用二分法求方程的近似解经典例题及答案

例 1：利用计算器，求方程0122 xx的一个近似解（精确到 0.1）【解】设2()21f xxx，先画出函数图象的简图.(如右图所示)因为(2)10,(3)20ff ，所以在区间(2,3)内，方程2210 xx 有一解，记为1x.取2与3的平均数2.5，因为 (2.5)0.250f，所以 122.5x.再取2与2.5的平均数2.25，因为(2.25)0.43750f，所以 12.252.5x.如此继续下去，得 1(2)0,(3)0(2,3)ffx1(2)0,(2.5)0(2,2.5)ffx1(2.25)0,(2.5)0(2.25,2.5)ffx1(2.375)0,(2.5)0(2.375,2.5)ffx1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,ffx2.4375)，因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为 12.4x.利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.点评:第一步确定零点所在的大致区间),(ba，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为 1 的区间；建议列表样式如下：零点所在区间 区间中点函数值 区间长度 3,2 0)5.2(f 1 5.2,2 0)25.2(f 0.5 5.2,25.2 0)375.2(f 0.25 5.2,375.2 0)4375.2(f 0.125 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步 例 2：利用计算器，求方程xx 3lg的近似解（精确到 0.1）分析：分别画函数lgyx和3yx 的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等因此，这个程xx 3lg的 解 由 函 数lgyx与点的横坐标就是方3yx的图象可以发现，方程xx 3lg有惟一解，记为1x，并且这个解在区间(2,3)内.【解】设()lg3f xxx，利用计算器计算得 1(2)0,(3)0(2,3)ffx1(2.5)0,(3)0(2.5,3)ffx1(2.5)0,(2.75)0(2.5,2.75)ffx1(2.5)0,(2.625)0(2.5,2.625)ffx(2.5625)0,(2.625)0ff1x(2.5625,2.625)因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为 12.6x.思考:发现计算的结果约稳定在2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法迭代法 除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等 例 3：利用计算器，求方程24xx的近似解（精确到 0.1）【解】方程24xx 可以化为24xx 分别画函数2xy 与4yx的图象，由图象可以知道，方程24xx的解在区间(1,2)内，那么对于区间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为1.4x.追踪训练一 1.设0 x是方程ln4xx 的解，则0 x所在的区间为（B）A(3,4)B(2,3)C(1,2)D(0,1)2.估算方程25710 xx 的正根所在的区间是 （B）A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)3计算器求得方程25710 xx 的负根所在的区间是（A）A（1，0）B2,1 C2.5,2 D3,2.5 4.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到0.1)(1)lg21xx (2)34xx 答案:(1)0.8(2)13.9x ,21.6x 一、含字母系数的二次函数问题 例 4：二次函数2()f xpxqxr中实数p、q、r满足021pqrmmm，其中0m，求证：（1）()01mpfm)；（2）方程()0f x 在(0,1)内恒有解 分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据：1mm是区间(0,1)内的数，且()01mpfm，这就启发我们把区间(0,1)划分为(0，1mm)和（1mm，1）来处理【解】（1）2()()()111mmmpfp pqrmmm 2(1)1pmqrpmmmm 2(1)2pmppmmm222(2)(1)(1)(2)m mmp mmm 22(1)(2)p mmm，由于()f x是二次函数,故0p，又0m，所以，()01mpfm 由题意，得(0)fr,(1)fpqr 当0p 时，由（1）知()01mfm 若0r，则(0)0f，又()01mfm,所以()f x 在（0，1mm）内有解 若0r，则(1)fpqr(1)pm()2prrmm 02prmm，又()01mfm，所以()0f x 在（1mm,1）内有解 当0p 时同理可证 点评：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数0p 若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改（2）对字母p、r分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对p分类，然后对r分类显然是比较好 追踪训练二 1若方程2210axx 在(0,1)内恰有一则实数a的取值范围是 (B )A1,)8 B(1,)C(,1)D1,1)8 2.方程22210 xxk 的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k的取值范围是112k；3已知函数()24f xmx，在 2,1上存在0 x，使0()0f x，则实数m的取值范围是_12mm 或_ 4已知函数 3f xxx 试求函数 yf x的零点；是否存在自然数n，使 1000f n？若存在，求出n，若不存在，请说明理由 答案：（1）函数()yf x的零点为0 x；（2）计算得(9)738f，(10)1010f，由函数的单调性，可知不存在自然数n，使 1000f n 成立