1.25根与系数的关系

11.一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？一元二次方程的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？21、了解公式法推导一元二次方程根与系数的过程，、了解公式法推导一元二次方程根与系数的过程，2、会用根与系数的关系解决相关问题。、会用根与系数的关系解决相关问题。3猜想：猜想：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根的两个根分别是分别是 、，那么，你可以发现什么结论？，那么，你可以发现什么结论？4已知：如果一元二次方程已知：如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、。求证：求证：567 如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、，那么：，那么：这就是一元二次方程这就是一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系，也叫，也叫韦达定理韦达定理。81.3.2.4.5.口答下列方程的两根之和与两根之积。口答下列方程的两根之和与两根之积。9 1.已知方程已知方程 的一个根是的一个根是2，求它的另一个根及，求它的另一个根及k的值的值.解：设方程解：设方程 的两个根的两个根 分别是分别是 、，其中，其中 。所以：所以：即：即：由于由于 得：得：k=-7 答：方程的另一个根是答：方程的另一个根是 ，k=-710例例2 2、利用根与系数的关系，求一元二次方程、利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的；（两个根的；（1 1）平方和；（）平方和；（2 2）倒数和）倒数和解：设方程的两个根是解：设方程的两个根是x1 x2，那么，那么112.已知一元二次方程的已知一元二次方程的 的一个根为的一个根为1，则方程的另一根为，则方程的另一根为_，m=_：1.已知一元二次方程的已知一元二次方程的 两两根分别为根分别为-2 和和 1，则：，则：p=_ ;q=_q=_12 3 3、设、设 x x1 1、x x2 2是方程是方程 利用根与系数的利用根与系数的 关系，求下列各式的值：关系，求下列各式的值：（3）（）（x1x2）2134.方方程程x2(m 1)x 2m 1 0求求m满满足足什什么么条条件件时时,方方程程的的两两根根互互为为相相反反数数？方方程程的的两两根根互互为为倒数？方程的一根为零？倒数？方程的一根为零？解解:(m 1)2 4(2m 1)m2 6m 5两根互为相反数两根互为相反数 两根之和两根之和m 1 0,m1,且且0 m1时时,方程的两根互为相反数方程的两根互为相反数14本节课有哪些收获？本节课有哪些收获？15 已知已知是方程是方程的两个实数根，求的两个实数根，求的值。的值。解：解：根据根与系数的关系根据根与系数的关系:16例例1.不解方程，求方程不解方程，求方程 的的两根的平方和、倒数和。两根的平方和、倒数和。17二、典型例题二、典型例题例题例题1：已知方程：已知方程 x22x1的两根为的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。不解方程，求下列各式的值。（1）（）（x1x2）2 （2）x13x2x1x23 （3）18解：设方程的两根分别为 和 ，则：而方程的两根互为倒数 即：所以：得：2.方程方程 的两根互的两根互为倒数，求为倒数，求k的值。的值。19设设 X1、X2是方程是方程X X2 24X+1=04X+1=0的两个根，则的两个根，则 X1+X2=_ X1X2=_，X12+X22=；(X1-X2)2=；基基础础练练习习201 1、如果、如果-1-1是方程是方程2X X2 2X+m=0X+m=0的一个根，则另的一个根，则另 一个根是一个根是_，m=_m=_。2 2、设、设 X1、X2是方程是方程X X2 24X+1=04X+1=0的两个根，则的两个根，则 X1+X2=_ ,X1X2=_，X12+X22=(=(X1+X2)2-_ =_ (X1-X2)2=(_ )2-4X1X2=_ 3、判断正误：、判断正误：以以2和和-3为根的方程是为根的方程是X X2 2X-6=0 X-6=0 （）4 4、已知两个数的和是、已知两个数的和是1 1，积是，积是-2-2，则这两个数是，则这两个数是 _ 。X1+X22X1X2-34114122和和-1基基础础练练习习（还有其他解法吗？）（还有其他解法吗？）21例题例题2：（1）若关于）若关于x的方程的方程2x25xn0的一个根是的一个根是2，求它的另一个根及，求它的另一个根及n的值。的值。（2）若关于）若关于x的方程的方程x2kx60的一个根是的一个根是2，求它的另一个根及，求它的另一个根及k的值。的值。22 1.已知一元二次方程的已知一元二次方程的 的一个根为的一个根为1，则方程的另一根为，则方程的另一根为_，m=_：2、已知方程、已知方程 的一个根是的一个根是 1，求它的另一个根和求它的另一个根和m的值。的值。23例例2.已知方程已知方程 的的两根为两根为 、，且且 ，求，求k的值。的值。244、已知关于、已知关于x的方程的方程x2+(2k+1)+k2-2=0 的两根的平方和比两根之积的的两根的平方和比两根之积的3倍少倍少 10，求，求k的值的值.25补充规律：补充规律：两根均为负的条件：X1+X2 且且X1X2 。两根均为正的条件：X1+X2 且且X1X2 。两根一正一负的条件：X1+X2 且且X1X2 。当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac0 26两根互为倒数 m26m5,两根之积2m11 m1且0,m1时,方程的两根互为倒数.方程一根为0,两根之积2m10 且0,时,方程有一根为零.27引申:1、若ax2bxc0(a0 0)（1）若两根互为相反数,则b0;（2）若两根互为倒数,则ac;（3）若一根为0,则c0;（4）若一根为1,则abc0;（5）若一根为1,则abc0;（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.28 2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当 时，才能应用根与系数的关系.1.一元二次方程根与系数的关系是什么?29