3定义命题公理与定理

定义 命题公理与定理一、一周知识概述1、概念的定义对于一个概念的特征性质的描述叫作这个概念的定义.如平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.2、命题叙述一件事情的句子(陈述句)，如果要么是真的，要么是假的，那么这个陈述句 是一个命题.如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题.如果一个命题叙述的事情是 假的，那么称它是假命题.如“对顶角相等”是真命题，“相等的角是对顶角”是假命题.3、命题的形式命题由条件和结论两部分组成.命题常写成'如果那么”的形式，“如果”连接的 是条件，“那么”连接的是结论.对于不具有这种形式的命题，它的条件和结论往往不明 显，但可以改写命题为“如果那么.”的形式，改写时不能改变原意，同时注意语句通 顺完整，必要时可适当增加一些字词，注意条件和结论都是完整的语句.4、命题的证明判断一个命题是否正确，需要通过有理有据的推理才能作出正确的判断，这样的推 理过程叫命题的证明.证明一个真命题一般按以下步骤进行：(1) 审题，分清命题的条件与结论.(2) 画图，依题意画出图形，画图时应做到图形正确且具有一般性，切忌将图形 特殊化.(3) 写“已知”“求证”，按照图形分析、探求解题思路，然后写出证明过程，证明 的每一步都要做到叙述清楚，而且要有理有据.判断一个命题是假命题，只需举一个满足命题条件但结论不同于命题结论的“反例” 即可，也就是举出一个符合命题的题设而不符合结论的例子.5、互逆命题把一个命题的条件和结论交换后，就构成一个新的命题.如果原来的命题叫原命题, 则这个新的命题叫做原命题的逆命题.这样的两个命题叫做互逆命题.6、公理和定理人们在长期的实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，这样的真命 题叫做公理.即在长期的实践中，人们总结出来的一些基本事实如“过两点有且只有一 条直线”；“两点之间，线段最短”等等.它们可以作为判断其它命题真假的原始依据.教材到目前为止选择的十条公理：(1) 等量加等量，和相等.(2) 等量减等量，差相等.(3) 等量代换(即：如果a=b，且b=c，那么a=c).(4) 整体大于部分.(5) 通过两点有且只有一条直线.(6) 连结两点的所有连线中，线段最短.(7) 经过一条直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(8) 平移不改变图形的形状和大小，平移不改变直线的方向.(9) 轴反射不改变图形的形状和大小.(10 )旋转不改变图形的形状和大小.有些命题是以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判 断为真命题的命题称为定理.定理也可以作为判断其他命题的真假的依据.7、一个定理的逆命题经过证明是真命题，称它为原来的定理的逆定理.这样的两个定 理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理.二、重难点知识1、关于定义：(1) 定义必须是严密的，在表述时，一般避免使用含糊不清的术语，比如'大约”、 “大概”、“差不多”、“左右”等.(2) 正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区别开来.2、关于命题(1) 命题是句子，而且必须是能判断正确和错误的句子.(2) 错误的命题也是命题.如对“两直线相交”这个句子，我们无法判断它是正确的还是错误的，因而它不是命 题.找出一个命题的条件和结论是难点，对那些条件和结论不明显的命题，必要时结合 图形来区分.如命题，“对顶角相等”，它的条件和结论不明显，应将它改成“如果两个 角为对顶角，那么这两个角相等”，再指出条件和结论.3、定义、命题、公理和定理之间的联系与区别这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、 公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是最 原始的依据.而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的 依据.三、典型例题讲解例1、下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？若avb,贝0 -处-位；(2) 三角形的三条高交于一点；(3) 在 AABC 中，若 AB>AC，贝0ZC>ZB 吗？(4) 两点之间线段最短；(5) 解方程加-23=0；(6) 1+2上3.例2、指出下列命题的条件和结论(1) 同垂直于一直线的两条直线平行(2) 同角的补角相等(3) 同位角相等(4) 两直线相交只有一个交点(5) 若 a2=b2，则 a=b(6) 同位角相等，两直线平行例3、下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题请举出反例.同位角相等.平行于同一直线的两条直线平行.一个数若能被2整除，则它一定能被4整除.同旁内角互补，两直线平行.例4、下列定理是否都有逆定理？若有，请写出来.(1) 如果两个角都是直角，那么这两个角相等；(2) 内错角相等，两直线平行；(3) 等边三角形的三个角都等于60°.一、选择题1、下列描述不属于定义的是()A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形B. 正三角形是特殊的三角形C. 在同一平面内三条线段首尾相连得到的图形是三角形D. 含有未知数的等式叫做方程2、下列语句是命题的是()A. 在那星光灿烂的夜晚B. 小丽漂亮吗？C. 延长线段AB到CD. 对顶角不相等3、下列命题中真命题有()(1) 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形.(2) 一组对边平行，一个对角相等的四边形是平行四边形.(3) 正比例函数一定是一次函数.(4) 速度一定，路程和时间成正比例关系.A.1个B.2个C. 3个D.4个4、下列命题中，假命题是()厂A.如果|a|=a，贝0 a20厂B.如果也=色，那么a=b或a=bC.如果 ab>0，则 a0, b>0D.若"，贝U a是一个负数5、若m、n、p为三个正实数，如果m_n = P，那么m>P之成立的依据是()A.等量加等量和相等B.等量减等量差相等C.不等式的基本性质D.整体大于部分6、下列定理存在逆定理的有()(1) 等腰梯形的两条对角线相等.(2) 矩形的对角线相等.(3) 正方形的四个角都是直角.(4) 如果一个三角形的三边a、b、c满足a2 +t)2 = c那么这个三角形是直角三角形.A.1个B.2个C.3个D. 4个7、下列命题： 顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形 等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 若直角三角形的两条边长为3和4,则第三边是5 若一个数能被2整除，那么这个数也能被4整除其中正确命题的个数是（）A.4个B.3个J C.2个D. 1个 8、下列说法正确的是（）厂A.真命题的逆命题是真命题厂B.原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题C. 定理一定有逆定理D. 命题一定有逆命题二、填空题9、梯形的定义是：10、把命题“等边三角形的每一个内角都为60° ”改成“如果，那么”的形式为11、 “两负数之积为正数”的条件是,结论是.12、下列语句是命题的，请将序号填在横线上：. 延长线段AB到C,使BC=AB. 若Q 2，贝厂五 画ZA0B的平分线0C. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 开发大西北. 你好，小燕子！ 快走！不然就迟到了. “WT0”所指的是什么？13、写出一条平行线的性质定理：.二、解答题14、下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？(1) 若a<b,贝厂占V口 ；(2) 三角形的三条高交于一点；在A ABC中，若AB>AC，则ZC>ZB吗？(4)两点之间线段最短；解方程* 一抵-3 = 0 ；(6)1 + 2H3.15、判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题，还是假命题，对于假命题请举 出反例.(1) 画线段 AB = 3cm.(2) 平行于同一条直线的两条直线互相平行.(3) 两条直线相交，有几个交点？(4) 相等的角都是直角.(5) 如果 a2 = b2，那么 a=b.(6) 直角都相等.16、下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来；如果没有，举一个反例说明.(1) 正方形的对角线互相垂直平分且相等.(2) 对顶角相等.(3) 若正n边形的每一个外角为60°，则n = 6.(4) 平行四边形的对边相等.17、小华在钻研数学问题时发现，1222, 2232, 3242,于是他得出结论：对于任意实 数a、b,若a<b，则a2<b2，你认为小华的结论正确吗？请说明理由.18、A、B、C三人在一起争论一个问题时，A指责B说谎话，B指责C说谎话，C指责A 和B都说谎话.现请你推测一下，到底谁说真话？谁说谎话？分析:句子（1）（2）（4）（6）对事情作了判断，所以是命题，句子（3）是问句，（5） 没有对事情作出判断，不是命题.解：（1）（2）（4）（6 ）是命题，（3）（5 ）不是命题.小结:理解定义、命题的含义时，要突出语句的作用.句子根据其作用分为判断、陈述、 疑问、祈使四个类别.定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定.而命题属 于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断.与判断的正确与否没有关系.解：（1）条件：两条直线垂直于同一条直线；结论：这两条直线平行.（2）条件：两个角是同一个角的补角.结论：这两个角相等.（3）条件：两个角是同位角，结论：这两个角相等.（4）条件：两直线相交，结论：这两条直线只有一个交点.（5）条件：a2=b2；结论:a=b.（6）条件：同位角相等；结论：两直线平行.解:是假命题，如图所示，Z1与Z2是同位角，但是真命题.是假命题，例如6能被2整除，但却不能被4整除.是真命题.分析：先写出每个定理的逆命题，再判断其真假.解答：(1) 的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是直角.它是一个假命题.故(1) 没有逆定理.(2) 的逆命题是：两直线平行，内错角相等.它是一个真命题，故(2)的逆命题就是 它的逆定理.(3) 的逆命题是：三个角都等于60°的三角形是等边三角形，它是一个真命题，故也 是它的逆定理.总结：先写出逆命题，再判断真假，一般判断一个命题是真命题要经过证明，判断一个命 题是假命题只需举一个反例即可.第1题答案错误！正确答案为B 第2题答案错误！正确答案为D 第3题答案错误！正确答案为C 第4题答案错误！正确答案为C 第5题答案错误！正确答案为D ®第6题答案错误！正确答案为A第7题答案错误！正确答案为D 第8题答案错误！正确答案为D提示：1、命题的基本特征是判断，而A、B、C显然都没有判断，故只有D项才是命题.2、正确的命题为真命题，（1）假命题.4、ab>0，可以 a<0,且 b0.6、（4 ）存在逆定理即勾股定理的逆定理.8、真命题的逆命题不一定是真命题，如“对顶角相等”，逆命题“相等的两个角 是对顶角”是假命题；假命题的逆命题不一定是假命题，如“面积相等的两个三角形全 等”，其逆命题“全等三角形的面积相等”是真命题；一个定理的逆命题可能是假命题， 因此定理不一定有逆定理；但是命题一定有逆命题，所以A、B、C均不正确，应选D.9、有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形.10、一个三角形是等边三角形，那么它的每一个内角都为60°.11、两负数相乘，积是正数.12、，13、两直线平行，同位角相等14 答案：（1） （2） （4） （6）是命题，（3） （5）不是命题。15 解：（1）、（3 ）不是命题，因为句子中没有作出任何判断.（2）、（6 ）是真命题.（4）、（5）是假命题.对于（4），比如：ZA=3O°，ZB = 3O°，ZA=ZB，但ZA、ZB 都不是直角.对于（5），如:当 a=5，b=5 时，a2=25，b2=25，满足 a2=b2，但 a#b 结论不成立.16 解：（1）有逆定理：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.（2）没有逆定理：比如：同位角相等，但同位角不是对顶角.（3）有逆定理：正六边形的每一个外角为60°.（4）有逆定理：对边相等的四边形是平行四边形.17 答案：不正确，例如：一5vl,但（一5）2>1218 答案：B说真话，A、C说谎话.中考解析例、（哈尔滨）下列各命题正确的是（）A. 血,辰 是同类二次根式B. 梯形同一底上的两个角相等C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等解析： ：灰=3点忑与辰是同类二時試，故AJE确. 只有等腰梯形同一底上的两个角相等，故B不一定正确. 在同一平面，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C不一定正确. 两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，故D不一定正确. 故选A.答案：A