材料力学-应力分析.ppt

1,第七章 应力和应变分析 强度理论,目录,2,第七章 应力状态分析, 应力状态的概念 用解析法分析二向应力状态 用图解法分析二向应力状态 三向应力状态 广义胡克定律 三向应力状态下的应变能密度 强度理论概述 四种常见的强度理论,目录,目录,3,§7-1 应力状态的概述,一、什么是应力状态？,三、如何描述一点的应力状态?,二、为什么要研究应力状态?,4,一、什么是应力状态？,（一）、应力的点的概念:,t,max,（实心截面）,5,横截面上的正应力分布,同一面上不同点的应力各不相同，,横截面上的切应力分布,结果表明：,即应力的点的概念。,6,过同一点不同方向面上的应力各不相同，,即应力的面的概念,7,应 力,指明,应力的点的概念与面的概念,应力状态:,过同一点不同方向面上应力的集合，称为这一点的应力状态；,8,低碳钢拉伸,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,铸铁拉伸,两种材料的拉伸试验,二、为什么要研究应力状态？,9,脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？,低碳钢,铸 铁,71 应力状态的概念,目录,10,目的： 研究过一点的各个面上的应力情况，找到过该点的最大应力（正应力，切应力），以及其平面方位。,11,单元体,三、如何描述一点的应力状态,单元体的性质：,a、单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布；,b、任意一对平行平面上的应力相等,12,3、单元体法,（1）单元体截取方法: 围绕该点 取出一个单元体。,例如 图 9-1a 所示矩形截面 悬臂梁内A点的应力状态,13,6 提取工字形截面梁上一点的应力状态,14,S平面,15,示例一,目录,16,1,同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.,目录,17,目录,18,S平面,19,20,主平面：单元体中剪应力等于零的平面。,主应力：主平面上的正应力。,主方向：主平面的法线方向。,主单元体：在单元体各侧面只有正应力而无剪应力,应力状态的概念,约定：,21,应力状态的分类,单向应力状态：三个主应力中，只有一个主应力不等于零的情况。,二向应力状态：三个主应力中有两个主应力不等于零的情况。,三向应力状态：三个主应力皆不等于零的情况。,22,单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力 称为主应力，分别用 表示，并且 该单元体称为主应力单元。,三向应力状态,目录,23,一般平面应力状态,24,单向应力状态,纯剪应力状态,一般单向应力状态或纯剪切应力状态,25,三向应力状态,平面应力状态,一点的应力状态,26,7-3 二向应力状态分析-解析法,27,1.正负号规则,正应力：拉为正；反之为负,切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。,角：由x 轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,28,2.斜截面上的应力,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,29,列平衡方程,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,30,利用三角函数公式,并注意到 化简得,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,31,确定正应力极值,设0 时，上式值为零，即,3. 正应力极值和方向,即0 时，切应力为零,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,32,（2）主平面的位置,以1代表max作用面的方位角， 2代表min作用面的方位角。,33, 若,34,35,试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。,例题1：一点处的平面应力状态如图所示。,已知,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,36,解：,（1） 斜面上的应力,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,37,（2）主应力、主平面,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,38,主平面的方位：,代入 表达式可知,主应力 方向：,主应力 方向：,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,39,（3）主应力单元体：,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,40,x,y,主应力迹线的画法：,1,1 截面,2,2 截面,3,3 截面,4,4 截面,i,i 截面,n,n 截面,41,7-3 二向应力状态分析-图解法,42,这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆,7-3 二向应力状态分析-图解法,目录,43,1. 应力圆：,7-3 二向应力状态分析-图解法,目录,44,具体作圆步骤,45,再将上述过程重复一次,46,点面对应,应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和剪应力；,47,转向对应,二倍角对应,与二倍角对应,半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍；,半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；,48,建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）,二、应力圆的画法,在坐标系内画出点A( x，xy)和B(y，yx),AB与a 轴的交点C便是圆心。,以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆；,49,三、单元体与应力圆的对应关系,50,四、在应力圆上标出极值应力,51,A,B,E点的横、纵坐标即位该任意斜截面上的正应力和切应力。,1 从应力圆上确定任意斜截面上的应力,52,A,B,应力圆和横轴交点的横坐标值。,b,e,2 从应力圆上确定主应力大小,53,D,b,e,3 从应力圆上确定主平面方位,54,主应力排序： s1s2 s3,55,b,e,例1：轴向拉伸的最大正应力和最大切应力,56,轴向拉伸时45º方向面上既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。,轴向拉伸的最大正应力和最大切应力,最大正应力所在的面上切应力一定是零；,57,b,e,例2：纯剪切状态的主应力,58,纯剪切状态的主单元体,在纯剪应力状态下，45º方向面上只有正应力没有剪应力，而且正应力为最大值。,59,例3：一点处的平面应力状态如图所示。已知,试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主单元体。,60,61,主应力单元体：,62,1.定义,三个主应力都不为零的应力状态,7-5 三向应力状态,目录,63,首先研究与其中一个 主平面 (例如主应力3 所在的平面)垂直的 斜截面上的应力。,64,用截面法，沿求应力的截 面将单元体截为两部分， 取左下部分为研究对象。,65,与3所在的面垂直的斜截面上的应力可由 1 ,2作出的应力圆上的点来表示。,主应力 3 所在的两平面上是一对 自相平衡的力， 因而该斜面上的 应力, 与 3无关, 只由主应力 1 , 2 决定。,66,与主应力2所在主平面垂直的斜截面上的应力, 可用由1 ,3作出的应力圆上的点来表示。,67,与主应力所在主平面垂直的斜截面上的应力, 可用由2 ,3作出的应力圆上的点来表示。,68,该截面上应力和 对应的D点必位于上述三个应力圆所围成 的阴影内。,abc 截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面,69,结论,三个应力圆周上的 点及由它们围成的 阴影部分上的点的 坐标代表了空间应 力状态下所有截面 上的应力。,70,71,该点处的最大正应力 (指代数值)应等于最大 应力圆上A点的横坐标1,A,72,最大剪应力则等于最 大的应力圆上B点的 纵坐标(图9-11c),A,73,A,最大剪应力所在的 截面与2 所在平面 垂直, 并与1与3 所在的主平面各成 45°角。,74,上述两 公式同样适用于平面应力状态或单轴应力状态, 只需将具体问题的主应力求出,并按代数值1 2 3 的顺序排列。,空间应力圆画法,75,例7-3-1 分析受扭构件的破坏规律。,解：确定危险点并画其原 始单元体,求极值应力,O,76,破坏分析,铸铁,77,例题 9-3 单元体的应力如图 a 所示 ,作应力圆, 并求出主应力 和最大剪应力值及其作用面方位。,78,因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力 z无关, 依据 x 截面和 y 截面上的应力画出应力圆.,解: 该单元体有一个已知主应力,79,46MP,-26MP,量得另外两个主应力为,80,该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为,81,o,c,根据上述主应力，作 出三个应力圆。,82,从应力圆上量得,据此可确定1所在的 主平面方位和主单元 体各面间的相互位置.,83,其中最大剪应力所在 截面与2垂直,与1和 3所在的主平面各 成45 夹角。,84,max,85,§76 平面内的应变分析,一、应变分析解析法,86,2、已知一点A的应变（ ），画应变圆,二、应变分析图解法应变圆（ Strain Circle）,1、应变圆与应力圆的类比关系,建立应变坐标系如图,在坐标系内画出点 A(x，xy/2) B(y，-yx/2),AB与a 轴的交点C便是圆心,以C为圆心，以AC为半径画圆应变圆。,应力状态与应变状态,87,三、方向上的应变与应变圆的对应关系,n,应力状态与应变状态,88,四、主应变数值及其方位,应力状态与应变状态,89,例5 已知一点在某一平面内的 1、 2、 3、方向上的应变 1、 2、 3，三个线应变，求该面内的主应变。,解：由,i =1,2,3这三个方程求出 x， y， x y；然后在求主应变。,应力状态与应变状态,90,例6 用45°应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。,应力状态与应变状态,91,1. 基本变形时的胡克定律,1）轴向拉压胡克定律,横向变形,2）纯剪切胡克定律,7-8 广义胡克定律,目录,92,2、三向应力状态的广义胡克定律叠加法,7-8 广义胡克定律,目录,93,7-8 广义胡克定律,目录,94,3、广义胡克定律的一般形式,7-8 广义胡克定律,目录,95,7-9 复杂应力状态的变形比能,（2） 各向同性材料在空间 应力状态下的 体积应变,（1）概念:构件每单位体积 的体积变化, 称为体积 应变用 表示。,目录,96,7-9 复杂应力状态的应变能密度,(2) 在三个主应力同时存在时, 单元体的应变能密度为,1、 应变能密度的定义 ：单位体积物体内所积蓄的应变能称为应 变能密度,2、应变能密度的计算公式 :,(1) 单向应力状态下, 物体内所积蓄的应变能密度为,97,将广义胡克定律代入上式, 经整理得,用 表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度，称为 体积改变能密度。,用 表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度, 称为 形状改变能密度或畸变能密度,应变能密度 等于两部分之和,目录,98,由于两单元体的体积应变相等，所以 v也相等。,目录,99,(b),图 b 所示单元体的三个主应力相等，因而，变形后的形状与 原来的形状相似，即只发生体积改变而无形状改变。,目录,100,所以，a所示单元体的体积改变能密度v 为,目录,101,(a),a单元体的应变能密度为,a所示单元体的体积改变应变能密度 v为,目录,102,单元体的 形状改变能密度 为,目录,103,（拉压）,（弯曲）,（弯曲）,（扭转）,（切应力强度条件）,1. 杆件基本变形下的强度条件,7-10、强度理论概述,目录,104,如何确保危险点不发生破坏？（强度条件的建立）,方法：限制危险点的应力水平。,(1)单向应力状态下强度条件的建立,通过试验测定,破坏正应力,105,(2)纯剪切应力状态下强度条件的建立,通过试验测定,破坏切应力,由此可见，单向应力状态和纯剪切应力状态下，强度条件是建立在实验基础上的，且是足够准确的。,106,(3)复杂应力状态下强度条件如何建立？,能否依靠实验建立？ 不能！,（1）应力状态的多样性：复杂应力状态中应力组合的方式和比值又有各种可能。,（2）试验的复杂性：完全复现实际中遇到的各种复杂应力状态很困难。,107,经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。,为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。,强度理论：,人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，,找出引起破坏的主要因素，,7-11、四种常见强度理论,108,构件由于强度不足将引发两种失效形式,(1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。,关于屈服的强度理论： 最大切应力理论和形状改变比能理论,(2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。,关于断裂的强度理论： 最大拉应力理论和最大伸长线应变理论,7-11、四种常见强度理论,目录,109,1. 最大拉应力理论（第一强度理论）,材料发生断裂的主要因素是最大拉应力；,脆断准则：,无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸破坏时的应力数值。,110,断裂条件,1. 最大拉应力理论（第一强度理论）,铸铁拉伸,铸铁扭转,7-11、四种常见强度理论,目录,111,2、对没有拉应力的应力状态无法应用，,3、对塑性材料的破坏无法解释，,1 只突出 未考虑的 影响，,局限性：,112,2. 最大伸长线应变理论（第二强度理论）,材料发生断裂的主要因素是最大伸长线应变；,脆断准则：,无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。,113,复杂应力状态下最大线伸长应变,断裂条件,相应的强度条件：,单向应力状态下,114,铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。,实验表明：,此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂,较符合,要求材料在脆断前均服从胡克定律,适用范围：,铸铁在混合型应力状态中，压应力占主导引起的材料脆断,与实验结果也较符合；,材料的脆断,115,局限性：,1、第一强度理论不能解释的问题，未能解决，,2、在二向或三向受拉时，,似乎比单向拉伸时更安全，但实验证明并非如此。,116,3. 最大切应力理论（第三强度理论）,材料发生塑性屈服的主要因素是最大切应力,屈服准则：,无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。,117,复杂应力状态下的最大切应力,屈服条件,相应的强度条件：,单向应力状态下,118,低碳钢拉伸,低碳钢扭转,119,此理论较满意地解释了塑性材料的屈服现象；,局限性：,2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，,1、未考虑 的影响，试验证实最大影响达15%。,并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。,适用范围：,偏于安全,常用于载荷往往较不稳定的机械、动力等行业,此准则也称特雷斯卡（Tresca）屈服准则,塑性屈服,120,4. 畸变能密度理论（第四强度理论）,材料发生塑性屈服的主要因素是,畸变能密度；,无论处于什么应力状态,只要危险点处畸变能密度达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服。,屈服准则：,121,复杂应力状态的畸变能密度,单向应力状态下,屈服条件,122,强度条件,对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。,123,载荷较为稳定的土建行业，较多地采用第四强度理论。,适用范围：,它既突出了最大主剪应力对塑性屈服的作用，又适当考虑了其它两个主剪应力的影响；,它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好；,此准则也称为米泽斯（Mises ）屈服准则；,塑性屈服,124,强度理论的统一表达式：,相当应力,7-11、四种常见强度理论,目录,125,无论材料处于什么应力状态,只要发生同一种破坏形式,都是由于同一种因素引起。,复杂应力状态,相当应力状态,已有简单拉 压试验资料,强度理论,强度条件,126,一、对于常温、静载、常见的单向、二向应力状态下,选用原则,塑性材料,第三强度理论,可进行偏保守（安全）设计。,第四强度理论,可用于更精确设计，,要求对材料强度指标，载荷计算较有把握。,弹性失效状态为脆断；,通常的塑性材料，如低碳钢，,弹性失效状态为塑性屈服,通常的脆性材料，如铸铁，,因而可根据材料来选用强度理论：,127,仅用于石料、混凝土等少数材料。,脆性材料,第一强度理论,拉伸型和拉应力占主导的混合型应力状态,第二强度理论,压应力占主导的脆断,128,必须考虑应力状态对材料弹性失效的影响,但此时的失效应力应通过能造成材料脆断的试验获得。,二、对于常温、静载但具有某些特殊应力状态的情况,不能只看材料,综合材料、失效状态选取适当的强度理论。, 塑性材料（如低碳钢）在三向拉伸应力状态下,呈脆断失效；,应选用第一强度理论；,思考题:把经过冷却的钢质实心球体，放人沸腾的热油锅 中,将引起钢球的爆裂,试分析原因。,129,切槽导致应力集中使根部附近出现两向和三向拉伸应力状态。,常温静载条件下，带有环形深切槽的圆柱形低碳钢试件受拉,不再出现塑性变形；,沿切槽根部发生脆断；,平断口,130,但此时的失效应力应通过能造成材料屈服的试验获得。,在三向压缩应力状态下，,脆性材料（如大理石）,呈塑性屈服失效状态；,应选用第三、第四强度理论；,思考题: 水管在寒冬低温条件下，由于管内水结冰引起体 积膨胀，而导致水管爆裂。由作用反作用定律可知，水 管与冰块所受的压力相等，试问为什么冰不破裂，而水管 发生爆裂。,131,1、“塑性材料无论处于什麽应力状态，都应采用第三或第四强度理论，而不能采用第一或第二强度理论。”,2、“脆性材料不会发生塑性屈服破坏。”,3、“常用的四种强度理论，只适用于复杂的应力状态，不适用于单向应力状态。”,132,某碳钢材料工作时危险点处于三向等值拉伸应力状态，宜采用 强度理论进行强度校核？ A：第一 B：第二； C：第三； D：第四；,133,在三向压应力相等的情况下，脆性材料与塑性材料的破坏形式为： 。 A：脆性材料脆断、塑性材料发生塑性流动； B：塑性材料脆断、脆性材料塑性流动； C：均发生脆断； D：均发生塑性流动；,134,对图所示的单元体,计算 r3 ,r4,解：首先求主应力,已知 x=70， y=30，xy=40 可求得,135,136,已知 ：铸铁构件上 危险点的应力状态。铸铁拉 伸许用应力 =30MPa。 试校核该点的强度。,137,首先根据材料和应力 状态确定破坏形式， 选择强度理论。,r1 = max= 1 ,其次确定主应力,脆性断裂，最大拉应力准则,138,129.28MPa,23.72MPa, 30,结论：强度是安全的。,139,例题 7 3 两端简支的工字钢梁承受载荷如图 (a) 所示。 已知其材料 Q235 钢的 = 170MPa , =100MPa 。 试按强度条件选择工字钢的号码。,例题 10-3 图,（a）,单位：m,目录,140,解：作钢梁的内力图。,Q c = Qmax = 200kN,Mc = Mmax = 84kN.m,C , D 为危险截面,取 C 截面计算,目录,141,正应力强度条件为,选用28a工字钢，其截面的 W=508cm3,对于 28a 工字钢的截面，查表得,目录,142,最大切应力为,选用 28a 钢能满足切应力的强度要求。,目录,143,a,(e),a点的应力状态如图 e 所示,a点的三个主应力为,由于材料是Q235钢，所以在平面应力状态下，应按第四强度理论 来进行强度校核。,目录,