数字信号处理课后习题答案(全)1-7章.ppt

1.4 习题与上机题解答 1. 用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。,题1图,解： x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+(n1) +2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6) 2 给定信号： 2n+5 4n1 6 0n4 0 其它 (1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；,(x(n)=,（3） 令x1(n)=2x(n2)， 试画出x1(n)波形； （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 试画出x2(n)波形； （5） 令x3(n)=x(2n)， 试画出x3(n)波形。 解： (1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n) +6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4),（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（二）所示。 (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（三）所示。 (5) 画x3(n)时， 先画x(n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°)， 然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图（四）所示。,题2解图（一）,题2解图（二）,题2解图（三）,题2解图（四）,3 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 ,(1),(2),解： （1） 因为= , 所以 , 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T=14。 （2） 因为= , 所以 =16, 这是无理数， 因此是非周期序列。,4 对题1图给出的x(n)要求： (1) 画出x(n)的波形； (2) 计算xe(n)= x(n)+x(n)， 并画出xe(n)波形； (3) 计算xo(n)= x(n)x(n)， 并画出xo(n)波形; (4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 将x1(n)与x(n)进行比较， 你能得到什么结论？,解：（1） x(n)的波形如题4解图（一）所示。 (2) 将x(n)与x(n)的波形对应相加， 再除以2， 得到xe(n)。 毫无疑问， 这是一个偶对称序列。 xe(n)的波形如题4解图（二）所示。 (3) 画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。,题4解图（一）,题4解图（二）,题4解图（三）,(4) 很容易证明： x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n) 上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。 偶对称序列可以用题中(2)的公式计算， 奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。 5 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(nn0) n0为整常数 （4）y(n)=x(n),（5）y(n)=x2(n) （6）y(n)=x(n2) （7）y(n)= （8）y(n)=x(n)sin(n) 解： （1） 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02) y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n),故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1) +3ax1(n2)+bx2(n2) Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2) Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2) 所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n) 故该系统是线性系统。,（2） 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=2x(nn0)+3 y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n) 故该系统是非时变的。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3 Tax1(n)=2ax1(n)+3 Tbx2(n)=2bx2(n)+3 Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n) 故该系统是非线性系统。,(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为 x(nn1) 输出为 y(n)=x(nn1n0) y(nn1)=x(nn1n0)=y(n) 故延时器是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0) =aTx1(n)+bTx2(n) 故延时器是线性系统。,(4) y(n)=x(n) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x(n+n0) y(nn0)=x(n+n0)=y(n) 因此系统是线性系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n) =aTx1(n)+bTx2(n) 因此系统是非时变系统。,（5） y(n)=x2(n) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x2(nn0) y(nn0)=x2(nn0)=y(n) 故系统是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2 aTx1(n)+bTx2(n) =ax21(n)+bx22(n) 因此系统是非线性系统。,（6） y(n)=x(n2) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x(nn0)2) y(nn0)=x(nn0)2)=y(n) 故系统是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n2)+bx2(n2) =aTx1(n)+bTx2(n) 故系统是线性系统。,（7） y(n)= x(m) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)= =0DD)x(m-n0) y(nn0)= x(m)y(n) 故系统是时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)= ax1(m)+bx2(m) =aTx1(n)+bTx2(n) 故系统是线性系统。,（8） y(n)=x(n) sin(n) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x(nn0) sin(n) y(nn0)=x(nn0) sin(nn0)y(n) 故系统不是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n) sin(n)+bx2(n) sin(n) =aTx1(n)+bTx2(n) 故系统是线性系统。,6 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。 （1） y(n)= x(nk) （2） y(n)=x(n)+x(n+1) （3） y(n)= x(k) （4） y(n)=x(nn0) （5） y(n)=ex(n),解：（1）只要N1， 该系统就是因果系统， 因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。 如果|x(n)|M， 则|y(n)|M， 因此系统是稳定系统。 （2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以后（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|M, 则|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系统是稳定系统。 （3） 如果|x(n)|M， 则|y(n)| |x(k)|2n0+1|M， 因此系统是稳定的； 假设n00， 系统是非因果的， 因为输出还和x(n)的将来值有关。,（4）假设n00， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|M， 因此系统是稳定的。 （5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM， 因此系统是稳定的。 7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示， 要求画出y(n)输出的波形。 解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)= x(m)h(nm),题7图,y(n)=2,1,0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,解法（二） 采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为 x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3) h(n)=2(n)+(n1)+ (n2) 由于 x(n)*(n)=x(n) x(n)*A(nk)=Ax(nk) 故,y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*2(n)+(n1)+ (n2) =2x(n)+x(n1)+ x(n2) 将x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5),8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况， 分别求出输出y(n)。 （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) （2） h(n)=2R4(n), x(n)=(n)(n2) （3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n) 解： （1） y(n)=x(n)*h(n)= R4(m)R5(nm) 先确定求和域。 由R4(m)和R5(nm)确定y（n）对于m的 非零区间如下: 0m3 4mn,根据非零区间， 将n分成四种情况求解： n7时， y(n)=0,最后结果为 0 n7 n+1 0n3 8n 4n7 y(n)的波形如题8解图（一）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*(n)(n2)=2R4(n)2R4(n2) =2(n)+(n1)(n+4)(n+5) y(n)的波形如题8解图（二）所示,y(n)=,题8解图（一）,题8解图（二）,(3) y(n)=x(n)*h(n) = R5(m)0.5nmu(nm) =0.5n R5(m)0.5mu(nm) y（n）对于m 的非零区间为 0m4, mn n0时， y(n)=0 0n4时，,=(10.5n1)0.5n=20.5n, n5时,最后写成统一表达式： y(n)=(20.5n)R5(n)+31×0.5nu(n5),9 证明线性卷积服从交换律、 结合律和分配律， 即证明下面等式成立： （1） x(n)*h(n)=h(n)*x(n) （2） x(n)*(h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n) （3） x(n)*(h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) 证明： （1） 因为 令m=nm, 则,(2) 利用上面已证明的结果， 得到,交换求和号的次序， 得到,10 设系统的单位脉冲响应h(n)=(3/8)0.5nu(n)， 系统的输入x(n)是一些观测数据， 设x(n)=x0, x1, x2, , xk, ， 试利用递推法求系统的输出y(n)。 递推时设系统初始状态为零状态。,解：,n=0时，,n0,n=1时，,n=2时，,最后得到,11 设系统由下面差分方程描述：,设系统是因果的， 利用递推法求系统的单位脉冲响应。,解： 令x(n)=(n), 则,n=0时，,n=1时，,n=2时，,n=3时，,归纳起来， 结果为,12. 设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述， 初始条件y(-1)=0， 试分析该系统是否是线性非时变系统。 解： 分析的方法是让系统输入分别为(n)、 (n1)、 (n)+(n1)时， 求它的输出， 再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。 （1） 令x(n)=(n), 这时系统的输出用y1(n)表示。,该情况在教材例1.4.1 中已求出， 系统的输出为 y1(n)=anu(n),(2) 令x(n)=(n1)， 这时系统的输出用y2(n)表示。,n=0时，,n=1时，,n=2时，,任意 n 时，,最后得到,(3) 令x(n)=(n)+(n1), 系统的输出用y3(n)表示。,n=0时，,n=1时，,n=2时，,n=3时，,任意 n 时，,最后得到,由（1）和（2）得到 y1(n)=T(n), y2(n)=T(n1) y1(n)=y2(n1) 因此可断言这是一个时不变系统。 情况（3）的输入信号是情况（1）和情况（2）输入信号的相加信号， 因此y3(n)=T(n)+(n1)。 观察y1(n)、 y2(n)、 y3(n)， 得到y3(n)=y1(n)+y2(n)， 因此该系统是线性系统。 最后得到结论： 用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n), 0a1描写的系统， 当初始条件为零时， 是一个线性时不变系统。,13 有一连续信号xa(t)=cos(2ft+j)， 式中， f=20 Hz, j=/2。 （1） 求出xa(t)的周期； （2） 用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行采样， 试写出采样信号 的表达式； （3） 画出对应 的时域离散信号（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。 解： （1） xa(t)的周期为,（2）,（3） x(n)的数字频率=0.8， 故 ， 因而周期N=5， 所以 x(n)=cos(0.8n+/2) 画出其波形如题13解图所示。,题13解图,14. 已知滑动平均滤波器的差分方程为,（1） 求出该滤波器的单位脉冲响应； （2） 如果输入信号波形如前面例1.3.4的图1.3.1所示， 试求出y(n)并画出它的波形。 解： （1） 将题中差分方程中的x(n)用(n)代替， 得到该滤波器的单位脉冲响应， 即,（2） 已知输入信号， 用卷积法求输出。 输出信号y(n)为,表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。 计算时， 表中x(k)不动， h(k)反转后变成h(k)， h(nk)则随着n的加大向右滑动， 每滑动一次， 将h(nk)和x(k)对应相乘， 再相加和平均， 得到相应的y(n)。 “滑动平均”清楚地表明了这种计算过程。 最后得到的输出波形如前面图1.3.2所示。 该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化， 使波形变化缓慢。,15*. 已知系统的差分方程和输入信号分别为,用递推法计算系统的零状态响应。 解： 求解程序ex115.m如下： %程序ex115.m % 调用filter解差分方程y(n)+0.5y(n1)=x(n)+2x(n2) xn=1， 2， 3， 4， 2， 1， zeros(1， 10)； %x(n)=单位脉冲序列， 长度N=31 B=1， 0， 2； A=1， 0.5； %差分方程系数,yn=filter(B， A， xn) %调用filter解差分方程， 求系统输 出信号y(n) n=0： length(yn)1； subplot(3， 2， 1)； stem(n， yn， .) ； axis(1， 15， 2， 8) title(系统的零状态响应 )； xlabel(n)； ylabel(y(n) 程序运行结果：,yn =1.0000 1.5000 4.2500 5.8750 5.0625 6.4688 0.7656 1.6172 -0.8086 0.4043 -0.2021 0.1011 -0.0505 0.0253 -0.0126 0.0063 -0.0032 0.0016 -0.0008 0.0004 -0.0002 0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 程序运行结果的y(n)波形图如题15*解图所示。,题15*解图,16*. 已知两个系统的差分方程分别为 （1）y(n)=0.6y(n1)0.08y(n2)+x(n) （2）y(n)=0.7y(n1)0.1y(n2)+2x(n)x(n2) 分别求出所描述的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。 解： （1） 系统差分方程的系数向量为 B1=1， A1=1， 0.6， 0.08 （2） 系统差分方程的系数向量为 B2=2， 0， 1, A2=1， 0.7， 0.1,2.5 习题与上机题解答 1 设X(ej)和Y(ej)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换， 试求下面序列的傅里叶变换： (1) x(nn0) (2) x*(n) (3) x(n) (4) x(n)*y(n) (5) x(n)y(n) (6) nx(n) (7) x(2n) (8) x2(n),(9),解：（1）,令n=nn0, 即n=n+n0， 则,（2）,（3）,令n=n， 则,（4） FTx(n)*y(n)=X(ej)Y(ej) 下面证明上式成立：,令k=nm, 则,（5）,或者,（6） 因为,对该式两边求导， 得到,因此,（7）,令n=2n， 则,或者,（8）,利用（5）题结果， 令x(n)=y(n), 则,（9）,令n=n/2， 则,2 已知,求X(ej)的傅里叶反变换x(n)。,解：,3. 线性时不变系统的频率响应（频率响应函数）H(ej)=|H(ej)|ej()， 如果单位脉冲响应h(n)为实序列， 试证明输入x(n)=A cos(0n+j)的稳态响应为,解： 假设输入信号x(n)=ej0n，系统单位脉冲响应为h(n)， 则系统输出为,上式说明当输入信号为复指数序列时， 输出序列仍是复指数序列， 且频率相同， 但幅度和相位取决于网络传输函数。 利用该性质解此题：,上式中|H(ej)|是的偶函数， 相位函数是的奇函数， |H(ej)|=|H(e-j)|， ()=(), 故,4设,将x(n)以4为周期进行周期延拓， 形成周期序列 ， 画出x(n)和 的波形， 求出 的离散傅里叶级数 和傅里叶变换。,解： 画出x(n)和 的波形如题4解图所示。,题4解图,或者,5. 设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示， 不直接求出X(ej)， 完成下列运算或工作：,题5图,(1),(2),(3),(4) 确定并画出傅里叶变换实部ReX(ej)的时间序列xa(n)；,(5),(6),解 (1),(2),(3),（4） 因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分， 即,按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示。,题5解图,(5),(6) 因为,因此,6 试求如下序列的傅里叶变换： (1) x1(n)=(n3),(2),(3) x3(n)=anu(n) 0a1 (4) x4(n)=u(n+3)u(n4) 解,(1),(2),(3),(4),或者:,7 设： （1） x(n)是实偶函数， （2） x(n)是实奇函数， 分别分析推导以上两种假设下， 其x(n)的傅里叶变换性质。 解：令,(1) 因为x(n)是实偶函数， 对上式两边取共轭， 得到,因此 X(ej)=X*（ej） 上式说明x(n)是实序列， X(ej)具有共轭对称性质。,由于x(n)是偶函数， x(n) sin是奇函数， 那么,因此,该式说明X(ej)是实函数， 且是的偶函数。 总结以上, x(n)是实偶函数时， 对应的傅里叶变换X(ej)是实函数， 是的偶函数。 （2） x(n)是实奇函数。 上面已推出， 由于x(n)是实序列， X(ej)具有共轭对称性质， 即 X(ej)=X*(ej),由于x(n)是奇函数， 上式中x(n) cos是奇函数， 那么,因此,这说明X(ej)是纯虚数， 且是的奇函数。 8 设x(n)=R4(n)， 试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)， 并分别用图表示。 ,解：,xe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示。,题8解图,9已知x(n)=anu(n), 0a1， 分别求出其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)的傅里叶变换。 解：,因为xe(n)的傅里叶变换对应X(ej)的实部， xo(n)的傅里叶变换对应X(ej)的虚部乘以j， 因此,10 若序列h(n)是实因果序列， 其傅里叶变换的实部如下式： HR(ej)=1+cos 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。 解：,11 若序列h(n)是实因果序列， h(0)=1， 其傅里叶变换的虚部为 HI(ej)=sin 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。 解：,12 设系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n), 0a1， 输入序列为 x(n)=(n)+2(n2) 完成下面各题： (1) 求出系统输出序列y(n)； (2) 分别求出x(n)、 h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解 (1),(2),13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)， 式中f0=100 Hz， 以采样频率fs=400 Hz对xa(t)进行采样， 得到采样信号 和时域离散信号x(n)， 试完成下面各题： （1） 写出 的傅里叶变换表示式Xa(j)； （2） 写出 和x(n)的表达式； （3） 分别求出 的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 解：,上式中指数函数的傅里叶变换不存在， 引入奇异函数函数， 它的傅里叶变换可以表示成：,（2）,（3）,式中,式中 0=0T=0.5 rad 上式推导过程中， 指数序列的傅里叶变换仍然不存在， 只有引入奇异函数函数才能写出它的傅里叶变换表示式。 14 求出以下序列的Z变换及收敛域: (1) 2nu(n) (2) 2nu(n1) (3) 2nu(n) (4) (n) (5) (n1) (6) 2nu(n)u(n10),解 (1),(2),(3),(4) ZT(n)=10|z| (5) ZT(n1)=z10|z| (6),15 求以下序列的Z变换及其收敛域， 并在z平面上画出极零点分布图。 (1) x(n)=RN(n) N=4 (2) x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9, 0=0.5 rad, j= 0.25 rad (3),式中， N=4。,解 (1),由z41=0， 得零点为,由z3(z1)=0， 得极点为 z1, 2=0, 1 零极点图和收敛域如题15解图(a)所示， 图中, z=1处的零极点相互对消。,题15解图,(2),零点为,极点为,极零点分布图如题15解图(b)所示。 (3) 令y(n)=R4(n), 则 x(n+1)=y(n)*y(n) zX(z)=Y(z)2, X(z)=z1Y(z)2,因为,因此,极点为 z1=0, z2=1 零点为,在z=1处的极零点相互对消， 收敛域为0|z|， 极零点分布图如题15解图(c)所示。,16 已知,求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。 解： X(z)有两个极点： z1=0.5, z2=2， 因为收敛域总是以极点为界， 因此收敛域有三种情况： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三种收敛域对应三种不同的原序列。 （1）收敛域|z|0.5：,令,n0时， 因为c内无极点，x(n)=0; n1时， c内有极点 0 ， 但z=0是一个n阶极点， 改为求圆外极点留数， 圆外极点有z1=0.5, z2=2， 那么,(2) 收敛域0.5|z|2:,n0时， c内有极点0.5，,n0时， c内有极点 0.5、 0 ， 但 0 是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， c外极点只有一个， 即2， x(n)=ResF(z), 2=2 · 2nu(n1) 最后得到,（3）收敛域|z|2:,n0时， c内有极点 0.5、 2，,n0时， 由收敛域判断， 这是一个因果序列， 因此x(n)=0； 或者这样分析， c内有极点0.5、 2、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数，c外无极点， 所以x(n)=0。,最后得到,17 已知x(n)=anu(n), 0a1。 分别求： (1) x(n)的Z变换； (2) nx(n)的Z变换； (3) anu(n)的Z变换。 解： (1),(2),(3),18 已知,分别求： （1） 收敛域0.52对应的原序列x(n)。 ,解：,（1） 收敛域0.5|z|2: n0时，c内有极点0.5， x(n)=ResF(z), 0.5=0.5n=2n n0时， c内有极点0.5、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数， c外极点只有2， x(n)=ResF(z), 2=2n,最后得到 x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n| 2: n0时， c内有极点0.5、 2，,n0时， c内有极点0.5、 2、 0， 但极点0是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， 可是c外没有极 点， 因此 x(n)=0 最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n) 19 用部分分式法求以下X(z)的反变换：,(1),(2),解： (1),(2),20 设确定性序列x(n)的自相关函数用下式表示：,试用x(n)的Z变换X(z)和x(n)的傅里叶变换X(ej)分别表示自相关函数的Z变换Rxx(z)和傅里叶变换Rxx(ej)。,解： 解法一,令m=n+m, 则,解法二,因为x(n)是实序列， X(ej)=X*(ej)， 因此,21 用Z变换法解下列差分方程： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0 n1 (2) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(1)=1， y(n)=0 n1 (3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n) y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 当n3时。 解： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0 n1,n0时，,n0时， y(n)=0 最后得到 y(n)=0.5 · (0.9)n+1+0.5u(n),(2) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n), y(1)=1, y(n)=0 n1,n0时，,n0时， y(n)=0 最后得到 y(n)=0.45(0.9)n+0.5u(n),(3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n) y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 当n2时 Y(z)0.8z1Y(z)+y(1)z0.15z2Y(z)+y(1)z+y(2)z2=1,n0时，,y(n)=4.365 · 0.3n+6.375 · 0.5n n0时, y(n)=0 最后得到 y(n)=(4.365 · 0.3n+6.375 · 0.5n)u(n),22 设线性时不变系统的系统函数H(z)为,（1） 在z平面上用几何法证明该系统是全通网络， 即|H(ej)|=常数； （2） 参数 a 如何取值， 才能使系统因果稳定？画出其极零点分布及收敛域。 解：,(1),极点为a, 零点为a1。 设a=0.6， 极零点分布图如题22解图(a)所示。 我们知道|H(ej)|等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度， 按照题22解图(a)， 得到,因为角公用，,，且AOBAOC， 故,，即,故H(z)是一个全通网络。 或者按照余弦定理证明:,题22解图,（2） 只有选择|a|1才能使系统因果稳定。 设a=0.6， 极零点分布图及收敛域如题22解图(b)所示。 23 设系统由下面差分方程描述： y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1) （1） 求系统的系统函数H(z)， 并画出极零点分布图； （2） 限定系统是因果的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h(n)； （3） 限定系统是稳定性的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h(n)。 解： （1） y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1) 将上式进行Z变换， 得到 Y(z)=Y(z)z1+Y(z)z2+X(z)z1,因此,零点为z=0。 令z2z1=0， 求出极点：,极零点分布图如题23解图所示。,题23解图,(2) 由于限定系统是因果的， 收敛域需选包含点在内的收敛域， 即 。 求系统的单位脉冲响应可以用两种方法， 一种是令输入等于单位脉冲序列， 通过解差分方程， 其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应； 另一种方法是求H(z)的逆Z变换。 我们采用第二种方法。,式中,，,令,n0时， h(n)=ResF(z), z1+ResF(z), z2,因为h(n)是因果序列, n0时， h(n)=0， 故,(3) 由于限定系统是稳定的， 收敛域需选包含单位圆在内的收敛域， 即|z2|z|z1|,n0时， c内只有极点z2， 只需求z2点的留数，,n0时， c内只有两个极点： z2和z=0， 因为z=0是一个n阶极点， 改成求圆外极点留数， 圆外极点只有一个， 即z1, 那么,最后得到,24 已知线性因果网络用下面差分方程描述： y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1) （1） 求网络的系统函数H(z)及单位脉冲响应h(n)； （2） 写出网络频率响应函数H(ej)的表达式， 并定性画出其幅频特性曲线； （3） 设输入x(n)=ej0n， 求输出y(n)。 解： （1） y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1) Y(z)=0.9Y(z)z1+X(z)+0.9X(z)z1,令,n1时，c内有极点0.9，,n=0时， c内有极点0.9 ， 0，,最后得到 h(n)=2 · 0.9nu(n1)+(n),（2）,极点为z1=0.9, 零点为z2=0.9。 极零点图如题24解图(a)所示。 按照极零点图定性画出的幅度特性如题24解图(b)所示。 （3）,题24解图,25 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为 x(n)=anu(n), h(n)=bnu(n) 0a1, 0b1 （1） 试用卷积法求网络输出y(n)； （2） 试用ZT法求网络输出y(n)。 解： （1） 用卷积法求y(n)。,n0时，,n0时， y(n)=0 最后得到,（2） 用ZT法求y(n)。,，,令,n0时， c内有极点： a、 b, 因此,因为系统是因果系统, 所以n0时， y(n)=0。 最后得到,26 线性因果系统用下面差分方程描述： y(n)2ry(n1) cos+r2y(n2)=x(n) 式中， x(n)=anu(n), 0a1, 0r1, =常数， 试求系统的响应y(n)。 解： 将题中给出的差分方程进行Z变换，,式中,，,因为是因果系统， 收敛域为|z|max(r, |a|)， 且n0时， y(n)=0， 故,c包含三个极点， 即a、 z1、 z2。,27 如果x1(n)和x2(n)是两个不同的因果稳定实序列， 求证：,式中， X1(ej)和X2(ej)分别表示x1(n)和x2(n)的傅里叶变换。 解： FTx1(n)*x2(n)=X1(ej)X2(ej) 进行IFT， 得到,令n=0, 则,由于x1(n)和x2(n)是实稳定因果序列， 因此,(1),(2),(3),由（1）、（2）、（3）式， 得到,28 若序列h(n)是因果序列， 其傅里叶变换的实部如 下式：,求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。,解：,求上式的Z的反变换， 得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)为,因为h(n)是因果序列， he(n)必定是双边序列， 收敛域取： a|z|a1。 n1时， c内有极点： a，,n=0时，,c内有极点： a、 0，,因为he(n)=he(n)， 所以,29 若序列h(n)是因果序列， h(0)=1， 其傅里叶变换的虚部为,求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。,解：,令z=ej, 有,jHI(ej)对应h(n)的共轭反对称序列ho(n)， 因此jHI(z)的反变换就是ho(n),因为h(n)是因果序列， ho(n)是双边序列， 收敛域取: a|z|a1。,n1时， c内有极点： a,n=0时， c内有极点： a、 0，,因为hI(n)=h(n), 所以,教材第3章习题与上机题解答 1 计算以下序列的N点DFT， 在变换区间0nN1内， 序列定义为 (1) x(n)=1 (2) x(n)=(n) (3) x(n)=(nn0) 0n0N (4) x(n)=Rm(n) 0mN (5) (6) ,(7) x(n)=ej0nRN(n) (8) x(n)=sin(0n)RN(n) (9) x(n)=cos(0n)RN(N) (10) x(n)=nRN(n) 解：,(1),（2）,（3）,(4),(5),0kN1,(6),0kN1,(7),或,（8） 解法一 直接计算：,解法二 由DFT的共轭对称性求解。 因为,所以,所以,即,结果与解法一所得结果相同。 此题验证了共轭对称性。 (9) 解法一 直接计算:,解法二 由DFT共轭对称性可得同样结果。 因为,（10） 解法一,上式直接计算较难， 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为x(n)=nRN(n)， 所以 x(n)x(n1)NRN(n)+N(n)=RN(n) 等式两边进行DFT， 得到 X(k)X(k)WkN+N=N(k),故,当k=0时， 可直接计算得出X(0)为,这样， X(k)可写成如下形式：,解法二 k=0时，,k0时，,所以，,，即,2 已知下列X(k)， 求x(n)=IDFTX(k),(1),(2),其中， m为正整数， 0mN/2, N为变换区间长度。,解: （1）,n=0, 1, , N1,(2),n=0, 1, , N1,3 已知长度为N=10的两个有限长序列：,做图表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循环卷积区间长度L=10。 解: x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)分别如题3解图（a）、 （b）、 （c）所示。,题3解图,4 证明DFT的对称定理， 即假设X(k)=DFTx(n)， 证明 DFTX(n)=Nx(Nk) 证： 因为,所以,由于,所以 DFTX(n)=Nx(Nk) k=0, 1, , N1 5 如果X(k)=DFTx(n)， 证明DFT的初值定理,证: 由IDFT定义式,可知,6 设x(n)的长度为N， 且 X(k)=DFTx(n) 0kN1 令 h(n)=x(n)NRmN(n) m为自然数 H(k)=DFTh(n)mN 0kmN1 求H(k)与X(k)的关系式。 解: H(k)=DFTh(n) 0kmN1 令n=n+lN, l=0, 1, , m1, n=0, 1, , N1, 则,因为,所以,7 证明: 若x(n)为实序列， X(k)=DFTx(n)N， 则X(k)为共轭对称序列， 即X(k)=X*（Nk)； 若x(n)实偶对称， 即x(n)=x(Nn)， 则X(k)也实偶对称； 若x(n)实奇对称， 即x(n)=x(Nn)， 则X(k)为纯虚函数并奇对称。,证: (1) 由教材(3.2.17)(3.2.20)式知道， 如果将x(n)表 示为 x(n)=xr(n)+jxi(n) 则 X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k) 其中， Xep(k)=DFTxr(n)， 是X(k)的共轭对称分量； Xop(k)=DFTjxi(n), 是X(k)的共轭反对称分量。 所以， 如果x(n)为实序列， 则Xop(k)=DFTjxi(n)=0， 故X(k)= DFTx(n)=Xep(k)， 即X(k)=X*(Nk)。,（2） 由DFT的共轭对称性可知， 如果 x(n)=xep(n)+xop(n) 且 X(k)=ReX(k)+j ImX(k) 则 ReX(k)=DFTxep(n), j ImX(k)=DFTxop(n) 所以， 当x(n)=x(Nn)时， 等价于上式中xop(n)=0, x(n)中只有xep(n)成分， 所以X(k)只有实部， 即X(k)为实函数。 又由（1）证明结果知道， 实序列的DFT必然为共轭对称函数， 即X(k)=X*(Nk)=X(Nk)， 所以X(k)实偶对称。,同理， 当x(n)=x(Nn)时， 等价于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0）， 故X(k)只有纯虚部， 且由于x(n)为实序列， 即X(k)共轭对称， X(k)=X*(Nk)=X(Nk), 为纯虚奇函数。 8 证明频域循环移位性质： 设X(k)=DFTx(n)， Y(k)=DFTy(n)， 如果Y(k)=X(k+l)NRN(k)， 则,证：,令m=k+l, 则,9 已知x(n)长度为N， X(k)=DFTx(n)，,求Y(k)与X(k)的关系式。 解:,10 证明离散相关定理。 若 X(k)=X1* (k)2(k) 则,证： 根据DFT的惟一性， 只要证明,即可。,令m=l+n， 则,所以,当然也可以直接计算X(k)=X1 *(k)X2(k)的IDFT。,0nN1,由于,0nN1,所以,11 证明离散帕塞瓦尔定理。 若X(k)=DFTx(n)， 则,证：,12 已知f(n)=x(n)+jy(n)， x(n)与y(n)均为长度为N的实序列。 设 F(k)=DFTf(n)N 0kN1,(1),(2) F(k)=1+jN 试求X(k)=DFTx(n)N， Y(k)=DFTy(n)N以及x(n)和y(n)。 解: 由DFT的共轭对称性可知 x(n) X(k)=Fep(k) jy(n) jY(k)=Fop(k),方法一 （1）,0nN1,由于,0n, mN1,所以 x(n)=an 0nN1 同理 y(n)=bn 0nN1 （2） F(k)=1+jN,，,方法二 令,只要证明A(k)为共轭对称的，B(k)为共轭反对称， 则就会有 A(k)=Fep(k)=X(k), B(k)=Fop(k)=jY(k) 因为,，共轭对称,，共轭反对称,所以,由方法一知 x(n)=IDFTX(k)=anRN(n) y(n)=IDFTY(k)=bnRN(n) 13 已知序列x(n)=anu(n)， 0a1, 对x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔采样N点， 采样序列为,求有限长序列IDFTX(k)N。 解: 我们知道， , 是以2为周期的周期函数， 所以,以N为周期， 将 看作一周期序列 的DFS系数， 则,由式知 为,将式代入式得到,由于,所以,由题意知,所以根据有关X(k)与xN(n)的周期延拓序列的DFS系数的关系有,由于0nN1， 所以,因此,说明： 平时解题时， 本题推导,的过程可省去， 直接引用频域采样理论给出的结论（教材中式（3.3.2）和(3.3.3)）即可。 14 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为 x(n)=0 n0, 8n y(n)=0 n0, 20n 对每个序列作20点DFT， 即 X(k)=DFTx(n) k=0, 1, , 19 Y(k)=DFTy(n) k=0, 1, , 19 试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等, 为什么？,解: 如前所述， 记fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFTF(k)=x(n) 20 y(n)。 fl(n)长度为27， f(n)长度为20。 由教材中式（3.4.3）知道f(n)与fl(n)的关系为,只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上， 才满足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7n19,15 已知实序列x(n)的8点DFT的前5个值为0.25, 0.125-j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0。 （1） 求X(k)的其余3点的值； ,（2）,求X1(k)=DFTx1(n)8；,（3）,，求,。,解： （1）因为x(n)是实序列， 由第7题证明结果有X(k)=X*(Nk)， 即X(Nk)=X*(k), 所以， X（k）的其余3点值为 X(5), X(6), X(7)=0.125+j0.0518, 0, 0.125+j0.3018 （2） 根据DFT的时域循环移位性质，,(3),16 x(n)、 x1(n)和x2(n)分别如题16图(a)、 (b)和(c)所示， 已知X(k)=DFTx(n)8。 求,和,注: 用X(k)表示X1(k)和X2(k)。,解： 因为x1(n)=x(n+3)8R8(n), x2(n)=x(n2)8R8(n)， 所以根据DFT的时域循环移位性质得到,17 设x(n)是长度为N的因果序列， 且,试确定Y(k)与X(ej)的关系式。,解： y(n)是x(n)以M为周期的周期延拓序列的主值序列， 根据频域采样理论得到,18 用微处理机对实数序列作谱分析， 要求谱分辨率F50 Hz， 信号最高频率为 1 kHz， 试确定以下各参数： (1) 最小记录时间Tp min； (2) 最大取样间隔Tmax； (3) 最少采样点数Nmin； (4) 在频带宽度不变的情况下， 使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半）的N值。 ,解: （1） 已知F=50 Hz， 因而,（2）,（3）,（4） 频带宽度不变就意味着采样间隔T不变， 应该使记录时间扩大1倍， 即为0.04 s， 实现频率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）。,19 已知调幅信号的载波频率fc=1 kHz， 调制信号频率fm=100 Hz， 用FFT对其进行谱分析， 试求： (1) 最小记录时间Tp min; (2) 最低采样频率fs min; (3) 最少采样点数Nmin。,解： 调制信号为单一频率正弦波时， 已调AM信号为 x(t)=cos(2fct+jc)1+cos(2fmt+jm) 所以， 已调AM信号x(t) 只有3个频率： fc、 fc+fm、 fcfm。 x(t)的最高频率fmax=1.1 kHz， 频率分辨率F100 Hz（对本题所给单频AM调制信号应满足100/F=整数， 以便能采样到这三个频率成分）。 故,(1),(2),(3),（注意， 对窄带已调信号可以采用亚奈奎斯特采样速率采样， 压缩码率。 而在本题的解答中， 我们仅按基带信号的采样定理来求解。 ） 20 在下列说法中选择正确的结论。 线性调频Z变换可以用来计算一个有限长序列h(n)在z平面实轴上诸点zk的Z变换H(zk)， 使,(1) zk=ak, k=0, 1, , N1, a为实数， a1; (2) zk=ak, k=0, 1, , N1, a为实数， a1; (3) (1)和(2)都不行， 即线性调频Z变换不能计算H(z)在z平面实轴上的取样值。 解： 在chirp-Z变换中， 在z平面上分析的N点为 zk=AWk k=0, 1, , N1 其中 所以 当A0=1, 0=0, W0=a1, j=0时， zk=ak 故说法（1）正确, 说法（2）、 （3）不正确。 ,21 我们希望利用h(n)长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理， 要求采用重叠保留法通过DFT(即FFT)来实现。 所谓重叠保留法， 就是对输入序列进行分段(本题设每段长度为M=100个采样点)， 但相邻两段必须重叠V个点， 然后计算各段与h(n)的L点(本题取L=128)循环卷积， 得到输出序列ym(n)， m表示第m段循环卷积计算输出。 最后， 从ym(n)中选取B个样值， 使每段选取的B个样值连接得到滤波输出y(n)。,(1) 求V； (2) 求B； (3) 确定取出的B个采样应为ym(n)中的哪些样点。 解: 为了便于叙述， 规定循环卷积的输出序列ym(n)的序列标号为n=0, 1, 2, , 127。 先以h(n)与各段输入的线性卷积ylm(n)分析问题， 因为当h(n)的50个样值点完全与第m段输入序列xm(n)重叠后， ylm(n)才与真正的滤波输出y(n)相等， 所以，