第2课整式及其运

第3课整式及其运算 要点梳理要点梳理1 1单项式：由单项式：由 或或 相乘组成的代数式叫相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做做单项式，所有字母指数的和叫做 ，数字因，数字因数叫做数叫做 2 2多项式：由几个多项式：由几个 组成的代数式叫做多项式，多组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个项式里次数最高的项的次数叫做这个 ，其中不，其中不含字母的项叫做常数项含字母的项叫做常数项3 3整式：整式：统称为整式统称为整式4 4同类项：多项式中所含同类项：多项式中所含 相同并且相同并且 也也相同的项，叫做同类项相同的项，叫做同类项数与字母数与字母字母与字母字母与字母单项式的次数单项式的次数单项式的系数单项式的系数单项式相加单项式相加多项式的次数多项式的次数单项式和多项式单项式和多项式字母字母相同字母的指数相同字母的指数6 6整式乘法：整式乘法：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式为积的一个因式 单项式乘多项式：单项式乘多项式：m(ab).多项式乘多项式：多项式乘多项式：(ab)(cd).7 7乘法公式：乘法公式：(1)(1)平方差公式：平方差公式：.(2)(2)完全平方公式：完全平方公式：.mambacadbcbd(ab)(ab)a2b2(ab)2a22abb28 8整式除法：整式除法：单项式与单项式相除，把系数、同底数幂单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因子，对于只在被除分别相除，作为商的因子，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式，将这个多一个因式多项式除以单项式，将这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加得的商相加 难点正本难点正本 疑点清源疑点清源 1 1正确理解相关代数式的概念正确理解相关代数式的概念 由于对已学的几种代数式认识模糊，导致出现由于对已学的几种代数式认识模糊，导致出现判断失误这些代数式有：单项式、多项式、整判断失误这些代数式有：单项式、多项式、整式、同类项式、同类项2 2正确进行代数式的变形和化简正确进行代数式的变形和化简 在代数式范围内，由于掌握的基本技能不熟练，在代数式范围内，由于掌握的基本技能不熟练，导致出现一系列代数式的列式、变形和计算化简导致出现一系列代数式的列式、变形和计算化简的错误这些技能包括：将语言转化为代数式，的错误这些技能包括：将语言转化为代数式，整式的运算，乘法公式的应用等整式的运算，乘法公式的应用等3 3整体代换思想求代数式的值整体代换思想求代数式的值 在求代数式的值时，一般先化简，再把各个字在求代数式的值时，一般先化简，再把各个字母的值代入求值，有时题目并未给出各个字母母的值代入求值，有时题目并未给出各个字母的取值，而是给出几个式子的值，这时可把这的取值，而是给出几个式子的值，这时可把这几个式子看作一个整式，把多项式化为含有这几个式子看作一个整式，把多项式化为含有这几个式子的代数式，再代入求值，运用整体代几个式子的代数式，再代入求值，运用整体代换思想，往往可使问题简化换思想，往往可使问题简化基础自测基础自测1 1(2011(2011宁波宁波)下列计算正确的是下列计算正确的是()A(a2 2)3 3a6 6 Ba2 2a2 2a4 4 C(3(3a)(2(2a)6 6a D3 3aa3 3 解析：解析：(a2)3a23a6，正确理解正确理解“幂的乘方幂的乘方”法则法则2 2(2011(2011泰安泰安)下列运算正确的是下列运算正确的是()A3 3a2 24 4a2 27 7a4 4 B3 3a2 24 4a2 2a2 2 C3 3a2 24 4a2 21212a2 2 D(3(3a2 2)3 34 4a2 2a2 2 解析：解析：3 3a2 24 4a2 2(3 34 4)a2 2a2 2，正确理解，正确理解“合并同类项合并同类项”法则法则AB3 3(2011(2011盐城盐城)已知已知ab 1 1，则代数式，则代数式2 2a2 2b 3 3的值是的值是()A1 1 B1 1 C5 5 D5 5 解析：解析：2 2a2 2b3 32(2(ab)3 32 21 13 3 1 1，整体，整体ab1 1 代入求值较简便代入求值较简便4 4(2011(2011苏州苏州)若若m2 23 32 26 6，则，则m等于等于()A2 2 B4 4 C6 6 D8 8 解析：解析：m2 23 32 26 6，故，故m2 26 62 23 32 23 38 8.AD5 5(2011(2011聊城聊城)如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第第n个图形需要围棋子的枚数是个图形需要围棋子的枚数是()A5 5n B5 5n1 1 C6 6n1 1 D2 2n2 21 1 解析：解析：第第1 1个图形所需的棋子数为个图形所需的棋子数为5 56 61 11 1，第第2 2个图形所需的棋子数为个图形所需的棋子数为11116 62 21.1.第第3 3个图形所需的棋子数为个图形所需的棋子数为17176 63 31 1，第第n个图形所需的棋子数为个图形所需的棋子数为6 6n1 1.C题型分类题型分类 深度剖析深度剖析 题型一整式的加减运算题型一整式的加减运算【例例1 1】(1)(1)计计算：算：a2 23 3a2 2()A3 3a2 2B4 4a2 2C3 3a4 4 D4 4a4 4 解析：解析：a2 23 3a2 24 4a2 2，合并同类项，只，合并同类项，只是把系数相加减，字母及字母的指数是把系数相加减，字母及字母的指数均不变，选均不变，选B.B(2)(2)下列运算正确的是下列运算正确的是()A2 2(ab)2 2ab B2 2(ab)2 2ab C2 2(ab)2 2a2 2b D2 2(ab)2 2a2 2b 解析：解析：2(2(ab)2 2a2 2b，去括号法则，利用分配律，选，去括号法则，利用分配律，选D.(3)计算：计算：3(2xyy)2xy 解：解：3(2xy3(2xyy)2 2xy6 6xy3 3y2 2xy 4 4xy3 3yD探究提高探究提高 整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号只要算式中没有同类项，就是最后的结果去括号只要算式中没有同类项，就是最后的结果 知能迁移知能迁移1 1(1)(2011(1)(2011义乌义乌)下列计算正确的是下列计算正确的是()Ax2 2x4 4x6 6 B2 2x3 3y5 5xy Cx6 6x3 3x2 2 D(x3 3)2 2x6 6 解析：解析：(x3 3)2 2x3 32 2x6 6.D(2)(2011(2)(2011台北台北)化简化简(4 4x8)8)3(43(45 5x)，可得下列哪一个结果，可得下列哪一个结果？()A1616x1010 B1616x4 4 C5656x4040 D1414x1010 解析：原式解析：原式x2 212121515x 1414x1010.D题型二同类项的概念及合并同类项题型二同类项的概念及合并同类项【例例2 2】(1)(1)若单若单项式项式2 2x2 2ym与与xny3 3是是同类项，则同类项，则mn的值的值是是_ 解析：根据同类项的意义，解析：根据同类项的意义，有有n2 2，m3 3，则，则mn5 5.(2)若若4 4xayx2 2yb3 3x2 2y，则，则ab_.解析：解析：4 4xayx2 2yb3 3x2 2y，可知，可知4 4xay，x2 2yb，3 3x2 2y是是 同类项，则同类项，则a2 2，b1 1，ab3 3.5 53探究提高探究提高 1.1.判断同类项时，看字母和相应字判断同类项时，看字母和相应字母的指数，与系数无关，也与字母的母的指数，与系数无关，也与字母的相关位置无关，两个只含数字的单项相关位置无关，两个只含数字的单项式也是同类项式也是同类项 2.2.只只有同类项才可以合并有同类项才可以合并知能迁移知能迁移2 2(1)(1)单单项式项式xabya1与与3 3x2 2y是同类项，则是同类项，则ab的值的值 为为()A2 2 B0 0 C2 2 D1 1 解析：因为解析：因为ab2 2且且a1 11 1，所以，所以a2 2，b0 0，ab2 2，选选A.(2)(2)下列各式中，与下列各式中，与x2 2y是同类项的是是同类项的是()Axy2 2 B2 2xy Cx2 2y D3 3x2 2y2 2 解析：解析：x2 2y与与x2 2y，相同字母的指数相同，选，相同字母的指数相同，选C.AC题型三幂的运算题型三幂的运算【例例3 3】(1)(1)计计算算a4 4a3 3a2 2()Aa3 3 Ba4 4 Ca5 5 Da6 6 解析：解析：a4 4a3 3a2 2a4 43 32 2a5 5，选，选C.(2)计算计算x2 2(x)3 3(x)2 2_.解析：解析：x2 2(x)3 3(x)2 2 x2 2(x3 3)x2 2 x2 2x3 3x2 2x7 7.x2C探究提高探究提高 1.1.幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则题时要明确运算的类型，正确运用法则 2.2.在在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理 知能迁移知能迁移3 3(1)(2011(1)(2011威海威海)下下列运算正确的是列运算正确的是()Aa3 3a2 2a6 6 B(x3 3)3 3x6 6 Cx5 5x5 5x1010 D(ab)5 5(ab)2 2a3 3b3 3 解析：解析：(ab)5 5(ab)2 2(ab)3 3a3 3b3 3.D(2)(2)计算：计算：(3(3a2 2)2 2a5 5_；(y3 3)2 2y5 5_；(2 2a2 2)4 4_.解析：解析：(3(3a2 2)2 2a5 59 9a4 4a5 59 9a9 9；(y3 3)2 2y5 5y6 6y5 5y；(2 2a2 2)4 4(2)2)4 4(a2 2)4 41616a8 8.9 9a9 9y1616a8 8题型四整式的混合运算及求值题型四整式的混合运算及求值【例例4 4】(本题本题5 5分分)先先化简，再求值：化简，再求值：3 3x(x2 2x1)1)(x1)(31)(3x2 2x)，其中，其中x .解题示范解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！规范步骤，该得的分，一分不丢！解：原式解：原式3 3x3 33 3x2 23 3x(3(3x3 3x2 23 3x2 2x)2)2分分 3 3x3 33 3x2 23 3x3 3x3 3x2 23 3x2 2x 5 5x2 22 2x.3.3分分 当当x 时，原式时，原式5 5()2 22 2()1 1 55分分(1)(2011(1)(2011温州温州)化简化简：a(3(3a)3(3(a2)2)解：解：(1)(1)a(3(3a)3(3(a2)2)3 3aa2 23 3a6 6 a2 26 6.(2)(2)已知已知x2 25 5x1414，求，求(x1)(21)(2x1)1)(x1)1)2 21 1的值的值 解：解：(2)(2)(x1)(21)(2x1)1)(x1)1)2 21 1 (2(2x2 23 3x1)1)(x2 22 2x1)1)1 1 x2 25 5x1 1，当当x2 25 5x1414时，原式时，原式14141 115.15.题型五乘法公式题型五乘法公式【例例5 5】(1)(1)计算计算(ab)()(ab)(ab)2 22 2a2 2的值，的值，其中其中a3 3，b ；解：解：(1)(1)(ab)()(ab)(ab)2 22 2a2 2 a2 2b2 2a2 22 2abb2 22 2a2 22 2ab，当当a3 3，b 时，原式时，原式2 23 3()3.3.(2)(2)已知已知x2 2y2 22525，xy7 7，且，且x y，求，求xy的值的值 解：解：(2)(2)(xy)2 2x2 2y2 22 2xy，2 2xy(xy)2 2(x2 2y2 2)7 72 225252424，(xy)2 2x2 2y2 22 2xy252524241.1.x y，xy 1.1.探究提高探究提高 1.1.算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算，算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算，任何时候都要遵循先化简，再求值的原则任何时候都要遵循先化简，再求值的原则.2.2.在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几种变形：种变形：(1)(1)a2 2b2 2(ab)2 22 2ab；(2)(2)a2 2b2 2(ab)2 22 2ab；(3)(3)(ab)2 2(ab)2 24 4ab；(4)(4)(ab)2 2(ab)2 24 4ab.注意公式的变式及整体代入的思想注意公式的变式及整体代入的思想知能迁移知能迁移5 5(1)(2011(1)(2011衡阳衡阳)先化简，再求值：先化简，再求值：(x+1)+1)2 2x(x-2)-2)，其中，其中x ；解：解：(1)(1)原式原式x2 22 2x1 1x2 22 2x2 2x2 21 1，当当x 时，时，原式原式2 2()2 21 1 1 1 .(2)(2)已知已知xy7 7，xy5 5，求，求xy的值的值 解：解：(2)(2)xy7 7，xy5 5，又又(xy)2 2(xy)2 24 4xy，4 4xy5 52 27 72 2252549492424，xy6.6.易错警示易错警示2 2幂运算易出现的错误幂运算易出现的错误试题计算试题计算x3 3x5 5；x4 4x4 4；(am1 1)2 2；(2 2a2 2b)2 2；(mn)6 6(nm)3 3.学生答案展示学生答案展示x3 3x5 5x3 35 5x1515.x4 4x4 42 2x4 4.(a2 2m1 1)2 2a2 2m1 1.(.(2 2a2 2b b)2 22 22 2a4 4b2 2.(mn)6 6(nm)3 3(mn)6 63 3(mn)3 3.剖析幂的四种运算剖析幂的四种运算(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除方、同底数幂相除)是学习整式乘除的基础，对幂运算是学习整式乘除的基础，对幂运算的性质理解不深刻，记忆不牢固，往往会出现这样或那的性质理解不深刻，记忆不牢固，往往会出现这样或那样的错误样的错误正解正解x3 3x5 5x3 35 5x8 8.x4 4x4 4x4 44 4x8 8.(am1 1)2 2a(m1)1)2 2a2 2m2 2.(2 2a2 2b)2 2(2)2)2 2a4 4b2 24 4a4 4b2 2.(mn)6 6(nm)3 3(nm)6 6(nm)3 3(nm)3 3.批阅笔记幂运算的基本运算形式有四种，每种基批阅笔记幂运算的基本运算形式有四种，每种基本形式的运算法则不同，应分清问题所对应的基本形式的运算法则不同，应分清问题所对应的基本形式，以便合理应用法则，易错的还有符号的本形式，以便合理应用法则，易错的还有符号的处理，应当特别引起重视处理，应当特别引起重视.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高方法与技巧方法与技巧1.1.整式是初中数学的主要内容，整式的乘除法是整式的重要运算，整式是初中数学的主要内容，整式的乘除法是整式的重要运算，要明确运算的类型，不要混淆乘法公式的运用是本节的重点，要明确运算的类型，不要混淆乘法公式的运用是本节的重点，也是难点，要熟练掌握它的各种变化，在今后的代数计算中还也是难点，要熟练掌握它的各种变化，在今后的代数计算中还会经常遇到会经常遇到2 2.应用公式时，要注意：一个二项式的两项，和另一个二项式的应用公式时，要注意：一个二项式的两项，和另一个二项式的两项，如果系数两项，如果系数(只指其绝对值只指其绝对值)、字母及其指数不能都对应相、字母及其指数不能都对应相同，如同，如(x2 2y)(2)(2xy)，那么不能应用乘法公式简化运算；如果，那么不能应用乘法公式简化运算；如果都能对应相同，如都能对应相同，如(x2 2y)()(x2 2y)，和，和(x2 2y)(2)(2yx)，那么，那么，一定能运用乘法公式一定能运用乘法公式(ab)()(ab)a2 2b2 2或或(ab)2 2a2 22 2abb2 2简化运算简化运算失误与防范失误与防范1.1.没有规矩，不成方圆数学知识是由一个个规则构成的，在书没有规矩，不成方圆数学知识是由一个个规则构成的，在书写上、应用中都要依照规则，以免疏漏或出错；如数字与字母写上、应用中都要依照规则，以免疏漏或出错；如数字与字母相乘，要省略乘号，并把数字写在字母的前面，若数字是带分相乘，要省略乘号，并把数字写在字母的前面，若数字是带分数的，要化成假分数；数字与数字相乘时，不能省略乘号或用数的，要化成假分数；数字与数字相乘时，不能省略乘号或用“”来代替乘号；除法运算要写成分数形式来代替乘号；除法运算要写成分数形式2 2.列代数式就是把文字语言表述的数量或数量关系用数学式子表列代数式就是把文字语言表述的数量或数量关系用数学式子表示在列代数式时，要正确分清数量关系和运算顺序对代数示在列代数式时，要正确分清数量关系和运算顺序对代数式的列法，首先要分清运算顺序，注意代数式中有哪些数与字式的列法，首先要分清运算顺序，注意代数式中有哪些数与字母，它们中有哪些运算，哪些运算是先做的，哪些运算是后做母，它们中有哪些运算，哪些运算是先做的，哪些运算是后做的，哪些运算是先得出的，哪些运算是先得出“积积”、“商商”的，然后再用运算符号的，然后再用运算符号及括号把这些数或字母连接起来及括号把这些数或字母连接起来3 3解题时要周密考虑，不能顾此失彼，要注意问题中的解题时要周密考虑，不能顾此失彼，要注意问题中的限制条件如用限制条件如用“2 2a”型的代数式表示偶数，似乎是型的代数式表示偶数，似乎是约定俗成的模式，但对约定俗成的模式，但对a有限制条件有限制条件a应为整数，应为整数，这两者是密不可分的，这个限制条件易被忽视，应当这两者是密不可分的，这个限制条件易被忽视，应当引起注意，问题中的限制条件决不是可有可无的东西引起注意，问题中的限制条件决不是可有可无的东西又比如同类项的定义是以整式为前提的，虽未在定又比如同类项的定义是以整式为前提的，虽未在定义中明确出现，但不能超越这个范围应用义中明确出现，但不能超越这个范围应用4 4整式乘法的基本运算形式有三种：同底数幂的乘法，整式乘法的基本运算形式有三种：同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，每种基本形式的运算法则不同，幂的乘方，积的乘方，每种基本形式的运算法则不同，应分清问题所对应的基本形式，以便合理的应用法则应分清问题所对应的基本形式，以便合理的应用法则应用三个基本公式的易错点是符号的处理，应当引应用三个基本公式的易错点是符号的处理，应当引起特别重视起特别重视 平方差公式为平方差公式为(ab)()(ab)a2 2b2 2，左边指的是相同，左边指的是相同两数和与两数差的乘积，即左边两个因式中有一个相同的两数和与两数差的乘积，即左边两个因式中有一个相同的项，有一个互为相反的项，并且公式中的项，有一个互为相反的项，并且公式中的a、b可以是数、可以是数、单项式或多项式；右边是两个数的平方差，即相同的因式单项式或多项式；右边是两个数的平方差，即相同的因式的平方减去相反因式的平方，充分了解这些结构特征对辨的平方减去相反因式的平方，充分了解这些结构特征对辨别是否可用平方差公式是很有帮助的别是否可用平方差公式是很有帮助的 完全平方公式完全平方公式(ab)2 2a2 22 2abb2 2，用语言可表述，用语言可表述为：第一个数的平方，加上为：第一个数的平方，加上(或减去或减去)第一、二两个数乘积第一、二两个数乘积的的2 2倍，再加上第倍，再加上第2 2个数的平方的代数式，即为完全平方式个数的平方的代数式，即为完全平方式具体来说，要求第一、三项的性质符号相同，第二项应具体来说，要求第一、三项的性质符号相同，第二项应是第一、三两个数乘积的是第一、三两个数乘积的2 2倍，其符号可正可负倍，其符号可正可负完成考点跟踪训练 2