人教A版数学第三章第八节

第八节正弦定理和余弦定理应用举例1解斜三角形的四种常见类型及解法已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由ABC180，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解两边和夹角如(a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由ABC180，求出另一角在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用ABC180，求出角C.在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由ABC180，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解，一解或无解2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 的角叫仰角，在水平线 的 角叫俯角(如图a)上方下方(2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如上图b)(3)方向角 相对于某一正方向的水平角(如图c)北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向 北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向 南偏西等其他方向角类型(4)坡度 坡面与水平面所成的二面角的度数(如图d中角)为坡角 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图d，i为坡比)(也称坡度)1在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60，C点的俯 角是70，则BAC等于 ()A10B50 C120 D130【解析】由已知BAD60，CAD70，BAC6070130.【答案】D2两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40，灯 塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的 ()A北偏东10 B北偏西10 C南偏东10 D南偏西10【解析】灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得ACB80，CABCBA50，则605010.故选B.【答案】B【答案】A5如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对 岸的标记物C，测得CAB30，CBA75，AB 120 m，则这条河的宽度为_m.【解析】如图，在ABC中，过C作CDAB于D点，则CD为所求宽度，在ABC中，CAB30，CBA75，ACB75，ACAB120 m.在RtACD中，CDACsinCAD120sin 3060(m)，因此这条河宽为60 m.【答案】60考点一测量距离问题1解决该类问题的一般步骤 (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三 角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解2解斜三角形应用题常有以下几种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用 正弦定理或余弦定理解之(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解 (3)实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此 三角形需连续使用正弦定理或余弦定理 某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD6 km，ACD45，ADC75，目标出现于地面点B处时，测得BCD30，BDC15，如图，求炮兵阵地到目标的距离【思路点拨】1要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得ACB 75，BCD45，ADC30，ADB45，求A、B之间的距离考点二测量高度问题 测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决 某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高【失误点评】解决该类问题时，一定要准确理解仰角和俯角的概念2如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD ，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的 仰角为，求塔高AB.考点三测量角度问题1测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义2在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注 意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点 【思路点拨】本例考查正弦、余弦定理的建模应用如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD.3.外国船只除特许外，不得进入离我国海岸线d n mile以内的区域，如图所 示设A和B是我国的观测站，A与B之间的距离为s n mile，海岸线是过A、B的直线，一外国船只在P点，在A站测得BAP，同时在B站测得A BP，问及满足什么三角函数不等式时，就应当向此未经特许的外国 船只发出警告，命令其退出我国海域？一、选择题1(文)一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一 条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在 船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时 ()A5海里 B5 海里 C10海里 D10 海里【解析】如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在RtABC中，得AB5，于是这艘船的速度是10(海里/小时)【答案】C【解析】如图，AD为山坡底线，AB为行走路线，BC垂直水平面则BC100，BDC30，BAD30，BD200，AB2BD400米【答案】B【答案】A【答案】C【答案】B【答案】A【答案】C二、填空题6(2011年高考上海卷)在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离是_千米10【创新预测题】如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60，半径为2，在弧 AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设AOP，求POC面积的最大值及此时的值 【方法指导】1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型 2把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值 3合理运用换元法、代入法解决实际问题