ，问 是否线性相关 . ， 所以， 是线性无关 . 解： 100 110 211 100 211 312 412 523 312 A 321 , , 322 133 例 5：设向量组 线性无关，又设， 证明向量组 也线性无关 . 211 321 , 321 , 321 , kkk 0)()()( 332221131332211 kkkkkkkkk 0 0 0 32 21 31 kk kk kk 0321 kkk 证明：设有 使得 因为 线性无关，故有 此时，线性方程组只有零解 也即向量组 线性无关 . 321 , 定理 4 向量组 12, , , ( 2 )m m 线性相关 有一个 向量可以由其余 个向量线性表示 . 向量组中至少 1m 注：两个向量线性相关的充要条件是它们的对应分量成比例 . 4.2.3 线性相关性的判断定理 定理 5 （ 1）若 12, , , r 线性相关 ,则 11, , , , ,r r m 也线性相关 ; （ 2）线性无关向量组的任何部分组必线性无关 . 定理 6 12, , , r 线性无关 ,而 若 12, , , , m 线性相关 ,则 能由 12, , , m 线性表示，且表示式是惟一的 . 定理 7 设有两个向量组 12: ( , , , ) ( 1 , 2 , , )j j j r jA a a a j m 1 2 1: ( , , , , ) ( 1 , 2 , , )j j j r j r jB a a a a j m 若向量组 线性无关，则向量组 也线性无关； 若向量组 线性相关，则向量组 也线性相关 . A A B B 注 :向量组的线性相关与线性无关的概念可用于线性方程组 当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个 方程就是多余方程，此时称方程组（各个方程）是线性 相关的； 当方程组中没有多余方程，则称该方程组（各个方程） 是线性无关（或线性独立）的 . 4.3向量组的秩 4.3.1 向量组的极大无关组与秩的定义 1.定义 5 设有向量组 A ,如果在 中能选出 个向量 rA 12, , , r 满足 向量组 线性无关； 向量组 中任意一个向量都能由 线性表示 12, , , r 12, , , r A 那么称 是向量组的一个极大线性无关组，简称极 大无关组；极大线性无关组所含向量的个数 ,称为向量组 的秩 . 12, , , r r A 注 : (1) 只含零向量的向量组没有极大线性无关组 ,规定它的秩 为 0 (2) 任何非零向量组必存在极大无关组 (3) 向量组的极大无关组与向量组本身等价 (4) 线性无关向量组的极大无关组就是其本身 . (5) 向量组的极大无关组一般不是惟一的 .但每一个极大无 关组所含向量的个数是惟一的 ,等于向量组的秩 列即是列向量组的一个极大无关组， 4.3.2向量组的秩与矩阵的秩的关系 定理 8 矩阵的秩等于它的列向量组的秩 ,也等于它的行向量 组的秩 . rD A rD r rD r 结论 :若 是矩阵 的一个最高阶非零子式，则 所在的 所在的 是行向量组的一个极大无关组 . 行即 4.3.3 利用初等行变换求向量组的秩与极大无关组 将所讨论的向量组 的每一个向量作为矩阵 的 列 写成一个矩阵 ,并对此矩阵施行初等 行变换 ,化为 行阶梯形 矩阵 ,其 非零行的行数就是矩阵的秩 , 也是向量组的秩 (当然也是极大无关组所含向量的个数 ); 行 阶梯形矩阵的每一个非零行的第一个非零元所在的列 对应 的向量构成的向量组就是向量组的一个极大无关组 . 12, , , m 12( , , , )mA 例 6 1 2 3 4 1 2 1 0 4 5 2 2 , , ,1 1 5 2 0 3 6 1 2 2 2 0 解 : 将向量组构成矩阵 A ,进行初等行变换 12 13 15 5 25 34 35 4 23 3 34 ( 4 ) ( 1 ) 1 2 3 4 ( 2 ) 1 2 ( 1 ) ( 1 ) 1 () 3 3 1 2 ( 1 ) 1 2 1 0 1 2 1 0 4 5 2 2 0 3 6 2 , , , 1 1 5 2 0 3 6 2 0 3 6 1 0 3 6 1 2 2 2 0 0 2 4 0 12 rr rr rr r rr rr rr r rr r rr A 10 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 , ( ) 3RA 从而向量组 1 2 3 4, , , 的秩为 3, 3 为其一极大无关组 . 1 2 4, 例 7 1 2 3 4 5( 2 , 1 , 4 , 3 ) , ( 1 , 1 , 6 , 6 ) , ( 1 , 2 , 2 , 9 ) , ( 1 , 1 , 2 , 7 ) , ( 2 , 4 , 4 , 9 ) 解 将向量组按列排成矩阵 ,用初等行变换将 化为行阶梯形矩阵 AA T T T T T31 2 4 5( , , , , )A 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 故 1 2 3 4 5( , , , , ) 3 ,R 1 2 4, 是其一个极大无关组 . 4.4 线性方程组的解的结构 4.4.1齐次线性方程组的解的结构 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 0, 0, ( 1 ) 0, nn nn m m m n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 12 n n m m m n a a a a a a A a a a 1 2 n x x x x ( 2 )A 0 x 性质 1 若 12x , x 为 (2)的解 ,则 12x 为 (2)的解 . 性质 2 若 1x 为 (2)的解 , 为实数则 1kx 为 (2)的解 . k ,称为 (2)的解向 结论 :将方程组 (2)的全体解所组成的集合记作 S 量组 ,如果能找到解向量组 的一个极大无关组 S 0 1 2: , , , ,tS 则 的任何线性组合 0 1 2: , , , tS 都是方程 (2)的解 ,因此式就是 (2)的通解 . 1 1 2 2 ttk k k x 齐次线性方程组的解向量组的极大无关组称为该齐次线性 方程组的基础解系 .由上面的讨论 ,要求齐次线性方程组的通解 , 只需求出它的基础解系 . 定理 9 设 mn 矩阵 A 的秩 ()R A r ,则 n 元齐次线性方程组 A 0 x 的解向量组 S 的秩 . SR n r 例 8 求齐次线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0, 2 5 3 2 0 , 7 7 3 0 , x x x x x x x x x x x x 的基础解系与通解 . 解 : 对系数矩阵 作初等行变换 A 23 10 77 1 1 1 1 1 1 1 1 54 2 5 3 2 0 7 5 4 0 1 77 7 7 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A 同解方程组为 1 3 4 2 3 4 23 77 54 77 x x x x x x 1 3 4 2 3 4 33 44 23 77 54 77 x x x x x x xx xx 即 所以 ,方程组的通解为 1 2 1 2 1 2 3 4 23 77 54 ( , ) 77 10 01 x x c c c c R x x 一基础解系为 12 23 77 54 , 77 10 01 4.4.2非齐次线性方程组的解的结构 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 , , ( 4 ) , nn nn m m m n n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 12 n n m m m n a a a a a a A a a a 1 2 n x x x x 1 2 m b b b b ( 5 )A xb 性质 3 设 x 是方程 (5)的解 ,则 (6 )A 0 x 12,xx 12x 是方程 (6)的解 . 性质 4 设 是方程 (5)的解 , x 是方程 (6)的解 ,则 x 是方程 (5)的解 . 结论 : 12, , , nr 若 为方程 (6)的一个基础解系 , * 是方程 (5)的一个特解 , 则方程 (5)的通解为 * 1 1 2 2 n r n rk k k x 12( , , , nrk k k 为任意实数 ). 例 9 求解方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 1 , 3 3 4 4 , 5 9 8 0 . x x x x x x x x x x x x 解 : 对增广矩阵 B 作初等行变换 3 3 5 10 244 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 3 7 1 3 1 3 4 4 0 4 6 7 1 0 1 244 1 5 9 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B 同解方程组为 1 3 4 2 3 4 3 3 5 2 4 4 3 7 1 2 4 4 x x x x x x 即 1 3 4 2 3 4 33 44 3 3 5 2 4 4 3 7 1 2 4 4 x x x x x x xx xx 所以 ,方程组的通解为 1 2 12 3 4 3 3 5 2 4 4 3 7 1 2 4 4 1 0 0 0 1 0 x x cc x x 一特解为 * 5 4 1 4 0 0 对应的齐次线性方程组的通解为 1 2 12 3 4 33 24 37 24 10 01 x x cc x x 一基础解系为 12 33 24 37 , 24 10 01