2019-2020年高三2月统练数学理科试题.doc

2019-2020年高三2月统练数学理科试题一选择题1设全集，则 （ ）A B C D2已知命题p：， ，命题q：，则 （ ）A 命题是假命题 B 命题是真命题C 命题是假命题 D 命题是真命题3若，则的值是 （ ）A B C D4执行如右图所示的程序框图，输出的S值为 （ ）A B C D 5从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）A300种 B240种 C144种 D96种6直线与圆相交于，两点，若，则的取值范围是 （ ）A B C D7已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面平面，得到如图所示的三棱锥若为边的中点，分别为线段，上的动点（不包括端点），且设，则三棱锥的体积的函数图象大致是（ ） A BC D8如图，椭圆的中心在坐标原点，顶点分别是，焦点为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为 （ ）A B C D 二填空题9的展开式中的常数项是 （用数字作答）10已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间上的汽车大约有 辆11在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域的面积是9，则实数的值为 12某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润（万元）与机器运转时间（年数，）的关系为，则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是 万元13平面向量中，已知，且，则向量=_14已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，两点，以下命题：若直线的倾斜角为，则；过分别作准线的垂线，垂足分别为,，则；连接,并延长分别交抛物线的准线于，两点，则以为直径的圆过焦点其中真命题的序号为 三解答题15（本题满分13分）在锐角中，分别为内角，所对的边，且满足（）求角的大小；（）若，且，求的值16（本小题共13分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1底面ABC，AC=BC=2，CC1=4，M是棱CC1上一点（）求证：BCAM；（）若M，N分别是CC1，AB的中点，求证：CN /平面AB1M；（）若，求二面角A-MB1-C的大小17（本小题共13分）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择是相互独立的（）求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；（）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（）设4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为，求的分布列和数学期望18（本题满分13分）已知函数（，为正实数）（）若，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若函数的最小值为，求的取值范围19（本题满分14分）已知椭圆两个焦点的坐标分别为，并且经过点过左焦点，斜率为的直线与椭圆交于，两点 设，延长，分别与椭圆交于两点（I）求椭圆的标准方程； （II）若点，求点的坐标；（III）设直线的斜率为，求证：为定值20设数列中，若，则称数列为“凸数列”（）设数列为“凸数列”，若，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；（）在“凸数列”中，求证：；（）设，若数列为“凸数列”，求数列前项和*（备选题）20定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”，.（）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求k的取值范围；（）已知数列的首项为xx，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列； （）根据“保三角形函数”的定义，对函数，和数列1，（）提出一个正确的命题，并说明理由xx届北大附中高三数学统练答案（1202）一选择题18 CDAA BABD二填空题915 10. 80 11. 1 12. 5,8 13. 14.三解答题15解：（）因为， 所以， 2分因为，所以. 3分 又为锐角， 则. 5分（）由（）可知，因为， 根据余弦定理，得 ，7分整理，得 由已知 ，则 又，可得 ， 9分于是， 11分所以 13分16证明：（）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1平面ABC，所以CC1BC 1分因为AC=BC=2， 所以由勾股定理的逆定理知BCAC 2分因为ACCC1=C，所以BC平面ACC1A1 3分因为AM平面ACC1A1，所以BCAM 4分（）连结A1B交AB1于P 5分因为三棱柱ABC-A1B1C1，所以P是A1B的中点 因为M，N分别是CC1，AB的中点，所以NP / CM，且NP = CM，所以四边形MCNP是平行四边形，6分所以CN/MP 7分因为CN平面AB1M，MP平面AB1M， 8分所以CN /平面AB1M 9分（）因为BCAC，且CC1平面ABC， 以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz 因为，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,4)， 10分设平面的法向量，则，即 11分令，则，即又平面MB1C的一个法向量是，所以 12分由图可知二面角A-MB1-C为锐角，所以二面角A-MB1-C的大小为 13分17解：（）设“甲、乙两人都选择A社区医院”为事件，那么 1分 3分所以甲、乙两人都选择A社区医院的概率为 4分（）设“甲、乙两人选择同一个社区医院”为事件，那么 5分， 7分所以甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率是8分（）（方法一）随机变量可能取的值为0，1，2，3，4那么 9分； ； ； （写错三个没分） 所以的分布列为0123412分 13分（方法二）依题意, 10分所以的分布列为，即0123412分所以 13分18解：（）当时，则. 2分 所以.又，因此所求的切线方程为. 4分（）. 5分 （1）当，即时，因为，所以，所以函数在上单调递增. 6分 （2）当，即时，令，则（）， 所以. 因此，当时，当时，.所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为. 10分（）当时，函数在上单调递增，则的最小值为，满足题意. 11分 当时，由（）知函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为，则的最小值为，而，不合题意.所以的取值范围是. 13分19解：（I）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，由椭圆的定义知,. -2分所以，,所以所求椭圆的标准方程为. -4分（II）直线的方程为，代入椭圆方程，得解得（舍），或. -6分代入直线的方程，得，所以点的坐标为. -7分（III）设，直线的方程为，所以.代入椭圆方程，消去得：. -8分又因为点在椭圆上，有方程化简为. -9分则，且，所以.代入直线的方程，得，所以 . -10分同理，. -12分因为三点共线，所以.即. -13分所以，而.所以为定值. -14分20设数列中，若，则称数列为“凸数列”（）设数列为“凸数列”，若，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；（）在“凸数列”中，求证：；（）设，若数列为“凸数列”，求数列前项和解：（1）， 4分（2）由条件得，6分，即8分（3） 10分由（2）得12分 ，14分20定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”，.（）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求k的取值范围；（）已知数列的首项为xx，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列； （）根据“保三角形函数”的定义，对函数，和数列1，（）提出一个正确的命题，并说明理由解：（1）显然，对任意正整数都成立，即是三角形数列 2分因为k>1，显然有，由得，解得.所以当时，是数列的“保三角形函数”. 5分（2）由得,两式相减得所以，经检验，此通项公式满足 7分显然，因为，所以 是“三角形”数列 10分（3）探究过程：函数，是数列1，1+d，1+2d 的“保三角形函数”，必须满足三个条件：1，1+d，1+2d是三角形数列，所以，即数列中的各项必须在定义域内，即.是三角形数列.由于，是单调递减函数，所以，解得