类比思想在中学数学中的应用教育教学专业

类比思想在中学数学中的应用 数学系 数学与应用数学 摘 要类比的数学思想方法是中学数学中最为常见的一种数学思想方法。类比思想普遍存在于中学数学中的定义、定理、公式、法则、性质以及解决实际问题中。通过类比的数学思想方法可以寻求解决问题的思路，探索数学规律。本文结合具体例子，介绍了类比思想在几何代数中的应用，写作目的是帮助学生通用运用类比思想加深学生对数学概念、性质和定理的理解，提升学生的学习兴趣，提高教师数学课堂的教学效率。关键词：概念，类比，推理，应用，意义Abstract Analogy is a common mathematical method in middle school mathematics. Analogy is widely found in the concept, formula, nature and problem solving of middle school mathematics. Many new knowledge and mathematical laws can be explored by analogy. This paper introduces the application of analogy in geometric algebra with concrete examples. The purpose of writing is to help students to use analogy to deepen students' understanding of mathematical concepts, properties and theorems, improve students' interest in learning and improve teaching efficiency of mathematics classroomKey words: Concept; analogy; reasoning; application; meaning引 言在数学发展研究史中，有一种非常重要的研究方法类比思想研究法，通过该方法能够科学有效地推理具有相同或是类似特征的事物，探究其关系。类比思想主要是由已知推未知，即由某些存在的事物特征去探究与另一事物之间某些相似或是有区别的方面，即可以理解为求同存异，发现事物间的相同之处或不同之处，该方法并不涉及对大量事物进行研究，只需要遵循事物的一般规律。在数学教育教学中，灵活使用类比思想，不仅能培养学生数学思维，让学生对于枯燥乏味的数学概念、公式有更深入的理解，提升课堂教学成效，同时也能让枯燥的课堂变得生动有趣，学生学习积极性有所提高。1 类比思想的内涵古人云：“授人以鱼，不如授人以渔”。学知识，更要学方法。而类比思想是一种应用于数学课堂学习非常有效的方法之一，通过将看似毫无关联的两个或多个事物通过某个特征点联系起来，以探寻新的解决方法，注重探究教学的逻辑性，在数学领域应用比较广泛。由类比思想本身的特性决定了，它是一种通过由认知结构中某种已知领域去探求尚未发现的未知领域的活动，这种在根本上可以刺激学生的好奇心，增加对知识的渴求欲，与学生愿意主动认知世界的心理活动相符，将极大激发学生探求新知的愿望。 2 类比思想在中学数学中的应用122.1巧用类比，引出概念数学是中学学习中的基础学科，数学教学是对学生理性思维方式的培养。数学概念是一种存在于时间、空间范围内通过对象所表现出来的在与不同数量之间的关系，有着科学、独特的属性，其科学性主要是因为这是前辈们通过无数经验、推理、演绎、验证等从众多抽象事物本质中抽离出来的事物关系而得到的结论，并经过反复验算所得，进而能够为人们重复运用，是进行推理、判断的重要依据。因而，类比思想是数学教学中应用广泛且重要的一种方法，尤其是数学众多概念、定理、公式的理解都需要靠类比思想去解答，在探索解题方法时，有效应用类比方法也是一种高效的做题思路，通过类比引用，让学生们可以开阔思维，通过逻辑论证，只需花费少量精力便可获得显著成效，这不仅能够有效锻炼学生思维，发散想象，还能让学生形成一套属于自己的逻辑体系，有助于解决实际难题，使学习更加高效。2.1.1类比思想在中学几何概念中的应用类比就是指借助事物与事物之间具备相似的特征之处，进而通过更加浅显、形象的语言或是动作表达，以探究其内在规律，发现事物间的演变关系。在类比思想的应用过程中，能够开发学生智力，培养学生探索精神，提高学生创新动力。显而易见的是：平面几何的基本构成元素为点和直线，而立体几何的基本构成元素为点、直线与平面。我们可以利用类比建立如下关系：平面内空间中点点或直线直线直线或平面使学生发现一类相似的几何定理，然后我们就可以把平面几何中某些定理中的点换做直线；把直线换做平面，进而获得一些解决问题的办法。例如：（1）在同一平面内，由射线点射线所构成的图形即称之为平面角。 由一条直线，也可以称之为二面角的棱，它所引出的两个半平面，所组成空间图形，则称之为二面角。（2）平面中，到直线距离相等的点的集合，是与直线平行且距离相等的两条直线。空间中，到平面距离相等的点的集合，是与平面平行的两个平面、。 （3）在平面中，由定点F到定直线I之间距离相等的点所构成的运动轨迹叫作抛物线。抛物面：是一种二次曲面，是经由抛物线旋转180°所得。（4）在平面中，已知有两个定点，分别是F1和F2，以及知道一个定长2a，若满足椭圆上的动点p到两定点定长2a，且F1和F2之间的距离要小于2a，则动点p所形成的轨迹就是一个椭圆。椭圆面：也称之为椭球面，是空间直角坐标系中由方程所表示的一个曲面。2.1.2类比思想在中学代数概念中的应用（1）一般地，如果，那么叫做的平方根。一般地，如果，那么叫做的次方根，其中,且。根据初中平方根、立方根的定义，给出、等式子，然后类比平方根，立方根的定义方式，把具体问题一般化，得出a的n次方根的定义。（2）等差数列和等比数列也可以用类比的思想方法来帮助理解。例1 鞋尺码在全国都有一个统一的标准，其数值大小，分别从小至大按顺序可依次取值为：22，22.5，23，23.5，24，24.5，25。在某一家影院中，其座位共有20排，每排可以用一组数列表示：28，30，32，34，36，观察题中两组数列的特点，存在什么样的变化规律。分析：在中，从第二项起，每一项与它前一项的差都为-0.5。在中，从第二项起，每一项与它前一项的差都为2。类比两道题，两组数列，可以找到共性，得出一个规律：定义1：通常情况下，在一组数列中，如果从第2项开始算相邻两项之间的差，其差值都为同一个常数，那么这组数列就是等差数列。例2 存在一种计算机病毒能够借助计算机中的地址信息，将病毒通过发邮件的形式传播出去，此时，将计算机病毒制作者的电脑中的病毒成为病毒传播的第一轮，邮件接受者的电脑所接收到的病毒成为第二轮，由此类推假设每一轮的运转中，每一台计算机病毒都能感染20台计算机，那么在不出现重复的状况下，这种计算机病毒每一轮感染的计算机数量能够构成一种数列为：在古时候就在数学知识上有造诣的学者曾提出一句名言：古 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”。使用现代话语将其解释，可以理解为：有一根一尺长的木棒，如果每天就取它的一半，那么永远也取不完。此时如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么可以列出一个无穷数列：。分析：通过观察和计算可以发现：在中，从第二项起，每一项与前一项的比都等于20。在中，从第二项起，每一项与前一项的比都等于。类比两道题，两组数列，此时就可以总结出一个普遍规律：定义2一般情况下，在某一项数列中，如果前一相与后一项数列的比值是同一个常数，则该数列就可以称为等比数列。2.2类比思想在中学数学公式中的应用1232.2.1类比思想在中学几何公式中的应用（1）依据椭圆的概念，可以进行推测：若将椭圆概念中的 “距离的和”改为“距离的差”，那么点的移动轨迹会随之出现怎样的变动呢?方程又将有哪些改变？椭圆双曲线建系设点以过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴建立直角坐标系以过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴建立直角坐标系设焦距设焦距为 ,则，；设焦距为 ,则，；设曲线上任意一点为点M与的距离之和的绝对值为2a 点M与的距离之差的绝对值为2a 曲线上点的集合坐标化化简根据令 根据令 标准方程当焦点在轴时 当焦点在轴时 当焦点在轴时 当焦点在轴时 椭圆双曲线建系设点以过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴建立直角坐标系以过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴建立直角坐标系设焦距设焦距为 ,则，；设焦距为 ,则，；设曲线上任意一点为点M与的距离之和的绝对值为2a 点M与的距离之差的绝对值为2a 曲线上点的集合坐标化化简根据令 根据令 标准方程当焦点在轴时 当焦点在轴时 当焦点在轴时 当焦点在轴时 （2）三角形面积公式与三棱锥体积公式三角形面积公式: 三棱锥体积公式：借助类比思路与三角形的求积公式可以进行三棱锥体积公式的推导过程：分析可知：推导三角形的求积公式时，可以通过拼接的方法，得到一个与所求三角形全等的三角形，进而再得到一个平行四边形，此时，就能够得出三角形的面积公式是构造出的平行四边形的二分之一。类比三角形面积公式，可以大胆的提出假想：想对三棱锥的体积进行计算，也可以利用拼接的方法，用三个与所求三棱锥完全相同的三棱锥拼接成一个三棱柱，其中一个三棱锥的体积，就是这个棱柱体积的（3）圆的标准方程可以类比两点间距离公式圆上任意点与圆心的距离为r的点的集合为由两点距离公式可以表示为圆的标准方程（4）正三角形的三边中点的连线，仍然构成正三角形，边长为。正四面体的四个面的中心的连线，仍然构成正四面体，棱长为正三角形三条边中点连线，可以通过证明全等，知道得到了四个互为全等的正三角形，每一条边为原来的一半，设原三角形边长为a，则三边中点连线的三角形边长为。例3：如图，若四面体是正四面体，E、F是、的中心。分析：可以通过证明四面体中心的连线都为棱长的，推出各个面中心的连线围成的图形是正三角形。证明：取AC中点M，连接BM、DM、EF则BM经过点E，DM经过点F，且，即同理可证，其他中心的连线都是棱长的围成的平面图形都是正三角形正四面体各个面中心连线组成的图形也是正四面体2.2.2类比思想在中学代数公式中的应用（1）等差数列有关公式: 等差数列的通项公式分析：一般地，如果等差数列的首项是，公差是d，可以根据等差数列的定义，得到如下一些式子：，所以， 类比和两个式子，可以发现等差数列的前n项和公式：分析：利用德国著名数学家高斯的方法：“倒序相加法 ”对等差数列前n项求和得 把，两式相加可得这个公式要求必须具备三个条件：当我们把通项公式代入，也可以用首项和公差d来表示，这时的等差数列的前n项和公式为（2）等比数列有关公式在等差数列中，可以用和d表示，类似的，在等比数列中也可以用和q来表示，类比等差数列的通项公式等差数列等比数列等比数列的前n项和公式：分析：一般地，对于等比数列，它的前n项和是 根据等比数列的通项公式，可以写成： 通过类比观察，我们可以发现，如果用公比q乘的两边可得： 、的右边存在着一些无差异的项，若与等式两边分别相减，则可以消除一部分没有差别的项，进而得到所以，当时，等比数列的前n项和公式为因为，所以上述公式还可以写成当时，等比数列的前n项和公式为2.3类比思想在中学数学性质中的应用42.3.1类比思想在中学几何性质中的应用（1）平面几何中的类比A定理1：在同一个平面中，有两组对角线，并且对角线之间是相互垂直的，且平分对角，则这个图形称之为菱形。定理2：在同一个平面中，有两组对角线，且对角线不仅满足垂直平分的条件，同时两个对角线段相等，并平分对角，则这个图形称之为正方形。B定理3：在一个平面中，两底角度数相等的图形则称之为等腰三角形。定理4：在一个平面中，位于同一个底边的两个底角是相等的，那么这个图形就是等腰梯形。（2）平面几何与立体几何之间的类比A 三角形有且仅有一个外接圆和一个的内切圆；三棱锥有且仅有一个外接球和一个的内切球。B 从三角形三条边的中点出发，其延长线段相交于一点，该点将三条中线划分，其比例为2:1；立体图形三棱锥，由其图形中的四条中线所汇聚的一点，则该点将四条中线划分的比例为3：1。C从三角形的三个角出发，其平分角的三条线段相交，该交点所在位置便是三角形内切圆的圆心；同理，三棱锥的六个面中，从其六个面的六个角出发的六条线段相交一点，则该点为三棱锥内切球的球心。（3） 由平面图形（三角形）VS空间图形（四面体）A 任意一个三角形，其任意两边之和都比第三边大。 在任意一个四面体中，其中三个任意面的面积的和都要比第四面面积大。 B 同理，三棱锥的六个面中，从其六个面的六个角出发的六条线段相交一点，则该点为三棱锥内切球的球心。在四面体中，从其六个面的六个角出发的六条线段相交一点，则该点为四面体内切球的球心。 C 在平面三角形图形中，任意两个边的中点所构成的连线，都于第三条边平行，且是第三边的二分之一长。 在四面体中，从任意三条棱出发，其相交的中点所汇聚成的三角形，它的面积是第四个平面面积的四分之一，并且与第四面是平行关系。D 在平面三角形中，从任意一个边的中点出发，其中线所处的位置，将三角形平分为两个面积相等的部分。 在一个四面体图形中，任意一个三角形面上的一条中线，和这个三角形所在平面外一顶点所确定的平面，将四面体平分成了两个体积相等的部分。（4）平面内的正三角形与空间中的正四面体性质类比A 正三角形：三条边相等。 正四面体：六条棱长相等，且每个面面积相等。B 正三角形：三个角相等。 正四面体的四个面中，任意两个面所组成的二面角都相等，各条棱与其相交面所成的线面角都相等，相交的棱的夹角都相等。2.3.2类比思想在中学代数性质中的应用（1）分数：在一个分数中，其分子和分母，若同时与一个不为零的数进行乘、除运算，分数的大小将不会发生变化。分式：分式中分子和分母，与一个不为零的整式进行乘、除运算，分式值不会变化。（2）等差数列的性质：若，则存在若，则以上m、n、p、q均为正整数等比数列的性质：若，且，则有在等比数列中，依次每I项之和仍然是一个等比数列。如果G是a、b的等比中项，则 2.4类比思想在中学几何题中的应用例1 若从点O所做的两条射线OM、ON上分别有点、与点、，则三角形的面积之比为。若做出三条射线分别为OP、OQ和OR，与点O不在同一个平面内，与点O有三点连接点分为： 与点和，从而借助数学类比思想可以推论出结果为： 。分析：两个三角形在平面上的面积比值，将其与空间图形类比，则应是体积之比。多面体类比多边形；由多面体构成的几何图形中，多面体的面类比于多边形平面图中的边；而前者的体积又类比于后者的面积；其多面体图形中的二面角对应多边形中的平面角。在这道题中，应用的是：多面体类比多边形；多面体的体积类比多边形的面积，即 ; 进而可以得到猜想：。例2 设的两边AB、AC相互垂直，则,“设三棱锥的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 ”从而推论出?分析：将平面图形相关的知识和立体几何知识进行类似分析，能够使用知识迁移的分析策略，有利于化繁为简。本题是把平面几何中的勾股定理拓展到空间，来研究立体几何中三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系。在本题利用的是多面体类比多边形：多边形多面体三棱锥边：AB、AC边：BC 可以通过类比，得到本题的答案“：设三棱锥的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则。”总 结数学学家波利亚曾对类比思想进行定义：“类比思想类似于一种相似思想，是根据两个或者两个以上的数学对象进行相似性假设，将一类数学对象所具有的，大家所熟知的特性，转移到另一类与它相似的数学对象上去，进而得出新的启发和规律的一种思想方法”。类比思想能够在人们学习数学知识和解决数学实际问题的过程中，发挥着为不可或缺的作用，能够帮助人们获得更多数学发现，因此，这种思想在数学界占据着重要的地位。学生在学习数学知识的过程中，借助类似思想，可以更好地理解和记忆不同层次具有相似性，容易被混淆的数学定义，更好地掌握数学实施的定义、公式和性质。数学知识的具体内容在教科书上有详细且明确的表达，而类似思想作为数学研究和数学发现中常使用的逻辑思维思想，在数学学习中的存在感不高，容易受到忽视。因此，在数学学习的过程中，一方面需要向学生介绍类比这种方法，同时，也要及时启发学生在处理数学疑问时，灵活应用类比的思想方法，提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。