高等数学课件：7-10 欧拉方程

高等数学（上）高等数学（上）解法：解法：通过变量代换可化为常系数微分方程通过变量代换可化为常系数微分方程.形如形如)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn 的方程的方程(其中其中nppp21,叫叫 EulerEuler方程方程.为常数为常数)特点：特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子各项未知函数导数的阶数与乘积因子 自变量的次数相同自变量的次数相同 高等数学（上）高等数学（上）作变量变换作变量变换,lnxtext 或或,1dtdyxdxdtdtdydxdy ,122222 dtdydtydxdxyd将自变量换为将自变量换为,t,2312233333 dtdydtyddtydxdxyd 高等数学（上）高等数学（上）用用D表示对自变量表示对自变量t求导的运算求导的运算,dtd上述结果可以写为上述结果可以写为,Dyyx ,)1()(2222yDDyDDdtdydtydyx ,)2)(1()23(232322333yDDDyDDDdtdydtyddtydyx 高等数学（上）高等数学（上）.)1()1()(ykDDDyxkk 将上式代入欧拉方程，则化为以将上式代入欧拉方程，则化为以 为自变量为自变量t的常系数线性微分方程的常系数线性微分方程.求出这个方程的解后，求出这个方程的解后，t把把 换为换为 ，xln即得到原方程的解即得到原方程的解.一般地，一般地，例例求欧拉方程求欧拉方程22334xyxyxyx 的通解的通解解解 作变量变换作变量变换,ln xtext 或或 高等数学（上）高等数学（上）原方程化为原方程化为,34)1()2)(1(2teDyyDDyDDD 即即,332223teDyyDyD 或或.33222233tedtdydtyddtyd (1)(1)方程方程(1)(1)所对应的齐次方程为所对应的齐次方程为,0322233 dtdydtyddtyd其特征方程其特征方程,03223 rrr22334xyxyxyx 高等数学（上）高等数学（上）特征方程的根为特征方程的根为.3,1,0321 rrr所以齐次方程的通解为所以齐次方程的通解为tteCeCCY3321 设特解为设特解为,2tbey 代入代入(1)方程，得方程，得.21 b所给所给Euler方程的通解为方程的通解为.2123321xxCxCCy ,22xy 即即.3321xCxCC 高等数学（上）高等数学（上）二、小结欧拉方程解法思路欧拉方程解法思路变系数的线变系数的线性微分方程性微分方程常系数的线常系数的线性微分方程性微分方程变量代换变量代换注意：欧拉方程的形式注意：欧拉方程的形式xtextln 或或.)1()1()(ykDDDyxkk