深刻理解组合与排列的区别与联系

§10.3组合（2）1深刻理解组合与排列的区别与联系，提高学生抽象思维及分析问题的能力。2掌握组合数公式，并能利用它们解决一些简单的应用问题。教学过程1 复习回顾（1）排列的概念、组合的概念。（2）排列与组合的区别与联系。（3）排列数公式、组合数公式。2 例题精讲例1.教科书10.3例题2：求证C m =C m+1 .n n m n目的：让学生掌握组合数公式（证明略）n变式：求证C m = C m-1.n m n1学生证明后,指出上式可改写为：mCm =nCm-1.nn 1注：上式在化简有组合数的和式时有一定的作用，如：1C1 +2C2 +3C3nnn+9C9 =nC0 +nC1 +nC2 +n1nn1n1+nC8n1例2：计算c2和c4 ；666x5解：C2=15, C4 =6 2x164x 3x 2x17x 6x 56x 5 C3 C2=3515=20,7 6 3x 2x12x111x10x 9x 8 11x10x 9x 8x 7 C 4 +C5 =+=79211 114x 3x 2x15 x 4x 3x 2x1目的：为下节课学习组合数定额两个性质打好基础。例3:从数字1、2、5、7中任选2个，计算它们的和，试问可以得到多少个不同的和?C3 C2 与 C3 ；7 6 66 x 5 x 4 x 3 =15； C41+C51.6x5x4C6= 3 x 2 x 1 =20从数字 1、 2、 5、 7 中任选 2 个,计算它们的差,试问可以得到多少个不同的差？ 解：因为加法满足交换律，所以第一问从数字1、2、5、7中任选2个数作和，与所选数 字的顺序无关，属于组合问题，因此，结果为 C2 =64从数字 1、 2、 5、 7 中任取 2 个作差，有减数与被减数之分，因此所取两个数与顺序有关 属于排列问题。因此结果为A2=4X3=12O4目的：帮助学生正确区分排列与组合。例 4:教科书例 3O分析：以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同元素中取出210 X 9个元素的组合数，即C2=45。102X1由于有向线段的两个端点中一个是起点，一个是终点，以平面内10个点中每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即A2 =10X9=90010 目的：培养学生如何把实际生活中的问题初步提炼为“数学模型”，从而解决问题。例 5：有不同的中文书7本，不同的英文书5本，从中选出2本书。(1)若其中一本为中文书，一本为英文书，问共有多少种不同的选法？(2)若不限条件，问有多少种不同的选 法？分析(1)：完成这件事必须分两步进行，第一步从7本不同的中文书选出1本，第二步从5 本不同的英文书中取1 本，因此要用分步计数原理。 C1 .C1 =3575 分析(2):所选的2本书可以2本中文书,也可以是两本英文书,还可1本是中文书,1本是英文书, 因此完成这件事有三类办法,要采用分步计数原理,且选取的 2本书与顺序无关,它属于组合问 题.解法(1)«2+。2+0 C1 =21+10+35=667575解法(2):问题相当于12本不同的书中任意选取2本书,即为12个不同元素中取出2各不同元 12X11素的组合数,C2 =66122X1答:一共66种不同的选法. 目的:训练学生合理应用分类(步)计数原理的能力,以及将实际问题转化为”数学模型”的能力. 3课堂练习(1) 计算 C3， 3C3-2C2 (答案：56， 148)885m +1(2) 求证：C m =C m+1n n + 1 n+190(3) 圆上有10个点，过每2个点画一条弦，一共可画多少条弦？(C2=45)10 2(4) 空间有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，一共可以作多少个平面？(C3=56)84课堂小节(1) 由排列数和组合数的关系Cm Am =Am进一步理解排列与组合的联系和区别；排列与n m n顺序有关，而组合与顺序无关。(2) 解决实际问题首先看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要 利用分类(步)计数原理。布置作业教科书习题10.3第2、3(2)、6(2)题。