半圆形粗糙面的拉力问题的研究

半圆形粗糙圆环最大拉力的研究一、微分方程与速度的通解二、轻杆拉力的分析设物块的质量为m，物块从A点无初速滑下，当物块与圆心连线和水平方向的夹角为(单位：rad)时，物块到达P点的瞬时速度为v，此时对物块由牛顿第二定律，得2sinNvFmgmR (1)(1)式中NF为轨道对物块的弹力.(2)设轨道对物块的滑动摩擦力为f，则NfF (2)在此过程中，由动能定理，得21sin2fmgRWmv (3)(3)式中fW为物块克服摩擦力做的功，是变力功，需要用积分来计算.00fWfdxfRd (4)由(1)、(2)、(4)式经计算可得20(1cos)fWmgRmv d (5)(5)式中物块的速度v随的变化而变化，2v不能当作常量1（文献 1 中认为2v是常量），因此2v不能简单地提到积分号外.将(5)式代入(3)式，得2201sin(1cos)2mgRmgRmv dmv (6)(6)式为一积分方程，怎样求解呢？其实只要将速度v看为关于的函数，并利用结论：积分上限函数的导函数等于被积函数，即()()xadf x dxf xdx，(应为0()()xdf x dxf xdx)(6)式两边对求导，得221cossin2dvmgRmgRmvmd ()()式也可以这样得出：沿切向方向，对物块由牛顿第二定律，得cosdvmgfmdt，由(1)、(2)式及链式求导公式，得2cos(sin)vdvdmgmgmmRddt，该式两边同时乘以R，得2cossindvRdmgRmgRmvmddt而212dvRddvdxdvdvmmmvmddtddtdd，故()式成立.将()式整理，得2222(cossin)dvvgRd，令2vy，则该式可化为22(cossin)dyygRd，它的通解是（这是初始状态值）注明：上式中物体的初速度为零轻杆的拉力2222()(sin)2(sin)sinvvFMgmgmMgmgmRR代值后得22222222()2(12)sin3cos341(sin)2(12)sin3cos3412(sin)sinMggReFmgmRgReMgmgmR本题为了研究问题的方便性，不妨设M=0，则2222sin(12)sin3cos341gFmgme由题目可知拉力最小值为零，最大值为2mg用数值模拟得，摩擦因数大约为0.25 三、克服摩擦力做功的运算1.当角度为90 度时，物体的0.25f()sin()2142122sin()3cos()3e200.20.40.60.811.21.400.511.522.5f()速度约为0.924gR，所以减少的机械能为20.924(1)0.5742mgRmgR2.还可以用积分来算20(1cos)fWmgRmv d0.25022142122sin()3cos()3e2d0.574两个答案相同。