305微分12.ppt

1/29._)(.12 yyxfy，则若._)0(4arctan .22 yyxy，则 2/29._)(.12 yyxfy，则若)()(22 yxyxfy)2()(22yxxyyxf )(1)(2 222yxfxyxfxyy )(1)(2222yxfxyxfxy 3/29._)0(4arctan .22 yyxy，则 1)0(y011222 yyyxyy代代入入上上式式1)0(,0 yx2)0(y则则2 4/29.,)()(定定的的函函数数称称此此为为由由参参数数方方程程所所确确间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若参参数数方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t5/29),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy ,0)(,)(),(ttytx 且且都都可可导导再再设设函函数数由复合函数及反函数的求导法则得xttyxydddddd txtydd1dd )()(tt txtyxydddddd 即即,)()(中中在在方方程程 tytx 6/29,)()(二二阶阶可可导导若若函函数数 tytx)dd(dddd22xyxxy xttttdd)()(dd )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(dd322tttttxy 即即7/29例例1010解解txtyxydddddd ttcos1sin taatacossin 2cos12sindd2 txy.1.2)cos1()sin(处处的的切切线线方方程程在在求求摆摆线线 ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12(axay)22(axy即即8/29例例1111解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxtxtyxydddddd)sin(cos3cossin322ttatta ttan )dd(dddd22xyxxy)cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 一、微分的定义一、微分的定义二、微分的几何意义二、微分的几何意义 三、微分公式及微分法则三、微分公式及微分法则 四、微分形式不变性四、微分形式不变性 五、微分在近似计算中的应用五、微分在近似计算中的应用 10/29正方形金属薄片受热后面积的改变量。正方形金属薄片受热后面积的改变量。20 xy 0 x0 x,00 xxx 变变到到设设边边长长由由,20 xy 正方形面积正方形面积2020)(xxxy .)(220 xxx 的“线性主部”的主要部分，称为是yyxx 02xxyx 02很很小小时时，当当x x 2)(x xx 0 xx 01、引例的的函函数数是是可可见见xy 00022lim xxxxx 0)(lim 20 xxx的同阶无穷小的同阶无穷小是是 xxx 02 )0()(0)(2 xxx11/29.,),(,)(,)(,)0()()()(,)(000000000 xAdfxAdyxdfdyxxfyxAxxfyxAxxoxAyxfxxfyxxxfyxxxxxx 或或即即或或记记作作处处的的微微分分在在点点为为并并且且称称可可微微在在点点则则称称无无关关与与其其中中可可以以表表示示为为函函数数的的改改变变量量处处的的改改变变量量如如果果对对自自变变量量在在有有函函数数设设.的的线线性性主主部部叫叫做做函函数数增增量量微微分分ydy(微分的实质微分的实质)注注:;)1(的的线线性性函函数数是是自自变变量量的的改改变变量量xdy;)()2(高高阶阶无无穷穷小小是是比比 xxodyy ;)(,)3(0有有关关和和但但与与无无关关与与xxfxA).(,)4(线线性性主主部部很很小小时时当当dyyx 2、微分的定义12/29.,),(,)(,)(,)0()()()(,)(000000000 xAdfxAdyxdfdyxxfyxAxxfyxAxxoxAyxfxxfyxxxfyxxxxxx 或或即即或或记记作作处处的的微微分分在在点点为为并并且且称称可可微微在在点点则则称称无无关关与与其其中中可可以以表表示示为为函函数数的的改改变变量量处处的的改改变变量量如如果果对对自自变变量量在在有有函函数数设设.的的线线性性主主部部叫叫做做函函数数增增量量微微分分ydy(微分的实质微分的实质)问题问题:2、微分的定义什么条件下可微什么条件下可微?A=?13/29).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点可微的充要条件是函数可微的充要条件是函数在点在点函数函数定理定理证证 必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),(xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A).(,)(00 xfAxxf 且且可可导导在在点点即即函函数数3、可微的充要条件充分性充分性,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx ,)(0 xxxfy 从从而而,)(0 xfxy即即),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可可微微在在点点函函数数).(.0 xfA 可可微微可可导导14/29.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记记作作称称为为函函数数的的微微分分的的微微分分在在任任意意点点函函数数，则则若若2xy xxdy )(2.2xx .称称为为自自变变量量的的微微分分的的增增量量自自变变量量xx dxxfdy)()(xfdxdy .微微商商导导数数也也叫叫该该函函数数的的导导数数之之商商等等于于与与自自变变量量的的微微分分即即函函数数的的微微分分dxdyxxxd cos)(sin.21xxxd xdx 反函数和复合反函数和复合函数求导法则函数求导法则15/29)(xfy 0 xMNTdyy)(xo ）xyo x 几何意义几何意义:(:(如图如图).,0线纵坐标对应的增量线纵坐标对应的增量就是切就是切坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵时时量量处的改变处的改变当自变量在当自变量在dyyxx xx0 P.,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲线线段段切切线线段段的的附附近近在在点点很很小小时时当当 16/29dxxfdy)(求法：求法：计算函数的导数，乘以自变量的微分。计算函数的导数，乘以自变量的微分。微分基本公式微分基本公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 1、微分的求法2、微分法 dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(17/29微分法则微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 例例1 1.),ln(2dyexyx求求设设 解解,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 2)1(vdvvd 18/29结论：结论：微分形式的不变性微分形式的不变性则则可可导导对对设设函函数数,)(uufy )()(xxfy 由复合函数求导法：由复合函数求导法：dxxxfdy)()(duuf)(的的微微分分形形式式总总是是函函数数是是自自变变量量还还是是中中间间变变量量无无论论)(,ufyu duufdy)(;)()1(duufdyu 分分是是是是自自变变量量时时，函函数数的的微微当当的的复复合合函函数数是是则则的的可可导导函函数数而而是是不不是是自自变变量量若若xxfyxuxu)(),(,)2(19/29例例2 2解解xyeyxarctan)2(,)1(1 方方法法一一)1(应用举例：应用举例：用两种方法求下列函数的微分用两种方法求下列函数的微分)1(21xeyx xex121 dxexdyx121 方方法法二二xdedy1)1(1xdex dxexx121 20/29例例2 2解解xyeyxarctan)2(,)1(1 方方法法一一)2(应用举例：应用举例：用两种方法求下列函数的微分用两种方法求下列函数的微分)(11 xxy)1(21xx dxxxdy)1(21 方方法法二二xddyarctan)(11xdx dxxx)1(21 21/29例例3 3解解.1)(dyxeyxfyy唯一确定，求唯一确定，求由方程由方程已知已知 )(dx乘乘以以先先求求隐隐函函数数的的导导数数，再再方方法法一一)(微微分分形形式式不不变变性性方方法法二二yxeeyyy 方程关于方程关于x求导求导yyxeey 1yey 2dxyedyy 2 )(yxeddy 方程直接微分方程直接微分yyxdedxedy dyxedxeyy dxyedxxeedyyyy 21 22/29例例4 4.已知已知 求求 dy 22yxeeyx :两两边边求求微微分分得得dxexdyeyxy)2()2(dxeyexdyyx)2()2(ydyxdxdyedxeyx22 解解:23/29原理：原理：,较较小小时时当当 x.)(0 xxf 00 xxxxdyy )(xfy 0 xTdyy)(xo x xx 0 xyoAPMN1、近似公式时，时，1 xdyy (1)()()(000 xxfxfxxf (2)()()(000 xxfxfxxf 公式公式(1)常用于计算函数的改变量常用于计算函数的改变量;公式公式(2)常用于计算常用于计算x0周围点的函数值周围点的函数值.24/29例例5 5解解334rV 设设.2.0,5cmrcmr 令令2.0542 52.0 rrdVV直径为直径为10cm10cm的铅球外均匀包了一层的铅球外均匀包了一层0.2cm0.2cm厚的铁厚的铁,求外壳求外壳(铁铁)体积的近似值体积的近似值.rr dVV rV rr 24 20 38.62 cm 25/29例例6 6解解5)(xxf 设设代代入入公公式式的的近近似似值值计计算算 02.1 55451)(xxf则则xxfxfxxf )()()(000得得xxxxx 540505051代入上式代入上式令令02.0,10 xx02.0151102.15455 004.1 26/29近似计算步骤：近似计算步骤：?)?,(0 xx设函数，并求导；设函数，并求导；套公式，使之具体化；套公式，使之具体化；赋值计算。赋值计算。2、近似公式的特解xffxf )0()0()(则则令令.,00 xxx xffxf )0()0()(较较小小时时x27/29证明：当证明：当 ，有下列近似公式有下列近似公式较较小小时时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;1)1()1(xxxexxxxxxmxxxm 为为弧弧度度为为弧弧度度证明证明mxxf)1()()1(设设1)1()(mxmxf则则 mx)1(得得mx 1例例7 7xffxf)0()0()(由由公公式式得证。得证。28/29证明：当证明：当 ，有下列近似公式有下列近似公式较较小小时时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;1)1()1(xxxexxxxxxmxxxm 为为弧弧度度为为弧弧度度如：如：515)02.01(02.1 02.0511 01.0e01.101.01 例例7 7004.1 29/29作业：作业：习题习题3-43-4（P112P112）6(4)(7)习题习题3-53-5（P122P122）3(3)(6);5;7(2)(3)